5.1.1 变化率问题(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 学业标准 素养目标 1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念．(难点) 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法．(重点) 1．通过平均变化率和瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求平均变化率与瞬时变化率，提升数学运算等核心素养． [对应学生用书P42] 导学1　平均变化率 　在跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. (1)在0≤t≤0.2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (2)在1≤t≤1.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (3)在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度又是多少？ [提示]　(1)＝＝1.82(m/s). (2)＝＝－9.45(m/s). (3)＝. 导学2　瞬时变化率 　如何求跳水运动员在t＝1时的速度？ [提示]　可以求在[1，1＋Δt]时的平均速度，当Δt很小时，可以近似认为平均速度就是t＝1时的速度． ◎结论形成 1．瞬时速度：把物体在__某一时刻__的速度称为瞬时速度． 2．平均速度与瞬时速度的关系 事实上，由＝＝－4.9Δt－5可以发现，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5.这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为 ＝－5. 从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－5 m/s. 导学3　抛物线的切线的斜率 　已知抛物线f(x)＝x2，P0(1，1)在抛物线上，抛物线上有异于P0的点P(x，x2). (1)割线P0P的斜率k是什么？ (2)当点P趋近于点P0时，割线 P0P与过点P的切线PT有什么关系？ [提示]　(1)割线P0P的斜率k＝. (2)当点P趋近于点P0时，割线P0P趋近于过点P的切线PT. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　) (2)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0.(　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的量．(　　) (4)在瞬时变化率中，Δt可以为零．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　 　 B．－1　 　 C．2　 　 D．－2 解析　＝＝－1. 答案　B 3．函数y＝f(t)，当自变量由t改变到t＋Δt时，y的变化为(　　) A．f(t＋Δt) B．f(t)＋Δt C．f(t)·Δt D．f(t＋Δt)－f(t) 答案　D 4．函数y＝x2在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A．2 B． C．－ D．1 解析　 ＝ (Δx＋2)＝2. 答案　A [对应学生用书P43] 题型一　求平均变化率 　已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)当自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． [解析]　自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为： ＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 因为<，所以函数f(x)＝x＋当自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率. [触类旁通] 1．函数y＝x2＋1在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析　∵(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ∴＝2＋Δx，故选C. 答案　C 题型二　求瞬时变化率(一题多变) 　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________． (2)某物体的运动方程为s(t)＝2t3，则物体在t＝1时的瞬时速度为________． [解析]　(1)∵s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2， ∴＝v0－gt0－gΔt， ∴ ＝v0－gt0， 即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. (2)∵当t＝1时，s(1＋Δt)－s(1) ＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2 ＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2 ＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt， ∴＝ ＝2(Δt)2＋6Δt＋6， ∴[2(Δt)2＋6Δt＋6]＝6， 则物体在t＝1时的瞬时速度为6. [答案]　(1)v0－gt0　(2)6 [母题变式] (变条件)若把本例(1)中的“v0”改为“v0＝20”，求物体在t＝3时刻的瞬时速度． 解析　因为s(3＋Δt)－s(3)＝20(3＋Δt)－g(3＋Δt)2－＝(20－3g)Δt－g(Δt)2，所以＝20－3g－gΔt， 所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于20－3g， 故物体在t＝3时刻的瞬时速度为20－3g. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． [触类旁通] 2．做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解析　取一时间段[2，2＋Δt]，s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2， ＝＝－1－Δt， ＝ (－1－Δt)＝－1， 所以当t＝2时，此物体的瞬时速度为－1. 题型三　曲线的切线 　求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程． [解析]　因为点(1，3)在曲线上， 在点(1，3)的切线的斜率为 ＝ ＝ [(Δx)2＋3Δx＋2]＝2， 故所求切线方程为y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0. [素养聚焦] 利用切线的斜率与割线斜率的关系，把数学抽象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝k(x－x0). [触类旁通] 3．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　设切点为P(x，y)，因为 ＝x＝，所以x＝1，所以切点的横坐标为1. 答案　A 知识落实 技法强化 (1)平均速度． (2)瞬时速度． (3)曲线在某点处的切线方程． 从极限的角度理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$