5.2.3 简单复合函数的导数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．2.3　简单复合函数的导数 学业标准 素养目标 1．了解复合函数的概念．(难点) 2．掌握复合函数的求导法则．(重点) 3．能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点) 1．通过复合函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过利用复合函数的求导法则求复合函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P57] 导学1　复合函数 已知y＝(3x＋2)2，y＝sin . 　这两个函数是复合函数吗？ [提示]　是复合函数． 　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． [提示]　令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2. ◎结论形成 复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成 __x的函数__，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))__． 导学2　复合函数的求导法则 　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，u＝g(x)＝3x＋2的导数． [提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3. 　观察问题1中的导数有何关系． [提示]　y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x). ◎结论形成 复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__y′u·u′x__，即y对x的导数等于__y对u的导数与u对x的导数的乘积__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　) (3)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (4)若f(x)＝ln (x2＋1)，则f′(x)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数y＝cos (－x)的导数是(　　) A．cos x　 B．－cos x　 C．－sin x　 D．sin x 解析　y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x. 答案　C 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4. 答案　D 4．函数y＝是由________两个函数复合而成的． 答案　y＝，u＝sin x [对应学生用书P58] 题型一　复合函数的定义 　指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x. [解析]　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的． (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的． 判断复合函数的方法 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数． [触类旁通] 1．指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos (x＋1). 解析　(1)y＝ln u，u＝. (2)y＝eu，u＝sin x. (3)y＝cos u，u＝x＋1. 题型二　简单的复合函数求导问题 　求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝esin x； (3)y＝sin ；(4)y＝5log2(2x＋1). [解析]　(1)设y＝u，u＝1－2x2， (2)设y＝eu，u＝sin x， 则y′x＝y′u·u′x＝eu·cos x＝esin xcos x. (3)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos . (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. 复合函数的求导步骤 [触类旁通] 2．求下列函数的导数． (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x. 解析　(1)令u＝2x－1，则y＝u4， ∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2 ＝8(2x－1)3. (2)令u＝2x＋3，则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′ ＝2ln 10·102x＋3. (3)y＝sin4x＋cos4x ＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x ＝1－sin22x＝1－(1－cos4x) ＝＋cos 4x. 所以y′＝′＝－sin 4x. 题型三　复合函数导数的应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． [解析]　∵f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)， ∴f′(1)＝2a－2， ∴切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝. [母题变式] (变条件)若将本例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围． 解析　由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交， ∴圆心到直线l的距离小于半径， 即d＝<.解得a>. ∴a的取值范围为. [素养聚焦] 通过求解复合函数的导数的综合应用问题，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [触类旁通] 3．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义． 解析　函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 由导数公式表可得f′(x)＝－x， φ′(t)＝－18t. 再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝·(－18t)＝，将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875(m/s).它表示当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 知识落实 技法强化 (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． (3)复合函数的导数的应用． 求复合函数的导数应处理好以下环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$