第二十一章一元二次方程单元测试2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册一元二次方程 一、选择题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（　　） A．0 B． C．3 D．-3 3．用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 4．定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（　　） A．11 B．27 C．5或11 D．21或27 6．春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．已知方程，当时，方程的解为（　　） A． B． C． D． 8．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为 A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 9． 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（　　） A．52 B．60 C．68 D．76 10．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 二、填空题 11．设x1，x2是关于x的方程x2－2x＋k＝0的两个根，且x1＝x2，则k的值为　 　． 12．设是方程的两个实数根，则的值是　 　 ． 13．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为　 　. 14．若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是　 　． 15．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是　 　. 16．已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为　 　． 三、解答题 17．解方程： 18．已知关于x的方程：有两个不相等的实数根， （1）求实数k的取值范围、 （2）已如方程的一个根为5，求方程的另一个根． 19．记（如，则；，则），其中为正自然数，，为实数． （1）用和分别表示，； （2）若，求的取值范围． 20．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 21．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”—《论语·第十二章·为政篇》 列方程解决下面问题： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积． 23．在2023年1月初新冠肺炎疫情大爆发期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题． 用点、、…分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示： （1）填写上图中第四个图中y的值为　 　，第五个图中y的值为　 　． （2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　 　，当时，对应的　 　． （3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】1 12．【答案】 13．【答案】-1或-4 14．【答案】20% 15．【答案】12﹣4 或 ﹣3或4 16．【答案】3 17．【答案】 18．【答案】（1） （2）-1 19．【答案】（1）； （2） 20．【答案】（1），3；（2），，；（3） 21．【答案】周瑜的年龄是36岁． 22．【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时 勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0； （2）证明：根据题意，得 Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab ∵a2+b2＝c2 ∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0 即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c ∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6 ∴3c＝6 ∴c＝2 ∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2 ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab ∴ab＝2 ∴S△ABC＝ab＝1． 23．【答案】（1）10；15 （2）；1128 （3）依题意，得：， 化简，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该班共有20名女生． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$