3.1.1 函数的概念【讲义：3知识点+3题型10角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

3.1 函数的概念及表示 3.1.1 函数的概念 知识点1：函数的定义及概念 2 知识点2：区间及相关概念 2 知识点3：求函数的定义域的依据 3 题型1：函数的定义域问题 3 角度1：求已知解析式函数的定义域 3 角度2：求实际问题中函数的定义域 6 角度3：求复合函数、抽象函数的定义域 9 角度4：已知函数的定义域求参数的值（或取值范围） 11 题型2：函数式的求值问题 12 角度1：已知函数的解析式求函数的值 12 角度2：求抽象函数的函数值 14 题型3：函数的值域问题 15 角度1：求常见函数（一次函数、二次函数和反比例函数等）的值域 16 角度2：复杂（根式型、分式型）函数的值域 17 角度3：已知函数的值域求参数的值（取值范围） 19 角度4：抽象函数、复合函数的值域问题 21 学习目标导航 关键词 1. 在“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”；(重点) 2. 经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养；(重点) 3.从数学模型构成要素的题型认识具体函数，并通过函数的表示，进一步加深对函数概念的认识。 (难点) ① 函数 ② 定义域 ③ 值域 ④ 区间 知识点1：函数的定义及概念 1. 函数的定义： 设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2. 函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3. 同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。 知识点2：区间及相关概念 1. 一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2. 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3. 特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 知识点3：求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 题型1：函数的定义域问题 角度1：求已知解析式函数的定义域 【典例1】（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 方法总结：求函数定义域的一般原则 (1)如果f(x)是整式，那么其定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式那么其定义域是使分母不为0的实数集合； (3)如果f(x)是偶次根式，那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； (4)f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}； (5)如果f(x)是由几部分数学式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 【特别提示】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示，则不能用“或”连接应用，并集符号“∪”连接. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）求下列函数的定义域. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-3】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）求下列函数的定义域： (1) (2) 角度2：求实际问题中函数的定义域 【典例2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【变式2-1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 【变式2-3】为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米. (1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域 (2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 角度3：求复合函数、抽象函数的定义域 【典例3】（23-24高一上·湖南常德·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域用区间表示为 ． 方法总结：复合函数和抽象函数定义域的求法 （1）若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中g(x)∈[a，b]，解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域。 （2）若f(g(x))的定义域为[m，n]，则x∈[m，n]，从而可得g(x)的取值范围，设u=g(x)，则f(g(x))=f(u)，又f(u)与f(x)是同一函数，所以g(x)的取值范围即f(x)的定义域。 （3）已知f (φ(x))的定义域，求f (h(x))的定义域，可先由f(φ(x))的定义域求出φ(x)的取值范围，即得f(x)的定义域，进而可得h(x)的取值范围再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围，即得f(h(x))的定义域。 【变式3-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 角度4：已知函数的定义域求参数的值（或取值范围） 【典例4】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法总结：已知函数的定义域求参数的值(取值范围)的方法 (1)已知函数定义域，求参数值的问题，可转化为已知不等式的解集求参数值的问题来处理. (2)已知函数定义域为R，求参数的取值范围的问题，通常转化为不等式恒成立或方程无解的问题来处理 【变式4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为， 则 ． 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 【变式4-3】（22-23高一上·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 题型2：函数式的求值问题 角度1：已知函数的解析式求函数的值 【典例5】（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式5-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，若，则 ． 【变式5-2】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【变式5-3】（22-23高一上·全国·期中）已知，则 ． 角度2：求抽象函数的函数值 【典例6】（23-24高一上·福建福州·期末）（多选）函数的定义域为，，，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是增函数 D．是偶函数 【变式6-1】（2024高一·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（    ） A．0 B．-2 C．2 D．4 【变式6-2】（23-24高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 题型3：函数的值域问题 角度1：求常见函数（一次函数、二次函数和反比例函数等）的值域 【典例7】（23-24高一上·四川泸州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 方法总结：求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应关系用观察的方法来确定函数的值域； (2)配方法：对于含二次项的有关问题，常根据问题的要求，采用配方法来解决； (3)分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式的函数，常采用分离常数法求值域； (4)判别式法：将函数视为关于自变量的一元二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数，使用此法要特别注意函数的定义域，并注意验证等号能否取到； (5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式(组)求解； (6)换元法：对于一些无理函数，常通过换元的方法将其化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法求出原函数的值域。 【变式7-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【变式7-3】（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 角度2：复杂（根式型、分式型）函数的值域 【典例8】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【变式8-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【变式8-3】（2024高一上·浙江杭州·专题练习）函数的最大值是 角度3：已知函数的值域求参数的值（取值范围） 【典例9】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 方法总结：已知函数的值域求参数问题的解题思路 (1)注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集； (2)根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围 【变式9-1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 角度4：抽象函数、复合函数的值域问题 【典例10】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【变式10-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 函数的概念及表示 3.1.1 函数的概念 知识点1：函数的定义及概念 2 知识点2：区间及相关概念 2 知识点3：求函数的定义域的依据 3 题型1：函数的定义域问题 3 角度1：求已知解析式函数的定义域 3 角度2：求实际问题中函数的定义域 6 角度3：求复合函数、抽象函数的定义域 9 角度4：已知函数的定义域求参数的值（或取值范围） 11 题型2：函数式的求值问题 12 角度1：已知函数的解析式求函数的值 12 角度2：求抽象函数的函数值 14 题型3：函数的值域问题 15 角度1：求常见函数（一次函数、二次函数和反比例函数等）的值域 16 角度2：复杂（根式型、分式型）函数的值域 17 角度3：已知函数的值域求参数的值（取值范围） 19 角度4：抽象函数、复合函数的值域问题 21 学习目标导航 关键词 1. 在“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”；(重点) 2. 经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养；(重点) 3.从数学模型构成要素的题型认识具体函数，并通过函数的表示，进一步加深对函数概念的认识。 (难点) ① 函数 ② 定义域 ③ 值域 ④ 区间 知识点1：函数的定义及概念 1. 函数的定义： 设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2. 函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3. 同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。 知识点2：区间及相关概念 1. 一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2. 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3. 特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 知识点3：求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 题型1：函数的定义域问题 角度1：求已知解析式函数的定义域 【典例1】（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合. 【详解】（1）要使分式有意义，则， 由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且. 故的定义域为； （3）要使分式有意义，则， 当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义； 综上可知，的定义域为. 方法总结：求函数定义域的一般原则 (1)如果f(x)是整式，那么其定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式那么其定义域是使分母不为0的实数集合； (3)如果f(x)是偶次根式，那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； (4)f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}； (5)如果f(x)是由几部分数学式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 【特别提示】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示，则不能用“或”连接应用，并集符号“∪”连接. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 【变式1-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）求下列函数的定义域. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)（3）由分式中分母不为，偶次根式中被开方数不小于列出关于的方程组求解即可. （2）（4）偶次根式中被开方数不小于列出关于的方程组求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得：且， 所以函数的定义域为. （2）由题意得，解得：， 所以函数的定义域为. （3）由题意得，解得：且， 所以函数的定义域为. （4）由题意得，解得：或 所以函数的定义域为. 【变式1-3】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）求下列函数的定义域： (1) (2) 【答案】(1) (2)且且 【分析】由分式中分母不为0，偶次根式中被开方数不小于0列式求解即可. 【详解】（1）由题意知， ，解得，故函数定义域为. （2）由题意知，，解得且且， 故函数定义域为且且. 角度2：求实际问题中函数的定义域 【典例2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】(1)， (2)当为时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，，所以. （2） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 【变式2-1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 【变式2-2】（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 【变式2-3】为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米. (1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域 (2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 【答案】(1),定义域为； (2)米时面积最大 【分析】（1）根据题意，列出关系式即可；（2）根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】（1）设隔离病区的长为x米，由面积为10000平方米，得宽为米， 由题意知，，解得， 所以，， 定义域为 （2）由（1）知，, 当且仅当，，即时，等号成立. 所以，当该隔离病区的长为，才能使工作区域的总面积最大. 角度3：求复合函数、抽象函数的定义域 【典例3】（23-24高一上·湖南常德·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域用区间表示为 ． 【答案】 【分析】按定义域的定义即可求解. 【详解】由题有 解得 故答案为： 方法总结：复合函数和抽象函数定义域的求法 （1）若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中g(x)∈[a，b]，解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域。 （2）若f(g(x))的定义域为[m，n]，则x∈[m，n]，从而可得g(x)的取值范围，设u=g(x)，则f(g(x))=f(u)，又f(u)与f(x)是同一函数，所以g(x)的取值范围即f(x)的定义域。 （3）已知f (φ(x))的定义域，求f (h(x))的定义域，可先由f(φ(x))的定义域求出φ(x)的取值范围，即得f(x)的定义域，进而可得h(x)的取值范围再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围，即得f(h(x))的定义域。 【变式3-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C 【变式3-3】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 角度4：已知函数的定义域求参数的值（或取值范围） 【典例4】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上所述：实数m的取值范围是. 故选：B. 方法总结：已知函数的定义域求参数的值(取值范围)的方法 (1)已知函数定义域，求参数值的问题，可转化为已知不等式的解集求参数值的问题来处理. (2)已知函数定义域为R，求参数的取值范围的问题，通常转化为不等式恒成立或方程无解的问题来处理 【变式4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为， 则 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 当时，，与已知矛盾. 当时，， 函数的定义域为， 所以，，两边平方得. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把函数中的x的取值范围为R，转化为对任意实数恒成立．然后对分类讨论得答案． 【详解】由已知恒成立， 当时符合题意， 当时，， ， 综上所述， 故答案为：． 【变式4-3】（22-23高一上·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 题型2：函数式的求值问题 角度1：已知函数的解析式求函数的值 【典例5】（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，若，则 ． 【答案】 【分析】先计算，然后利用此结论求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 因为，所以，得． 故答案为： 【变式5-2】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将分别代入与的解析式即可得解； （2）利用（1）中结论，将，的值分别代入与的解析式，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）知， . 【变式5-3】（22-23高一上·全国·期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】由于函数的对应关系式为，只需设，求得参数的值，进而求得即可. 【详解】令，即，解得，则． 故答案为：5. 角度2：求抽象函数的函数值 【典例6】（23-24高一上·福建福州·期末）（多选）函数的定义域为，，，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是增函数 D．是偶函数 【答案】BC 【分析】利用赋值法可得，进而可判断B,分别令和得，即可结合选项求解ACD. 【详解】令，则，则，B正确． 令，则  ①． 令，则， 所以  ②． 联立①②可得，则，A错误． 函数为增函数，且为非奇非偶函数，所以C正确，D错误． 故选：BC． 【变式6-1】（2024高一·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（    ） A．0 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题用赋值法求抽象函数的值，首先赋值，求出，再赋值，求出，再赋值求即可. 【详解】令 ，则原式变为，即， 所以或者，当时，令得到， 所以，不满足题意舍去，所以， 令 ，可得，所以 令 ，可得，所以 所以 故选：A. 【变式6-2】（23-24高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出的值，进而可得，的值，以此类推即可得出结果。 【详解】令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ， 依次类推可得。 故选：C 【变式6-3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】通过赋值得，，由此即可得解. 【详解】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 题型3：函数的值域问题 角度1：求常见函数（一次函数、二次函数和反比例函数等）的值域 【典例7】（23-24高一上·四川泸州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案. 【详解】对称轴为, 所以在严格增，所以， 故选：C. 方法总结：求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应关系用观察的方法来确定函数的值域； (2)配方法：对于含二次项的有关问题，常根据问题的要求，采用配方法来解决； (3)分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式的函数，常采用分离常数法求值域； (4)判别式法：将函数视为关于自变量的一元二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数，使用此法要特别注意函数的定义域，并注意验证等号能否取到； (5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式(组)求解； (6)换元法：对于一些无理函数，常通过换元的方法将其化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法求出原函数的值域。 【变式7-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解. 【详解】因为， 则又 故函数的值域为 故答案为： 角度2：复杂（根式型、分式型）函数的值域 【典例8】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 【变式8-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 【变式8-3】（2024高一上·浙江杭州·专题练习）函数的最大值是 【答案】 【分析】对函数进行平方处理，结合二次函数的最值情况求解即可. 【详解】 当时取最大值，则的最大值是. 故答案为：. 角度3：已知函数的值域求参数的值（取值范围） 【典例9】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由， 解得或， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 对称轴为，且，， 所以对任意的，. 时，是增函数，， 由得， 若对任意的，总存在，使成立， 所以，解得， 所以正实数的取值范围是. 方法总结：已知函数的值域求参数问题的解题思路 (1)注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集； (2)根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围 【变式9-1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 【变式9-3】若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据为一次函数列式计算即可. 【详解】由题意知为一次函数，则 所以. 故答案为：. 角度4：抽象函数、复合函数的值域问题 【典例10】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围. 【详解】因为函数的值域为，即， 所以， 所以，即函数的值域为. 故选：A 【变式10-1】（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC 【变式10-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 【变式10-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ． 【答案】 【分析】令求出的取值范围，即可得到的定义域，再根据函数图象的变换得到值域不变. 【详解】因为函数的定义域为，值域为， 对于函数，令，解得，即函数的定义域为， 而的图象可以由的图象向左平移个单位得到， 所以的值域与的值域相同，即为. 故答案为：； 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$