第二章有理数及其运算第二讲数轴讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 第二讲：数轴 【知识梳理】 知识点一 数轴 1、 数轴的概念及画法 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2、 数轴上的点与有理数的对应关系 数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，零用原点表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。 【例题精讲与精练】 考点一 数轴的概念与画法 【例题1】下列数轴表示正确的是（ ） 【例题精练】 1、关于数轴，下列说法最准确的是（ ） A、一条直线 B、有原点、正方向的一条直线 C、有单位长度的一条直线 D、规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 2、如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. -1.5 B. -2.5 C. -0.5 D. 0.5 【例题2】请画出一个数轴，在数轴上标出下列各点： +（﹣2）、；并用“＞”把这些数连起来． 【例题精练】 1、已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ） A. B. C. D. 2、 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数． ， ， ， 0 ， 3、（2023广东佛山）画出数轴，把下列各数分别在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“”连接起来：，3，，1.6，． 考点二 数轴上的点与有理数之间的关系 【例题1】一只蚂蚁从数轴上一点A 出发，爬了7个单位长度到了+1，则点A所表示的数是　 ． 【例题精练】 1、从数轴上表示﹣2的点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达的终点所表示的数是 　 　． 2、 在数4，，3，中，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 6 考点三 数轴上两点间的距离 【例题1】（2023广东佛山）点A在数轴上距的点3个单位长度，且位于原点左侧，则点A所表示的数是__________． 【例题精练】 1、 数轴上与表示的点距离2个单位长度的点所表示的数是________． 2、（2023广东佛山）数轴上到原点的距离2点所表示的数是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 4 3、（2023广东佛山）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（　　） A. 6 B. 2 C. 3或5 D. 2或6 考点四 数轴中的运动规律 【例题1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A、B、C、D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动． （1）数轴上的2所对应的点将与圆周上的字母 　 　所对应的点重合； （2）数轴上的数2021所对应的点将与圆周上的字母 　 　所对应的点重合． 【例题精练】 1、（2023广东佛山）把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，，则第6个数字是（ ） A. 114 B. 120 C. 124 D. 131 2、一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第100次落下时，落点在数轴上表示的数是　 　． 考点五 数轴上的应用 【例题1】（2023广东佛山） 国庆放假时，小明一家三口开车去探望爷爷、奶奶和外公、外婆，早上从家里出发，向东行了5千米到超市买东西，然后又向东行了2千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向西行了10千米到外公家，晚上开车返回家里． （1）若以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； （2）超市和外公家相距多少千米？ （3）若该汽车每千米耗油0.08升，求小明一家从出发到返回家，汽车的耗油量． 【例题精练】 1、（2023广东佛山） 一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼． （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示） （2）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 【例题2】（压轴）已知数轴上，点O为原点，点A表示的数为10，动点B、C在数轴上移动，且总保持BC＝3（点C在点B右侧），设点B表示的数为m． （1） 如图1，若B为OA中点，则AC＝　　，点C表示的数是　　； （2）若B、C都在线段OA上，且AC＝2OB，求此时m的值； （3）当线段BC沿射线AO方向移动时，若存在AC﹣OB＝AB，求满足条件的m值． 【例题精练】 1、（压轴）在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸运点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸运中心”． （1） 如图1，点A表示的数为，则点A的幸运点C所表示的数应该是__________； （2）如图2，A，B，P为数轴上三点．点A所表示的数为，点B所表示的数为3，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，该蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心？ 2、如图，数轴上线段AB＝3（单位长度），线段CD＝6（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为ts． （1）当点B与点C相遇时，点A，D在数轴上表示的数分别为 　 　； （2） 当t为何值时，点B刚好与线段CD的中点重合； （3）当运动到BC＝8（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数． 考点六 数轴上的折叠问题 【例题1】在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合； （3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？ 【例题精练】 1、在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： （1）应用一：若点在数轴上表示为3，数轴上点表示的数为5，两点的距离可以表示为，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为____． （2）应用二：在图①中，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为12，两点之间距离为4，将数轴沿着点折叠，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是_______；点表示的数是_______；点表示的数是_____． （3）应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了1圈时，绕在点上的数为______，负半轴的线缠绕了1圈时，绕在点上的数为_________．如果正半轴的线缠绕了圈时，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕，求绕在点且绝对值不超过100的所有数之和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算 第二讲：数轴 【知识梳理】 知识点一 数轴 1、 数轴的概念及画法 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2、 数轴上的点与有理数的对应关系 数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，零用原点表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。 【例题精讲与精练】 考点一 数轴的概念与画法 【例题1】下列数轴表示正确的是（ ） 答案：D 【例题精练】 1、关于数轴，下列说法最准确的是（ ） A、一条直线 B、有原点、正方向的一条直线 C、有单位长度的一条直线 D、规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 答案：D 2、如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. -1.5 B. -2.5 C. -0.5 D. 0.5 答案：解：设小手盖住的点表示的数为x，则−1＜x＜0，则表示的数可能是−0.5． 故选：C． 【例题2】请画出一个数轴，在数轴上标出下列各点： +（﹣2）、；并用“＞”把这些数连起来． 答案：画出数轴并在数轴上表示出各数为： 根据数轴的特点把各数从右到左用“＞”把这些数连起来： ﹣（﹣2.5）＞|﹣0.5|＞0＞﹣1＞+（﹣2）． 【例题精练】 1、已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置可得，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 2、 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数． ， ， ， 0 ， 答案：解：如图： 【点睛】本题主要考查数轴的三要素和点在数轴上的位置，掌握数轴及其意义是关键。 3、（2023广东佛山）画出数轴，把下列各数分别在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“”连接起来：，3，，1.6，． 答案：先将各数在数轴上表示出来，然后根据数轴上右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【详解】解：把各数表示在数轴如图所示： ， 由数轴可得：． 考点二 数轴上的点与有理数之间的关系 【例题1】一只蚂蚁从数轴上一点A 出发，爬了7个单位长度到了+1，则点A所表示的数是　 ． 答案：由题意得，+1+7＝8 +1-7＝-6 既点A所表示的数是-6或8 【例题精练】 1、从数轴上表示﹣2的点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达的终点所表示的数是 　 　． 答案：-1 2、 在数4，，3，中，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 6 答案：解：∵， ∴最小的是， 故选：A． 考点三 数轴上两点间的距离 【例题1】（2023广东佛山）点A在数轴上距的点3个单位长度，且位于原点左侧，则点A所表示的数是__________． 答案：解：∵点A在数轴上距的点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【例题精练】 1、 数轴上与表示的点距离2个单位长度的点所表示的数是________． 答案：分所表示的点在表示的点左边与右边两种情况进行解答即可得答案． 【详解】①数轴上在表示的点左边距离表示的点2个单位长度的点表示的数是， ②数轴上在表示的点右边距离表示的点2个单位长度的点表示的数是1． 故答案为：或1． 2、（2023广东佛山）数轴上到原点的距离2点所表示的数是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 4 答案：解：①与原点距离为2个单位长度点在原点左边时，它表示的数是； ②与原点距离为2个单位长度的点在原点右边时，它表示的数是2； ∴数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是或2． 故选：C． 3、（2023广东佛山）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（　　） A. 6 B. 2 C. 3或5 D. 2或6 答案：解：∵点A、B表示的数分别为、1， ∴． 第一种情况：C在线段的延长线上，如图， ∵， ∴； 第二种情况：C在线段上，如图，． 故选：D． 考点四 数轴中的运动规律 【例题1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A、B、C、D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动． （1）数轴上的2所对应的点将与圆周上的字母 　 　所对应的点重合； （2）数轴上的数2021所对应的点将与圆周上的字母 　 　所对应的点重合． 答案： 【例题精练】 1、（2023广东佛山）把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，，则第6个数字是（ ） A. 114 B. 120 C. 124 D. 131 答案：解：第1个数字为0， 第2个数字为， 第3个数字为， 第4个数字为， 归纳类推得：第个数字为，其中且为整数， 则第6个数字是， 故选：B． 2、一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第100次落下时，落点在数轴上表示的数是　 　． 答案：根据题意，可以写出前几次落点可以用哪些数字表示，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到当它跳第100次落下时，落点在数轴上表示的数． 【解答】解：由题意可得， 第一次落点可以用1表示， 第二次落点可以用﹣1表示， 第三次落点可以用2表示， 第四次落点可以用﹣2表示， … 则第100次落点可以用﹣50表示， 故答案为：﹣50． 【点评】本题考查数轴，图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，可以写出每次落点可以用哪个数字表示，发现数字的变化特点． 考点五 数轴上的应用 【例题1】（2023广东佛山） 国庆放假时，小明一家三口开车去探望爷爷、奶奶和外公、外婆，早上从家里出发，向东行了5千米到超市买东西，然后又向东行了2千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向西行了10千米到外公家，晚上开车返回家里． （1）若以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； （2）超市和外公家相距多少千米？ （3）若该汽车每千米耗油0.08升，求小明一家从出发到返回家，汽车的耗油量． 答案：（1）根据题意，确定A、B、C的位置； （2）点A表示的数减去点C表示的数就得AC的距离； （3）根据：总耗油量＝小明一家走过的路程×小轿车每千米耗油量，计算即可． 【详解】解：（1）A、B、C的位置如图所示： （2）因为5−（−3）＝8（千米） 故答案为：8； （3）小明一家走的路程：5＋2＋10＋3＝20（千米）， 共耗油：0.08×20＝1.6（升） 答：小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量为1.6升． 【例题精练】 1、（2023广东佛山） 一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼． （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示） （2）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 答案：解：（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，一辆货车从百货大楼出发，向东走了4千米，到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后西走了8.5千米，到达小刚家，最后返回百货大楼，则小明家表示的数为4，小红家表示的数为4+1.5=5.5，小刚家表示的数为5.5-8.5=-3 小明、小红、小刚家的位置如图所示： （2）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+8.5+3）×1.5＝25.5（升）． 答：这辆货车此次送货共耗油25.5升． 【点睛】本题考查了数轴和有理数混合运算，解题关键是明确数轴的意义，熟练运用有理数混合运算法则进行计算． 【例题2】（压轴）已知数轴上，点O为原点，点A表示的数为10，动点B、C在数轴上移动，且总保持BC＝3（点C在点B右侧），设点B表示的数为m． （1）如图1，若B为OA中点，则AC＝　2　，点C表示的数是　8　； （2）若B、C都在线段OA上，且AC＝2OB，求此时m的值； （3）当线段BC沿射线AO方向移动时，若存在AC﹣OB＝AB，求满足条件的m值． 解：（1）∵B为OA中点， ∴BO＝BA， ∵OA＝10， ∴AB＝OA＝5， ∴AC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2； 点C表示的数是8； （2）∵AC＝2OB，BC＝3，OA＝10， ∴BO＝×（10﹣3）＝． 此时m＝； （3）当点B在O右边时，（10﹣m﹣3）﹣m＝（10﹣m），解得m＝； 当点B在O左边时，（10﹣m﹣3）+m＝（10﹣m），解得m＝﹣11． 综上所述，满足条件的m值为或﹣11． 故答案为：2：，8． 【例题精练】 1、（压轴）在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸运点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸运中心”． （1）如图1，点A表示的数为，则点A的幸运点C所表示的数应该是__________； （2）如图2，A，B，P为数轴上三点．点A所表示的数为，点B所表示的数为3，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，该蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心？ 答案： 解：（1）∵，， ∴C表示的数是或2． 【小问2详解】 设经过x秒，蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心， 此时蚂蚁的所在的位置表示的数是：， 根据题意，得， 即， ①， 解得； ②， 解得； 综上，经过2秒或5秒，蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心． 2、如图，数轴上线段AB＝3（单位长度），线段CD＝6（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为ts． （1）当点B与点C相遇时，点A，D在数轴上表示的数分别为 　 　； （2）当t为何值时，点B刚好与线段CD的中点重合； （3）当运动到BC＝8（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数． 答案： 考点六 数轴上的折叠问题 【例题1】在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合； （3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？ 答案：（1）根据对称的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点； （2）若数﹣1表示的点与数5表示的点重合，则对称中心是2表示的点，从而找到0的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解； （3）先得到﹣1与5的对称点是2，第二次对折得到两个对称点是0.5和3.5． 【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与2表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与4表示的点重合； （3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，所有的折点表示的数0.5，2，3.5． 【例题精练】 1、在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： （1）应用一：若点在数轴上表示为3，数轴上点表示的数为5，两点的距离可以表示为，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为____． （2）应用二：在图①中，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为12，两点之间距离为4，将数轴沿着点折叠，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是_______；点表示的数是_______；点表示的数是_____． （3）应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了1圈时，绕在点上的数为______，负半轴的线缠绕了1圈时，绕在点上的数为_________．如果正半轴的线缠绕了圈时，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕，求绕在点且绝对值不超过100的所有数之和． 答案：（1） （2），4，或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意以及点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，即可得到答案； （2）根据点在点的左侧，两点之间距离为12，将数轴沿着点折叠，且两点沿着点折叠后重合，点表示的数为，即可求出点表示的数，设点表示的数为，根据两点之间距离为4，得到，解方程即可得到答案； （3）①分别找出正半轴和负半轴在点上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和；②找出绕在点且绝对值不超过100的所有数，求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为， 两点的距离可以表示为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点在点的左侧，两点之间距离为12，将数轴沿着点折叠，且两点沿着点折叠后重合，点表示的数为， 点表示的数是：，点表示的数是， 设点表示的数为， 两点之间距离为4， ， 解得：或， 点表示数为或， 故答案：，4，或； 【小问3详解】 解：①，，， 如果正半轴的线缠绕了1圈时，绕在点上的数为，负半轴的线缠绕了1圈时，绕在点上的数为， 如果正半轴的线缠绕了圈，绕在点上的数分别为9，21，33……， 点的数为：， 负半轴的线缠绕了圈，绕在点上的数分别为，，……， 点的数为：， 绕在点上的所有数之和为：； ②如果正半轴的线不变，并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕， 则正半轴上绕在点且绝对值不超过100的数字有：5，17，29，41，53，65，77，89， 将负半轴的线拉长一倍，并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕， 则负半轴上绕在点且绝对值不超过100的数字有：，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，， 绕在点且绝对值不超过100的所有数之和为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$