5.2.1 基本初等函数的导数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 学业标准 素养目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数(难点)． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点)． 1.通过常用导数的推导的学习，培养数学运算等核心素养． 2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P51] 导学　基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝. 　函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ [提示]　∵＝＝＝0， ∴y′＝ ＝0. 　函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ [提示]　由导数的定义得(2)x′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)′＝－，(5)()′＝. 　函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ [提示]　∵(2)x′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1， (5)()′＝(x)′＝x＝， ∴(xα)′＝αxα－1. ◎结论形成 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝__αxα－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax f′(x)＝__axln_a__(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝cos .(　　) (2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　) (3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (4)函数f(x)图象上在某点处可能存在两条切线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 答案　C 4．已知f(x)＝cos x，则f′＝________． 答案　－ [对应学生用书P52] 题型一　利用导数公式求函数的导数 　(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝3x；(5)y＝log5x. [解析]　(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－； (4)y′＝(3x)′＝3xln 3； (5)y′＝(log5x)′＝. 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别． [触类旁通] 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________． 解析　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－. 答案　3x2－ 题型二　求函数在某点处的导数 　质点的运动方程是s＝sin t. (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． [解析]　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t． 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． [触类旁通] 2．(1)求函数f(x)＝在点(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在点处的导数． 解析　(1)∵f′(x)＝′＝(x)′＝－x＝－，∴f′(1)＝－＝－. (2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′＝－sin ＝－. 题型三　利用导数公式求曲线的切线方程(一题多变) 　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [解析]　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切点为M. 所以所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. [母题变式] (变结论)在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，请说明理由． 解析　假设存在与直线PQ垂直的切线， 因为PQ的斜率为k＝＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k′＝－1， 设切点为(x′0，y′0)，则＝2x′0， 令2x′0＝－1， 则x′0＝－，y′0＝， 切线方程为y－＝－， 即4x＋4y＋1＝0. [素养聚焦] 通过利用导数求曲线的切线方程问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求曲线方程或切线方程的三点注意 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． [触类旁通] 3．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解析　设切点为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝. 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以＝＝1，即x0＝1， 所以切点为(1，0). 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 知识落实 技法强化 (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式及应用． (3)利用导数研究曲线的切线方程． (1)牢记和运用好导数公式．能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． (2)有些函数可先化简再应用公式求导． 5．2.2　导数的四则运算法则 学业标准 素养目标 1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 1．通过导数的四则运算法则的学习，培养数学运算等核心素养． 2．通过利用导数的四则运算法则求复杂函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P54] 导学　导数的运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝. 　f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数． [提示]　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋， ∴＝1－， ∴Q′(x)＝ ＝ ＝1－. 同理H′(x)＝1＋. 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×＝－. ◎结论形成 导数的四则运算法则 　设两个函数分别为f(x)和g(x)，则： 两个函数和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝__f′(x)＋g′(x)__ 两个函数差的导数 [f(x)－g(x)]′＝__f′(x)－g′(x)__ 两个函数积的导数 [f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__，特别地有[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数). 两个函数商的导数 ′＝____[g(x)≠0] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　　) (2)函数f(x)＝xex＋1的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　) (3)函数f(x)＝sin 2x的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (4)若f′(x)＝2x＋1，则f(x)＝x2＋x.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知函数f(x)＝sin x＋cos ，则f′＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C． D． 解析　因为f(x)＝sin x＋cos ， 则f′(x)＝cos x， 故f′＝cos ＝. 故选B. 答案　B 3．函数y＝的导数是(　　) A．－ B．－sin x C．－ D．－ 解析　y′＝′＝＝＝－. 答案　C 4．函数y＝x ln x的导数为________． 答案　ln x＋1 [对应学生用书P55] 题型一　导数的四则运算(一题多解) 　(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是__________； (2)函数y＝2xcos x－3x ln x的导数是________； (3)函数y＝的导数是________． [解析]　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2xcos x－3x ln x)′ ＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′ln x＋x(ln x)′] ＝2xln 2cos x－2xsin x－3· ＝2xln 2cos x－2xsin x－3ln x－3. (3)y′＝′ ＝ ＝＝. 答案　(1)y′＝18x2－8x＋9 (2)y′＝2x ln 2 cos x－2x sin x－3 ln x－3 (3)y′＝ 求导数的两点要求 (1)先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数． (2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程． [触类旁通] 1．求下列各函数的导数． (1)y＝(＋1)； (2)y＝x－sin cos ； (3)y＝. 解析　(1)化简得y＝·－＋－1＝－x＋x， ∴y′＝－x－x＝. (2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. (3)y′＝＝. 题型二　利用导数求曲线的切线方程 　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． [解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0). 即7x＋y－3＝0. 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． [触类旁通] 2．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为 y＝x＋. 故选C. 答案　C 题型三　导数运算法则的综合应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式． [解析]　由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知 －1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，由切点为M得f′(－1)＝－. ∵f′(x)＝， ∴即 解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去). 所以所求的函数解析式为f(x)＝. [母题变式] 　(变条件)若将本例题改为“已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0”，则a，b的值分别为________． 解析　f′(x)＝－. 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)， 故即解得 答案　1，1 [素养聚焦] 利用导数的运算法则解决切线问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系． [触类旁通] 3．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　 f′(x)＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 答案　A 知识落实 技法强化 (1)导数的运算法则． (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 学科网（北京）股份有限公司 $$