第二章有理数及其运算第四讲绝对值讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第四讲 绝对值 【知识梳理】 知识点一 绝对值 1、 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作. 2、 绝对值的性质与应用 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 【例题精讲与精练】 考点一 绝对值的定义 【例题1】绝对值为4，且在数轴上对应的点在原点左侧的有理数为（ ） A、4 B、-4 C、4或-4 D、-2 答案：B 【例题精练】 1、若|a|＝8，则a=（ ） 答案：8或-8 2、（2022济源期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点为Q，R所表示的数的绝对值相等，则点P表示的数为（ ） 答案：5 3、一个数的绝对值是，这个数是（ ） 答案：± 考点二 绝对值的性质 【例题1】（2023深圳南山）的绝对值是（ ） A. -2022 B. C. 2022 D. 【答案】解：由绝对值的意义得，， 故选：B． 【例题精练】 1、 等于（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】B 2、下列四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 答案：解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是0，故B正确． 故选：B． 3、（2022淮安期末）下列说法中，正确的是（ ） A、任何有理数的绝对值都是正数 B、如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等 C、任何有理数的绝对值都不是负数 D、只有负数的绝对值是它的相反数 答案：C 【例题2】如果，那么= ；如果，那么 0 答案：-2 ＜ 【例题精练】 1、已知，且，则a的值为________ 答案：解：∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 2、对于任意有理数，下列式子的值不可能为0的是（ ） A、 B、 C、 D、 答案： C 3、字母表示一个有理数，下列关于的运算： ① ② ③ ④ 其中一定成立的有___________（把你认为正确的序号都填上）． 答案：解：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④当时，；当时，，故错误； 故答案为：①②． 4、已知数轴上a与b相差6个单位长度，若，则b的值为（    ） A．4 B．-4或8 C．-8 D．4或-8 答案：D 【例题3】已知为非零实数，则的可能值为 ． 答案：-2、0、2或4 【例题精练】 1、 _________ ；（、、均不为0） 答案：1、-1、-3、3 【例题4】化简|π﹣4|+|3﹣π|＝　 　． 答案：解：∵π≈3.414， ∴π﹣4＜0，3﹣π＜0， ∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1． 故答案为1． 2、若1，那么=( ) 答案：-1 【例题精练】 1、若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|． 答案：解：∵﹣1＜x＜4， ∴|x+1|+|4﹣x|＝1+x+4﹣x＝5． 【例题5】若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值． 答案：解：根据题意得，|2x﹣4|+|y﹣3|＝0， 所以，2x﹣4＝0，y﹣3＝0， 解得x＝2，y＝3， 则3x﹣y＝3×2﹣3＝3． 【例题精练】 1、 （1）如果，求的值； （2）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值． 答案：（1）；（2） 考点三 数轴与绝对值化简 【例题1】（2023广东阳江）若有理数a、b满足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，则有理数数a、b在数轴上的位置可能是（ ） A. B. C. D. 答案：解：A.∵a<0，b>0, <， ∴， ∴选项不符合题意； B. ∵a>0，b>0, <， ∴， ∴本选项不符合题意； C. ∵a>0，b>0, >， ∴， ∴本选项不符合题意； D. ∵a<0，b<0, >， ∴， ∴本选项符合题意； 故选：D． 【例题精练】 1、若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 答案：a 考点四 绝对值应用 【例题1】正规排球比赛对所使用的排球质量有严格规定，为270克克，因此在出厂前要严格检测．某排球生产厂以270克为标准，将超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．如图是其中5个排球的检测结果，则符合比赛规定的排球有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 【例题精练】 1、厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是　 　． 答案：解：|+1.5|＝1.5，|﹣0.6|＝0.6，|+0.7|＝0.7，|﹣0.|， 0.60.7＜1.5， 故最接近标准质量的足球是乙． 故答案为：乙． 2、已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度（ mm） +0.1 ﹣0.15 0.2 ﹣0.05 +0.25 （1）指出哪件样品的大小最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品， 答案： 解：（1）第4件样品的大小最符合要求． （2）因为|+0.1|＝0.1＜0.18，|﹣0.15|＝0.15＜0.18，|﹣0.05|＝0.05＜0.18．所以第1、2、4件样品是正品； 因为|0.2|＝0.2，0.18＜0.2＜0.22，所以第3件样品为次品； 因为|+0.25|＝0.25＞0.22，所以第5件样品为废品． 考点五 数形结合 【例题1】回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和两点之间的距离是 ； （3）数轴上表示和两点之间的距离是 ； （4）当代数式取最小值时，相应的值的取值范围是 ； （5）代数式的最小值为 ； 答案： （1）|3-6|=3 （2）|-3-（-6）|=3 （3）|-4-2|=6 (4)-1≤x≤2 （5）11 【例题精练】 1、如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是_______. (2)数轴上一个点到表示2的点的距离为5.2，这个点表示的数为______. (3)若x表示一个数，数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离是____；(用含x的式子表示) (4)若x表示一个数，|x+1|+|x﹣2|的最小值是______，相应的x的取值范围_______. 答案：(1)8；(2)7.2或﹣3.2；(3)|x+5|；(4)3，﹣1≤x≤2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 绝对值 【知识梳理】 知识点一 绝对值 1、 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作. 2、 绝对值的性质与应用 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 【例题精讲与精练】 考点一 绝对值的定义 【例题1】绝对值为4，且在数轴上对应的点在原点左侧的有理数为（ ） A、4 B、-4 C、4或-4 D、-2 【例题精练】 1、若|a|＝8，则a=（ ） 2、（2022济源期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点为Q，R所表示的数的绝对值相等，则点P表示的数为（ ） 3、一个数的绝对值是，这个数是（ ） 考点二 绝对值的性质 【例题1】（2023深圳南山）的绝对值是（ ） A. -2022 B. C. 2022 D. 【例题精练】 1、 等于（　　） A. B. 3 C. D. 2、下列四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 3、（2022淮安期末）下列说法中，正确的是（ ） A、任何有理数的绝对值都是正数 B、如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等 C、任何有理数的绝对值都不是负数 D、只有负数的绝对值是它的相反数 【例题2】如果，那么= ；如果，那么 0 【例题精练】 1、已知，且，则a的值为________ 2、对于任意有理数，下列式子的值不可能为0的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、字母表示一个有理数，下列关于的运算： ① ② ③ ④ 其中一定成立的有___________（把你认为正确的序号都填上）． 4、已知数轴上a与b相差6个单位长度，若，则b的值为（    ） A．4 B．-4或8 C．-8 D．4或-8 【例题3】已知为非零实数，则的可能值为 ． 【例题精练】 1、 _________ ；（、、均不为0） 【例题4】化简|π﹣4|+|3﹣π|＝　 　． 2、若1，那么=( ) 【例题精练】 1、若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|． 【例题5】若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值． 【例题精练】 1、 （1）如果，求的值； （2）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值． 考点三 数轴与绝对值化简 【例题1】（2023广东阳江）若有理数a、b满足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，则有理数数a、b在数轴上的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【例题精练】 1、若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 考点四 绝对值应用 【例题1】正规排球比赛对所使用的排球质量有严格规定，为270克克，因此在出厂前要严格检测．某排球生产厂以270克为标准，将超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．如图是其中5个排球的检测结果，则符合比赛规定的排球有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题精练】 1、厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是　 　． 2、已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度（ mm） +0.1 ﹣0.15 0.2 ﹣0.05 +0.25 （1）指出哪件样品的大小最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品， 考点五 数形结合 【例题1】回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和两点之间的距离是 ； （3）数轴上表示和两点之间的距离是 ； （4）当代数式取最小值时，相应的值的取值范围是 ； （5）代数式的最小值为 ； 【例题精练】 1、如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是_______. (2)数轴上一个点到表示2的点的距离为5.2，这个点表示的数为______. (3)若x表示一个数，数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离是____；(用含x的式子表示) (4)若x表示一个数，|x+1|+|x﹣2|的最小值是______，相应的x的取值范围_______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$