13.2 命题与证明讲义2024-2025学年沪科版数学八年级上册

命题与证明--知识讲解 【学习目标】 1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据； 2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立； 3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明. 【要点梳理】 要点一、命题、公理、定理、推论 1.命题 判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题． 命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 要点诠释： 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 2.公理 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据． 3.定理 从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据． 要点诠释： 也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 4.推论 由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 要点二、逆命题和逆定理 互逆命题 　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理. 要点三、演绎推理 演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 要点诠释： 演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明． 要点四、三角形内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 要点诠释： 三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 类型一、命题 1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？ (1)对顶角相等；　　 (2)画一个角等于已知角；　　 　 (3)两直线平行，同位角相等； (4)，两条直线平行吗? (5) 鸟是动物； (6)若，求的值； (7) 若，则=． 举一反三： 【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题? (1)若，则； (2)三角形的三条高交于一点； (3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗? (4)两点之间线段最短； (5)解方程； (6)1＋2≠3． 2. 下列命题是真命题的是（　　） A．如果|a|=1，那么a=1 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．如果a为实数，那么a是有理数 D．有两边和一角相等的两个三角形全等； 举一反三： 【变式】下列命题中，真命题的个数有（　　） ①对顶角相等 　　　②同位角相等　　　③4的平方根是2 　　　④若a＞b，则-2a＞-2b A．3个　　　　B．1个　　　　　C．4个 　　　　　D．2个 3. 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式： (1)三条边对应相等的两个三角形全等； 　 (2) 在同一个三角形中，等角对等边； 　 (3) 对顶角相等； 　 (4) 同角的余角相等； 4.下列命题中，逆命题正确的是（ ） A.对顶角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.全等三角形面积相等 D.全等三角形对应角相等 举一反三： 【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假． (1)对顶角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)若a=0，则ab=0； (4)两条直线不平行，则一定相交； 类型二、证明举例 （1）平行线的性质与判定进行几何证明： 5.已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？ 举一反三： 【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由． （2）与三角形有关的几何证明： 6.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H， 试比较∠CIH和∠BID的大小． 文字命题的证明： 9、 求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值 【巩固练习】 一.选择题 1．下列语句不是命题的是（ ） A．两点之间，线段最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗？ D．对顶角不相等 2．下列命题中的真命题是（　　） A．邻补角是两个互补的角 B．同位角相等 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．两条直线相交，有两个角相等，则两条直线互相垂直 3．下列命题是假命题的是（　　） A．若|x+2|+（y-5）2=0则x=-2，y=5 B．x＜y，则x+2008＜y+2008 C．平移不改变图形的形状和大小 D．单项式 的系数是 4.在下列真命题中，逆命题也是真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．对顶角相等 C．相反数的绝对值相等 D．等腰三角形的底角相等 6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　） A．150° B．210° C．105° D．75° 二.填空题 7．命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式可写成 . 8．命题“腰与底相等的等腰三角形是等边三角形”是 （真、假）命题. 9．①每个命题都有逆命题②每个定理都有逆定理③真命题的逆命题都是真命题，以上说法中正确的有 . 12．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若AB=5，AC=4，则△AMN的周长是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$