第24章　圆 单元素养测评　2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章　圆 单元素养测评 时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______ 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．已知⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(A) A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．无法确定 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(B) A．80° B．100° C．140° D．160° 3．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，分别交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于(A) A．27° B．29° C．35° D．37° 4．下列说法正确的是(D) A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 5．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为(D) A．10 cm B．20 cm C．5 cm D．24 cm 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8.以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为(B) A．π B．π C．π D．2π 7．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为(2，－3)，则顶点C的坐标为(A) A．(2－2，3) B．(0，1＋2) C．(2－，3) D．(2－2，2＋) 8．家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为(C) A．π米2 B．π米2 C．π米2 D．π米2 9．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD.若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为(C) A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．24 cm 10．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于(D) A．－1 B．－2 C．π－1 D．π－2 二、填空题(每小题5分，共30分) 11．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D.若⊙O的半径为2，则弦AB的长为__2__． 12．如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E.连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为__π__(结果保留π). 　13．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为__55°或125°__． 14．如图，AB，AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝__35__°. 15．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积____． 16．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为__＋__． 三、解答题(共80分) 17．(8分)如图所示，破残的圆形轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D. (1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知AB＝16，CD＝4，求(1)中所作圆的半径． 解：(1)图略； (2)∵AB＝16，CD＝4，CD⊥AB，∴AD＝BD＝8. 设半径为x，得x2＝82＋(x－4)2，解得x＝10. 即所作圆的半径为10. 18．(8分)如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连接OD，AD. (1)若∠ACB＝20°，求的长；(结果保留π) (2)求证：AD平分∠BDO. (1)解：连接OA，如图．∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴＝＝； (2)证明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB. ∵∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠OAD＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠ODA，∴AD平分∠BDO. 19.(8分)如图所示，已知圆锥底面半径r＝10 cm，母线长为40 cm. (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积； (2)若一小虫从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想，它所走的最短路线是多少？为什么？ 　　　　 解：(1)依题意，得＝2π×10，解得n＝90.圆锥表面积为π×102＋π×10×40＝500π(cm2)； (2)由圆锥的侧面展开图可见，小虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．在Rt△ASB中，SA＝40，SB＝20，∴AB＝20(cm).∴小虫走的最短路线的长度是20 cm. 20．(8分)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E，且＝，连接DE. (1)若＝140°，求∠C的度数； (2)求证：AB＝AP. (1)解：连接BE，如图．∵BP是直径， ∴∠BEC＝90°.∵＝140°，∴＝40°. ∵＝，∴＝80°，∴∠CBE＝40°， ∴∠C＝50°； (2)证明：∵＝，∴∠CBP＝∠EBP.∵∠ABE＋∠A＝90°，∠C＋∠A＝90°，∴∠C＝∠ABE.∵∠APB＝∠CBP＋∠C，∠ABP＝∠EBP＋∠ABE，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB. 21．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F. (1)求证：EF＝CF； (2)若∠B＝2∠A，AB＝6，且AC＝CE，求BM的长． (1)证明：延长FC至H，连接OC，如图所示．∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵EM⊥AB，∴∠EMB＝∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠EBM，∵∠CEF＝180°－EBM－∠EMB，∠CAB＝180°－∠ABC－∠ACB，∴∠CEF＝∠CAB.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO，∵FC是⊙O的切线，∴CH⊥OC，∴∠BCH＋∠BCO＝∠CAB＋∠ABC＝∠BCO＋∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠BCH.∵∠BCH＝∠ECF，∴∠CAB＝∠ECF，∴∠CEF＝∠ECF，∴EF＝CF； (2)解：∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，∴∠B＝60°，∠A＝30°.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，AC＝＝3.∵AC＝CE，∴CE＝3，∴BE＝BC＋CE＝3＋3.在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠BEM＝∠A＝30°∴BM＝BE＝. 22．(12分)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法如图2. 1．作直径AF； 2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N； 3．连接AM，MN，NA； (1)求∠ABC的度数； (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 　　　　　 解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°； (2)△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图．由题意可得FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°.同理可得∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形； (3)连接OD，如图．∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝×2＝144°，∴∠NOD＝∠AOD－∠AON＝144°－120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15. 23．(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF. (1)求证：CE为⊙O的切线； (2)若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径． 　　　 (1)证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠OBC.∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE＋∠ECD＝90°，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°，∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线； (2)解：如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°. ∵∠E＝∠OCE＝90°，∴四边形OGEC是矩形，∴OC＝EG，OG＝EC. 设⊙O的半径为x，Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝＝2，∴OG＝2，GD＝x－1，OD＝x，由勾股定理得OD2＝OG2＋DG2，∴x2＝(2)2＋(x－1)2，解得x＝4.5，∴⊙O的半径是4.5. 24．(14分)如图1，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． (1)如图2，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G，H，连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值． 解：(1)设BC与⊙O交于点M，当t＝2.5时，BE＝2.5，∵EF＝10，∴OE＝EF＝5，∴OB＝2.5，∴EB＝OB.在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴ME＝MO.又∵MO＝EO，∴ME＝EO＝MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM＝60°，∴l＝＝，即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为； (2)连接GO，HO，∵∠GOH＝90°，∴∠AOG＋∠BOH＝90°. ∵∠AGO＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝∠BOH.在△AGO和△OBH中， ∴△AGO≌△BOH(AAS).∴OB＝AG＝t－5， ∵AB＝7，∴AE＝t－7，∴AO＝5－(t－7)＝12－t，在Rt△AGO中， AG2＋AO2＝OG2，∴(t－5)2＋(12－t)2＝52，解得t1＝8，t2＝9， 即t的值为8或9. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章　圆 单元素养测评 时间：120分钟　满分：150分　班级：　姓名： 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．已知⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( ) A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．无法确定 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( ) A．80° B．100° C．140° D．160° 3．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，分别交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于( ) A．27° B．29° C．35° D．37° 4．下列说法正确的是( ) A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 5．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为( ) A．10 cm B．20 cm C．5 cm D．24 cm 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8.以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为( ) A．π B．π C．π D．2π 7．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为(2，－3)，则顶点C的坐标为( ) A．(2－2，3) B．(0，1＋2) C．(2－，3) D．(2－2，2＋) 8．家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为( ) A．π米2 B．π米2 C．π米2 D．π米2 9．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD.若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为( ) A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．24 cm 10．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于( ) A．－1 B．－2 C．π－1 D．π－2 二、填空题(每小题5分，共30分) 11．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D.若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ． 12．如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E.连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为 (结果保留π). 　13．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ． 14．如图，AB，AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝ °. 15．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ． 16．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题(共80分) 17．(8分)如图所示，破残的圆形轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D. (1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知AB＝16，CD＝4，求(1)中所作圆的半径． 18．(8分)如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连接OD，AD. (1)若∠ACB＝20°，求的长；(结果保留π) (2)求证：AD平分∠BDO. 19.(8分)如图所示，已知圆锥底面半径r＝10 cm，母线长为40 cm. (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积； (2)若一小虫从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想，它所走的最短路线是多少？为什么？ 　　　　 20．(8分)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E，且＝，连接DE. (1)若＝140°，求∠C的度数； (2)求证：AB＝AP. 21．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F. (1)求证：EF＝CF； (2)若∠B＝2∠A，AB＝6，且AC＝CE，求BM的长． 22．(12分)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法如图2. 1．作直径AF； 2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N； 3．连接AM，MN，NA； (1)求∠ABC的度数； (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 　　　　　 23．(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF. (1)求证：CE为⊙O的切线； (2)若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径． 　　　 24．(14分)如图1，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． (1)如图2，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G，H，连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$