5.3.1 函数的单调性(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 学业标准 素养目标 1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点) 1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象核心素养． 2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养． [对应学生用书P61] 导学1　函数的单调性与导数 已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示． 　试结合图象指出以上三个函数的单调性． [提示]　函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． 　判断它们的导数在其单调区间上的正、负． [提示]　y1′＝1在R上为正；y2′＝2x在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． 　结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系． [提示]　当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数． ◎结论形成 在区间(a，b)内，函数f(x)的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递__增__ f′(x)<0 单调递__减__ f′(x)＝0 常函数 导学2　利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间． 导学3　导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化较慢，函数图象就比较“平缓”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) (4)若f(x)＝x2＋1，则f(x)在x＝2时是递增的.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解析　∵f(x)＝2x－sin x， ∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上增函数． 答案　A 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析　∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1. 由f′(x)＞0得ex－1＞0，即x＞0. ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 答案　(0，＋∞) 4．函数f(x)＝的单调递减区间为________． 解析　易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞). 答案　(－∞，0)，(0，＋∞) [对应学生用书P62] 题型一　单调性与导数的关系 　(1)(多选题)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列选项中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0 (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) [解析]　(1)由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故A，B正确，选AB. (2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. [答案]　(1)AB　(2)D 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． [触类旁通] 1．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，是y＝f(x)的大致图象的是(　　) 解析　当0＜x＜1时，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＜0，故f(x)在区间(0，1)上为减函数； 当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， 故y＝f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数．故选C. 答案　C 题型二　利用导数求函数的单调区间(一题多变) 　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝. [解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝2x－＝. 因为x>0，所以x＋1>0，令f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；令f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 令f′(x)>0，解得x>3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3). [母题变式] (变条件)若将函数变为f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解析　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． [素养聚焦] 通过求解含有参数的函数的单调区间问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． [注意]　如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． [触类旁通] 2．求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间． 解析　f(x)＝x＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝1－＝.当a>0时， 令f′(x)＝>0，解得x>或x<－； 令f′(x)＝<0， 解得－<x<0或0<x<； 当a<0时，f′(x)＝>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞). 题型三　利用单调性确定参数的取值范围 　已知关于x的函数y＝x3－ax＋b. (1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围； (2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． [解析]　y′＝3x2－a. (1)若函数y＝x3－ax＋b在区间(1，＋∞)内是增函数． 则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x2)min.因为x>1，所以3x2>3. 所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]. (2)令y′>0，得x2>.若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符． 若a>0，令y′>0，得x>或x<－. 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以＝1，即a＝3. 已知f(x)在区间(a，b)内的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系：f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立原理：f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立，且f′(x)不恒为0，注意验证等号是否成立． [触类旁通] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2　　　　　　　　 B．e C．e－1 D．e－2 解析　依题可知，f′(x)＝aex－≥0对∀x∈(1，2)恒成立，∴a≥， g(x)＝在(1，2)单调递减，∴g(x)＜g(1)＝，∴a≥，选C. 答案　C 知识落实 技法强化 (1)函数的单调性与其导数的关系． (2)利用导数判断函数的单调性． (3)利用导数求函数的单调区间． (4)由导数的信息画函数的大致图象． 对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏． 学科网（北京）股份有限公司 $$