专题3.1.2 函数的表示【讲义：4知识点+3题型13角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

3.1 函数的概念及性质 专题3.1.2 函数的表示 知识点1：函数的表示 2 知识点2：描点法作函数图象的三个关注点 2 知识点3：分段函数 2 知识点4：函数的图像 3 题型1：函数解析式的四种求法 3 角度1：待定系数法求函数的解析式 3 角度2：换元法求函数的解析式 6 角度3：配凑法求函数的解析式 7 角度4：方程组法（或消元法）求函数的解析式 8 角度5：抽象函数的解析式 10 题型2：分段函数及其应用 12 角度1：分段函数的定义域 12 角度2：求分段函数值 14 角度3：分段函数与不等式 16 角度4：分段函数的实际应用 18 题型3：函数图像的相关问题 22 角度1：函数图像的识别 22 角度2：函数图像的应用 24 角度3：函数图像的变换 26 角度4：根据函数图像选择解析式 27 学习目标导航 关键词 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.(重点) 2 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.(难点) （1）解析法、列表法、 图象法 （2）分段函数 （3）图像 知识点1：函数的表示 1. 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系； （2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3. 图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点2：描点法作函数图象的三个关注点 1、画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； 2、图象时实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 3、要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心圈。 知识点3：分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． （2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 知识点4：函数的图像 1．函数图象的平移变换 左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． 上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象． 【特别提示】函数图像的平移变换“左加右减”指的是函数解析式中的x。 2. 函数图象的对称变换 (1)y＝f(x)y＝－f(x)； (2)y＝f(x)y＝f(－x)； (3)y＝f(x)y＝－f(－x)． 【巧记】关于谁对错，水不变；关于远点对称，全都变。 3. 函数图象的翻折变换 (1)y＝f(x)y＝|f(x)|； (2)y＝f(x)y＝f(|x|)． 【特别提示】含有绝对值符号的函数图像的画法，如y＝|f(x)|的图像和y＝f(|x|)的图像画法有两种： （1）去绝对值，先分别写成分段函数形式，在画图；（2）根据函数的翻折变化画图。 题型1：函数解析式的四种求法 角度1：待定系数法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 方法总结：待定系数法求函数的解析式 若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 角度2：换元法求函数的解析式 【典例2】（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则 ． 方法总结：换元法（或配凑法）求函数的解析式 主要用于解决已知=h(x)的解析式，求函数的解析式由两种方法： （1）换元法：先令，解出x，带入h(x)中，得到一个含有t的解析式，再利用x替换t，求得f（x）的解析式。利用换元法解题时，换元后要先确定t的取值范围，即函数f（x）的定义域。 （2）配凑法：将的解析式中陪凑出g(x)，用含g(x)的式子来表示h(x)，然后在讲解析式中的g(x)用x代替即可。 【变式2-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，则 . 【变式2-3】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 角度3：配凑法求函数的解析式 【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 方法总结：配凑法求函数的解析式 由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 【变式3-1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，且，则 . 【变式3-2】（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 角度4：方程组法（或消元法）求函数的解析式 【典例4】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 方法总结： 主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 【变式4-1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 【变式4-3】（23-24高一上·河南南阳·期末）已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 角度5：抽象函数的解析式 【典例5】（23-24高三上·山西晋中·开学考试）若函数满足，则 ． 【变式5-1】（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 【变式5-2】（2023高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知满足. (2)已知，对任意的实数x，y都有. 【变式5-3】（22-23高一下·安徽·开学考试）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求函数的值域. 题型2：分段函数及其应用 角度1：分段函数的定义域 【典例6】已知 （1）画出的图像； （2）求的定义域和值域. 【变式6-1】（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）（23-24高一上·山西大同·期中）下列各组函数中，与是同一函数的有（    ） A．， B．， C．， D．， 角度2：求分段函数值 【典例7】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ；的值域为 . 角度3：分段函数与不等式 【典例8】（23-24高二下·重庆长寿·期末）设函数，且 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【变式8-2】（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二下·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为 . 角度4：分段函数的实际应用 【典例9】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，把边长为1的正方形沿轴正方向平移，设平移的起点为边与轴重合之处且，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积表示为的函数. 【变式9-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以的速度返回地，把汽车离开地的距离）表示为时间（从地出发时开始计时）的函数，并画出该函数的图像. 【变式9-2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）： （单位：克） 0 1 2 9 0 3 (1)求关于的函数关系式 (2)求函数的最大值. 【变式9-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定设上课开始分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与的函数关系为：． (1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)若一个数学难题，需要及以上的接受能力（即）以及分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？ 题型3：函数图像的相关问题 角度1：函数图像的识别 【典例10】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A．B．C．D． 【变式10-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式10-2】（23-24高一上·福建三明·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（    ） A．   B．     C．   D．   【变式10-3】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   角度2：函数图像的应用 【典例11】（23-24高一·江苏·假期作业）如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 【变式11-3】（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数的图象如图所示，则 角度3：函数图像的变换 【典例12】（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【变式12-1】（2023高一·全国·专题练习）将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·全国·课后作业）将一元二次函数向左、向下各平移1个单位长度，得到的图像的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24高一上·江西·阶段练习）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象，则 . 角度4：根据函数图像选择解析式 【典例12】（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（22-23高一上·福建厦门·期中）如图所示，其对应的函数解析式可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式12-3】（21-22高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 函数的概念及性质 专题3.1.2 函数的表示 知识点1：函数的表示 2 知识点2：描点法作函数图象的三个关注点 2 知识点3：分段函数 2 知识点4：函数的图像 3 题型1：函数解析式的四种求法 3 角度1：待定系数法求函数的解析式 3 角度2：换元法求函数的解析式 6 角度3：配凑法求函数的解析式 7 角度4：方程组法（或消元法）求函数的解析式 8 角度5：抽象函数的解析式 10 题型2：分段函数及其应用 12 角度1：分段函数的定义域 12 角度2：求分段函数值 14 角度3：分段函数与不等式 16 角度4：分段函数的实际应用 18 题型3：函数图像的相关问题 22 角度1：函数图像的识别 22 角度2：函数图像的应用 24 角度3：函数图像的变换 26 角度4：根据函数图像选择解析式 27 学习目标导航 关键词 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.(重点) 2 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.(难点) （1）解析法、列表法、 图象法 （2）分段函数 （3）图像 知识点1：函数的表示 1. 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系； （2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3. 图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点2：描点法作函数图象的三个关注点 1、画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； 2、图象时实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 3、要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心圈。 知识点3：分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． （2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 知识点4：函数的图像 1．函数图象的平移变换 左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． 上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象． 【特别提示】函数图像的平移变换“左加右减”指的是函数解析式中的x。 2. 函数图象的对称变换 (1)y＝f(x)y＝－f(x)； (2)y＝f(x)y＝f(－x)； (3)y＝f(x)y＝－f(－x)． 【巧记】关于谁对错，水不变；关于远点对称，全都变。 3. 函数图象的翻折变换 (1)y＝f(x)y＝|f(x)|； (2)y＝f(x)y＝f(|x|)． 【特别提示】含有绝对值符号的函数图像的画法，如y＝|f(x)|的图像和y＝f(|x|)的图像画法有两种： （1）去绝对值，先分别写成分段函数形式，在画图；（2）根据函数的翻折变化画图。 题型1：函数解析式的四种求法 角度1：待定系数法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式； （2）写出函数，利用换元法求解函数的值域即可. 【详解】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 方法总结：待定系数法求函数的解析式 若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 角度2：换元法求函数的解析式 【典例2】（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】使用换元法求函数的解析式，然后代值计算即可. 【详解】由题意，， 令，则， 所以函数解析式为， 所以， 则． 故答案为：. 方法总结：换元法（或配凑法）求函数的解析式 主要用于解决已知=h(x)的解析式，求函数的解析式由两种方法： （1）换元法：先令，解出x，带入h(x)中，得到一个含有t的解析式，再利用x替换t，求得f（x）的解析式。利用换元法解题时，换元后要先确定t的取值范围，即函数f（x）的定义域。 （2）配凑法：将的解析式中陪凑出g(x)，用含g(x)的式子来表示h(x)，然后在讲解析式中的g(x)用x代替即可。 【变式2-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 【变式2-2】已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】令，换元求出函数的解析式，进而可得值域. 【详解】令，则 ，所以函数的值域为. 故答案为：. 角度3：配凑法求函数的解析式 【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】令，采用换元法则可求解. 【详解】令，则， 即 故答案为：. 方法总结：配凑法求函数的解析式 由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 【变式3-1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，且，则 . 【答案】4 【分析】求出的解析式，再由求的值. 【详解】，所以， 由得. 故答案为：4 【变式3-2】（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 【变式3-3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得， 故选：B 角度4：方程组法（或消元法）求函数的解析式 【典例4】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解. 【详解】因为，所以， 联立可得，所以，， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 方法总结： 主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 【变式4-1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 【变式4-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【详解】（1）令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. （2）因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 【变式4-3】（23-24高一上·河南南阳·期末）已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）用替换已知中的，然后解方程； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，① 所以，② 由①②可解得：. （2）由题知：， ∴ （当且仅当，即时取“＝”）. ∴的最小值为8. 角度5：抽象函数的解析式 【典例5】（23-24高三上·山西晋中·开学考试）若函数满足，则 ． 【答案】/ 【分析】根据的倒数关系，利用代入法构造方程组进行求解即可. 【详解】因为， 所以有， ，得， 所以， 故答案为： 【变式5-1】（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 【答案】 【分析】赋值法得到，，求出函数解析式. 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 【变式5-2】（2023高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知满足. (2)已知，对任意的实数x，y都有. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方程组法求解析式，注意定义域； （2）利用赋值法求抽象函数解析式； 【详解】（1）将代入，得， 因此，解得． （2）令，得， 所以，即． 【变式5-3】（22-23高一下·安徽·开学考试）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函数的解析式； （2）令，令，其中，利用二次函数的基本性质求出的值域，即为函数的值域. 【详解】（1）解：令，得，即. 令，则，则. （2）解：由（1）得，. 令，则，所以，， 令，其中，则， 即函数的值域为. 题型2：分段函数及其应用 角度1：分段函数的定义域 【典例6】已知 （1）画出的图像； （2）求的定义域和值域. 【答案】（1）答案见解析；（2）定义域为R，值域为[0，1]. 【分析】（1）结合二次函数与常数函数的图象直接作图； （2）由原函数解析式可得函数定义域，由图象得值域． 【详解】解：（1）画出分段函数的图象如图， （2）函数的定义域为；值域为． 【点睛】本题考查分段函数的图象及定义域和值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 【变式6-1】（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 【变式6-3】（多选）（23-24高一上·山西大同·期中）下列各组函数中，与是同一函数的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】对选项中的两函数分别从定义域、值域、对应关系进行逐一判断，即可得出结论. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为R，故A错误； 对于B，与的定义域相同，对应关系相同，故B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为R，故C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系相同，故D正确. 故选：BD． 角度2：求分段函数值 【典例7】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 【变式7-1】（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，再作出其图象求解. 【详解】解：由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故选：A 【变式7-2】（22-23高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 【变式7-3】（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ；的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的含义及自变量的范围，分类讨论求解的值域；由函数在的取值先得出函数的表达式，然后分析的值域. 【详解】因为函数, 所以函数在上的值域为. 函数. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：；. 角度3：分段函数与不等式 【典例8】（23-24高二下·重庆长寿·期末）设函数，且 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入条件，列出方程组，即可求解； （2）分和两种情况，分别解不等式. 【详解】（1）由得 故； （2）①当时， 即 ②当时， 即 综合①②得. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 【变式8-2】（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式8-3】（23-24高二下·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 角度4：分段函数的实际应用 【典例9】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，把边长为1的正方形沿轴正方向平移，设平移的起点为边与轴重合之处且，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积表示为的函数. 【答案】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式，进而得到函数的解析式. 【详解】根据题意，设平移的起点为边与轴重合之处且， 当时，可得； 当时，如图所示，因为，可得， 在等腰直角和中，可得， 又由，且， 所以 ； 当时，可得； 当时，可得， 所以公共部分的面积表示为的函数. 【变式9-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以的速度返回地，把汽车离开地的距离）表示为时间（从地出发时开始计时）的函数，并画出该函数的图像. 【答案】；图象见解析 【分析】根据题意，得到距离关于时间的函数关系式，进而的函数的图象，即可求解. 【详解】根据题意，汽车离开地的距离关于时间的函数关系式为： ，即， 该函数的图象，如图所示： . 【变式9-2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）： （单位：克） 0 1 2 9 0 3 (1)求关于的函数关系式 (2)求函数的最大值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）待定系数法，设出函数解析式，代入表格中的数据计算即可； （2）由函数解析式，根据函数性质，分段求最大值，得函数的最大值. 【详解】（1）当时，设， 由表格数据可得， 解得，即． 当时，，由表格数据可得，解得， 所以当时，． 综上， （2）当时，， 所以当时，函数的最大值为4； 当时，单调递减，所以的最大值为． 因为，所以函数的最大值为4． 【变式9-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定设上课开始分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与的函数关系为：． (1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)若一个数学难题，需要及以上的接受能力（即）以及分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？ 【答案】(1)开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟； (2)不能. 【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解； （2）分段求解不等式即可得解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为， 因为当时，， 当时，，当时，. 所以开讲后分钟接受能力最强，且能维持分钟. （2）当时，， 解得， 当时，，满足要求， 当时，， 解得， 故分钟分钟， 老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题． 题型3：函数图像的相关问题 角度1：函数图像的识别 【典例10】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象. 【详解】由题意可知 当时，，且过程中增速变慢， 当时，，且过程中增速变快， 所以的图象可表示为选项B， 故选：B 【变式10-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解. 【详解】因为，所以当时，，故排除ABC， 又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确. 故选：D. 【变式10-2】（23-24高一上·福建三明·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论的取值范围，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】对于， 当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除AB； 当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除D； 而C选项满足上述条件. 故选：C. 【变式10-3】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【答案】C 【分析】根据的定义域即可判断. 【详解】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C. 故选：C. 角度2：函数图像的应用 【典例11】（23-24高一·江苏·假期作业）如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合判断各区间函数值的正负即可. 【详解】由图象可得当， 此时需满足，则，故； 当， 此时需满足，则，故. 综上所述，. 故选：D. 【变式11-1】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域可判断的符号，分别令可判断的符号. 【详解】由，得，所以的定义域为， 由图可知，得， 令，则，得， 由图可知，得， 令，得，由图可知，得， 所以， 综上，，，， 故选：D 【变式11-2】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 【答案】D 【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得. 【详解】观察函数的图象，得，由数表得， 所以. 故选：D 【变式11-3】（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数的图象如图所示，则 【答案】 【分析】根据函数的图象，直接求函数值即可. 【详解】由函数图象知，. 故答案为： 角度3：函数图像的变换 【典例12】（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【分析】先变形得到，故利用“上加下减，左加右减”得到答案. 【详解】， 故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到. 故选：A 【变式12-1】（2023高一·全国·专题练习）将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象平移规律可得答案. 【详解】将函数的图象向右平移2个单位长度可得函数的图象， 再将函数的图象向下平移1个单位长度后得到函数的图象. 故选：C. 【变式11-2】（23-24高一上·全国·课后作业）将一元二次函数向左、向下各平移1个单位长度，得到的图像的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图像平移的规则求平移后的函数解析式. 【详解】将一元二次函数向左、向下各平移1个单位长度，得到的图像的解析式为. 故选：D 【变式11-3】（23-24高一上·江西·阶段练习）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象，则 . 【答案】 【分析】由图象平移方法，可得二次函数的解析式，进而求得系数和. 【详解】由题意可得， 所以，则. 故答案为：. 角度4：根据函数图像选择解析式 【典例12】（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 【变式12-1】（2024·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解. 【详解】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，， 对于C，当时，，C不可能； 对于D，当时，，D不可能； 对于A，当时，，而当时，，则，A可能； 对于B，当时，，而当时，，则，B不可能. 故选：A 【变式12-2】（22-23高一上·福建厦门·期中）如图所示，其对应的函数解析式可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，由函数定义域及函数值的情况判断作答. 【详解】由图象知，函数定义域为，而函数定义域为，A不是； 函数的定义域为R，D不是； 由图象知，在的邻近区域内，函数值为正，而当时，，，C不是，B可能是. 故选：B 【变式12-3】（21-22高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项. 【详解】对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可得，故A不符合； 对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可知D符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知B不符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知C不符合； 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$