21.3 实际问题与一元二次方程（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

（人教版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤知识点一 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 传播问题 式有意义的条件 【例题1】（2023秋•枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（　　） A．512人 B．596人 C．648人 D．729人 ◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ． ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为． 【变式1-1】（2023•五华区校级模拟）2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍x支，共比赛了36场，则下列方程中正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36 C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36 【变式1-2】小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式1-4】（2023•鸡西二模）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　） A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【变式1-5】（2023秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）． （1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　 　场比赛； （2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【变式1-6】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？ 题型二 增长率问题 【例题2】（2023春•龙口市期中）某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（　　） A．2.1% B．11% C．10% D．10%或21% 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量． 平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【变式2-1】（2024春•江北区校级期末）保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是（　　） A．100（1﹣2x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝100 【变式2-2】（2024•霍邱县模拟）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（　　） A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4 【变式2-3】（2023•富锦市校级三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由1280元降为720元．已知两次降价的百分率都是x%，则x的值是（　　） A．25% B．25 C．20% D．20 【变式2-4】（2024•白银模拟）某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝　 　． 【变式2-5】（2023春•梧州期中）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同． （1）求这个增长率； （2）求3月份的利润是多少万元？ 【变式2-6】（2024•榆阳区二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率． 【变式2-7】（2024春•姑苏区校级期末）聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 题型三 面积问题----几何图形的问题 综合应用 【例题3】（2023•盐湖区校级三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（　　） A．1 B．4 C．6 D．9 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式3-1】（2023•南岗区校级二模）有一矩形长边8米，短边6米，现将长边加长x米、短边同时缩短x米，使变化后的矩形面积为40平方米，则下列方程正确的是（　　） A．8×6﹣x2＝40 B．（8+x）（6﹣x）＝40 C．（8+x）（6﹣x）÷2＝40 D．（8﹣x）（6+x）＝40 【变式3-2】（2024春•金寨县期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为x（单位：米），下列方程正确的是（　　） A．19x+30x＝30×19﹣390 B．2x2+30x＝30×19﹣390 C．（30﹣x）（19﹣2x）＝390 D．（30﹣x）（19﹣x）＝390 【变式3-3】（2023春•舒城县校级期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（　　） A．2 B．7 C．2或7 D．3或6 【变式3-4】由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 　 　． 【变式3-5】（2023•青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 　 　m． 题型四 面积问题----边框与甬道问题 综合应用 【例题4】（2023秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 　 　m． 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式4-1】如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540 【变式4-2】（2024春•金安区校级期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【变式4-3】（2023春•包河区期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　 　米． 【变式4-4】（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　 　． 【变式4-5】（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 【变式4-6】（2024春•西城区校级月考）梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【变式4-7】（2024春•瑶海区期末）有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水池ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． （1）设道路的宽为x m，则正方形的面积为 　　 m2．（用含x的代数式表示） （2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 题型五 面积问题----围墙问题 【例题5】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m． （1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长； （2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？ 围墙问题难点是用材料围成的图形的边如何表示及所围图形的平行于墙的线段的取值范围. 【变式5-1】（2023•揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（　　） A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600 【变式5-2】某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 　 　米． 【变式5-3】学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 【变式5-4】（2022春•淄川区期中）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 【变式5-5】（2024春•宿迁期末）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设BC长为x米． （1）DC＝　 米（用含x的代数式表示）； （2）若长方形围栏ABCD面积为210平方米，求BC的长； （3）长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 【变式5-6】（2024春•鄞州区期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD． （1）如图1，利用墙围成矩形花园ABCD，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长； （2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园ABCD，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出BC的长；若不能，请说明理由． 题型六 商品销售问题 【例题6】（2023•偃师市模拟）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600 ◆商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【变式6-1】（2023•兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440 【变式6-2】（2023春•鹿城区校级期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【变式6-3】（2024•佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【变式6-4】（2024春•鼓楼区校级期末）某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的售价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝38；x＝25时，y＝30． （1）求y与x的函数关系式； （2）若某次销售刚好获得192万元的利润，则每件A型产品的售价是多少元？ 【变式6-5】（2024•鼓楼区校级模拟）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍． （1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； （2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【变式6-6】（2024春•海曙区期末）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降x元，则每天能售出 　 　千克（用含x的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 题型七 数字问题 【例题7】（2021春•瑶海区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设未知数的方法，即设这个多位数的某一位上的数字为x，然后将其它数位上的数字用含x的式子表示出来，最后根据题中的等量关系列方程求解即． 【变式7-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 　 ． 【变式7-2】（2023秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【变式7-3】（2023秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【变式7-4（2023秋•西吉县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 题型八 动点运动问题 【例题8】（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 以“静”制“动”求解动态问题 1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键； 2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题. 【变式8-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 【变式8-3】（2023春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动． （1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？ （2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？ 【变式8-4】（2024春•东平县期末）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，MN的长为？ （2）经过多长时间，△AMN的面积等于长方形ABCD面积的？ 【变式8-5】（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （人教版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤知识点一 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 传播问题 式有意义的条件 【例题1】（2023秋•枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（　　） A．512人 B．596人 C．648人 D．729人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论，根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 即每轮传染中平均一个人传染8个人． ∴81+81×8＝729（人）． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程． ◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ． ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为． 【变式1-1】（2023•五华区校级模拟）2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍x支，共比赛了36场，则下列方程中正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36 C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝36． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-2】小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据“一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 由题意得：1+x+x2＝21， 整理得：x2+x﹣20＝0， 解得：x1＝﹣5（不符合题意，舍去），x2＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信，根据共发出90条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴这个微信群的人数为9人． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-4】（2023•鸡西二模）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　） A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【分析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-5】（2023秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）． （1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　 　场比赛； （2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【分析】（1）利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可求出结论； （2）设有x支球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：（1）6×（6﹣1）÷2＝15（场）， ∴如果有6支球队参加比赛，那么共进行15场比赛． 故答案为：15． （2）设有x支球队参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：有10支球队参加比赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-6】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？ 【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染，根据经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮感染后被感染的电脑数量＝经过两轮感染后被感染的电脑数量×（1+每轮感染中平均一台电脑感染电脑的数量），即可求出经过三轮感染后被感染的电脑数量，再将其与500比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染， 依题意得：1+x+x（1+x）＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染7台电脑． （2）64×（1+7）＝512（台）． ∵512＞500， ∴3轮感染后，被感染的电脑会超过500台． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型二 增长率问题 【例题2】（2023春•龙口市期中）某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（　　） A．2.1% B．11% C．10% D．10%或21% 【分析】设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2021年及2023年平均每间店面房的年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意得：10×（1+x）2＝12.1． 解得：x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）， ∴2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系列出关于x的一元二次方程． 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量． 平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【变式2-1】（2024春•江北区校级期末）保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是（　　） A．100（1﹣2x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝100 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程81（1+x）2＝100，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 81（1+x）2＝100， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【变式2-2】（2024•霍邱县模拟）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（　　） A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4 【分析】由增长率间的关系，可得出第二年增长率为2x，设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，利用两年后产值＝原产值×（1+第一年增长率）×（1+第二年增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵第二年增长率是第一年增长率的2倍，且第一年增长率为x， ∴第二年增长率为2x． 设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a， 根据题意得：a（1+x）（1+2x）＝4a， 即（1+x）（1+2x）＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-3】（2023•富锦市校级三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由1280元降为720元．已知两次降价的百分率都是x%，则x的值是（　　） A．25% B．25 C．20% D．20 【分析】根据经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣x%）2建立方程，解方程即可得． 【解答】解：由题意得：1280（1﹣x%）2＝720， 解得x＝25或x＝175， 当x＝175时，1﹣175%＝﹣75%＜0（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【变式2-4】（2024•白银模拟）某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝　 　． 【分析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x． 【解答】解：依题意，有：100（1+x）2＝144， 1+x＝±1.2， 解得：x＝20%或﹣2.2（舍去）． 故答案为：20%． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率的求解公式列出方程． 【变式2-5】（2023春•梧州期中）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同． （1）求这个增长率； （2）求3月份的利润是多少万元？ 【分析】（1）设这个增长率为x，则2月份获得利润20（1+x）万元，3月份获得利润20（1+x）2万元，根据3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用3月份的利润＝1月份的利润×（1+增长率）2，即可求出结论． 【解答】解：（1）设这个增长率为x，则2月份获得利润20（1+x）万元，3月份获得利润20（1+x）2万元， 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）＝4.8， 整理得：25x2+25x﹣6＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）． 答：这个增长率为20%． （2）20×（1+20%）2＝20×1.44＝28.8（万元）． 答：3月份的利润是28.8万元． 【变式2-6】（2024•榆阳区二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率． 【分析】设从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，利用该单位4月份A4纸的用纸量＝该单位2月份A4纸的用纸量×（1﹣从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x， 根据题意得：1000（1﹣x）2＝640， ∴1﹣x＝±0.8， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-7】（2024春•姑苏区校级期末）聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【分析】（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金金额＝2021年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）用2024年投入的费用除以改造的平均费用即可求解． 【解答】解：（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为20%； （2）1440×（1+20%）÷80≈21.6． 答：该市在2024年最多可以改造21个小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程． 题型三 面积问题----几何图形的问题 综合应用 【例题3】（2023•盐湖区校级三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（　　） A．1 B．4 C．6 D．9 【分析】根据原正方形铁皮的面积为x2+24x，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用长方体的表面积计算公式，即可得出结论． 【解答】解：依题意，得：（x+2×2）2＝x2+24x， 解得：x＝1， ∴x2+4×2x＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式3-1】（2023•南岗区校级二模）有一矩形长边8米，短边6米，现将长边加长x米、短边同时缩短x米，使变化后的矩形面积为40平方米，则下列方程正确的是（　　） A．8×6﹣x2＝40 B．（8+x）（6﹣x）＝40 C．（8+x）（6﹣x）÷2＝40 D．（8﹣x）（6+x）＝40 【分析】由原矩形的长和宽，可得出变化后的长边（8+x）米，短边（6﹣x）米，结合变化后的矩形面积为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：变化后的长边（8+x）米，短边（6﹣x）米， ∴变化后的矩形面积（8+x）（6﹣x）＝40． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-2】（2024春•金寨县期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为x（单位：米），下列方程正确的是（　　） A．19x+30x＝30×19﹣390 B．2x2+30x＝30×19﹣390 C．（30﹣x）（19﹣2x）＝390 D．（30﹣x）（19﹣x）＝390 【分析】根据题意，先计算停车位的长，宽，后计算即可． 【解答】解：根据题意，得（30﹣x）（19﹣x）＝390， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示车位的面积是解题的关键． 【变式3-3】（2023春•舒城县校级期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（　　） A．2 B．7 C．2或7 D．3或6 【分析】根据各边之间的关系，可得出做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的长方形，结合长方体盒子的底面积为24cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：∵长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，且在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形， ∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的长方形． 根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24， 整理得：x2﹣9x+14＝0， 解得：x1＝2，x2＝7（不符合题意，舍去）， ∴x的值为2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-4】由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 　 　． 【分析】每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，利用矩形的面积等于10块小矩形的面积列出方程求解即可． 【解答】解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm， 根据题意，得4x2＝1.6， 解得x＝±0.2， 2×（4x+x+2×4x）＝26 x＝5.2（m）． 答：矩形ABCD的周长为5.2m． 故答案为：5.2m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系并列出一元二次方程求解． 【变式3-5】（2023•青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 　 　m． 【分析】设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m，根据矩形菜地的面积是120m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出原菜地的长． 【解答】解：设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m， 根据题意得：x（x﹣2）＝120， 整理得：x2﹣2x﹣120＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴原菜地的长是12m． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型四 面积问题----边框与甬道问题 综合应用 【例题4】（2023秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 　 　m． 【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，根据绿化用地的面积为2204m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形， 根据题意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204， 整理得：x2﹣100x+196＝0， 解得：x1＝2，x2＝98（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为2m． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式4-1】如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540 【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案． 【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米， 根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540． 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 【变式4-2】（2024春•金安区校级期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【分析】设劳动基地中的道路宽为x米，根据种植面积为480平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-3】（2023春•包河区期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　 　米． 【分析】设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形， 根据题意得：（20﹣x）（10﹣x）＝171， 整理得：x2﹣30x+29＝0， 解得：x1＝1，x2＝29（不符合题意，舍去）， ∴小道的宽为1米． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-4】（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　 　． 【分析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-5】（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据两块长方形绿地的面积共216m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216， 整理得：x2﹣15+14＝0， 即（x﹣1）（x﹣14）＝0， 解得：x1＝1，x2＝14， 当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：人行通道的宽度是1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-6】（2024春•西城区校级月考）梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【分析】设彩色纸带的宽为x cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以． 【解答】解：设彩色纸带的宽为x cm， 根据题意，得90•2x+5x•（30﹣2x）＝90×30﹣520×4， 整理，得x2﹣33x+62＝0． 解方程，得x1＝2，x2＝31（不合题意，舍去）． 答：彩色纸带的宽为2cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的运用．关键解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 【变式4-7】（2024春•瑶海区期末）有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水池ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． （1）设道路的宽为x m，则正方形的面积为 　　 m2．（用含x的代数式表示） （2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 【分析】（1）设道路的宽为x m，则正方形的边长为4x m，即可得出结论； （2）根据道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的．即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设道路的宽为x m，则正方形的边长为4x m， ∴正方形的面积为（4x）2＝16x2（m2）， 故答案为：16x2； （2）依题意得：x（20﹣4x）+x（12﹣4x）+（4x）220×12， 整理得：x2+4x﹣5＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：道路的宽为1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型五 面积问题----围墙问题 【例题5】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m． （1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长； （2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？ 【分析】（1）设与墙平行的边的长是xm，则与墙垂直的边的长是m，根据鸡场的面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合墙长25m，即可得出结论； （2）鸡场的面积不能达到210m2，设与墙平行的边的长是ym，则与墙垂直的边的长是m，根据鸡场的面积为210m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣80＜0，可得出该方程没有实数根，即鸡场的面积不能达到210m2． 【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是xm，则与墙垂直的边的长是m， 依题意得：x•200， 整理得：x2﹣40x+400＝0， 解得：x1＝x2＝20， ∵20＜25， ∴鸡场的面积能达到200m2，此时与墙平行的边的长是20m． （2）鸡场的面积不能达到210m2，理由如下： 设与墙平行的边的长是ym，则与墙垂直的边的长是m， 依题意得：y•210， 整理得：y2﹣40y+420＝0． ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×420＝﹣80＜0， ∴该方程没有实数根， 即鸡场的面积不能达到210m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 围墙问题难点是用材料围成的图形的边如何表示及所围图形的平行于墙的线段的取值范围. 【变式5-1】（2023•揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（　　） A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600 【分析】根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为xm， ∴鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m． 根据题意得：x（69+1﹣2x）＝600． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-2】某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 　 　米． 【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x），根据矩形的面积公式和该矩形的面积为480平方米列出方程并解答． 【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x）， 根据题意，得（60+2﹣x）•x＝480． 解得x1＝30，x2＝32． 所以矩形场地的长为30或32米． 故答案是：30或32． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的周长和面积计算公式是解决问题的前提． 【变式5-3】学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长； （2）根据矩形的面积公式列式求解即可． 【解答】解：（1）设AB边长为x米，则EF＝DC＝AB＝x米， 所以BC＝（21﹣3x）米； （2）根据题意得：x（21﹣3x）＝30， 解得：x＝2或x＝5， 答：AB的长为2米或5米． 【点评】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长，难度不大． 【变式5-4】（2022春•淄川区期中）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，根据自行车棚的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18米，即可得出车棚垂直于墙的一边的长为20米． 【解答】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米， 依题意得：x（50+2﹣2x）＝240， 整理得：x2﹣26x+120＝0， 解得：x1＝6，x2＝20． 当x＝6时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×6＝40＞18，不符合题意，舍去； 当x＝20时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×20＝12＜18，符合题意． 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-5】（2024春•宿迁期末）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设BC长为x米． （1）DC＝　 米（用含x的代数式表示）； （2）若长方形围栏ABCD面积为210平方米，求BC的长； （3）长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 【分析】（1）由题意知，3BC+CD＝51，代入求解即可； （2）由题意知DC≤25，即51﹣3x≤25，且3x≤51，求解可得，由题意知，BC×DC＝210，即x•（51﹣3x）＝210，整理得，x2﹣17x+70＝0，计算求解满足要求的x的值即可； （3）根据题意，令x•（51﹣3x）＝240，由Δ＝﹣31＜0，可知该方程没有实数根，进而可判断长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米． 【解答】解：（1）由题意知，3BC+DC＝51， ∵BC＝x， ∴DC＝51﹣3x， 故答案为：51﹣3x； （2）由题意知DC≤25，即51﹣3x≤25， 解得，， ∵3x≤51， 解得，x≤17， ∴， 由题意知，BC×DC＝210，即x•（51﹣3x）＝210， 整理得，x2﹣17x+70＝0， （x﹣7）（x﹣10）＝0， 解得，x1＝7（不合题意，舍去），x2＝10， ∴长方形围栏ABCD面积为210平方米，BC的长为10； （3）不可能，理由如下： 令x•（51﹣3x）＝240，整理得x2﹣17x+80＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝172﹣4×1×80＝﹣31＜0， ∴该方程没有实数根， ∴长方形围栏ABCD面积不可能达到240平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式．解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解． 【变式5-6】（2024春•鄞州区期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD． （1）如图1，利用墙围成矩形花园ABCD，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长； （2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园ABCD，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出BC的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长4米，即可确定结论； （2）花园的面积能为36平方米，设AB＝y米，则BC（12﹣y）米，根据围成的花园面积为36平方米，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再将其代入（12﹣y）中，即可得出结论． 【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米， 根据题意得：x（20﹣2x）＝32， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 当x＝2时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞4，不符合题意，舍去； 当x＝8时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4，符合题意． 答：花园的边长为8米和4米； （2）花园的面积能为36平方米， 设AB＝y米，则BC（12﹣y）米， 根据题意得：y（12﹣y）＝36， 整理得：y2﹣12y+36＝0， 解得：y1＝y2＝6， ∴12﹣y＝12﹣6＝6． 答：花园的面积能为36平方米，BC的长为6米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型六 商品销售问题 【例题6】（2023•偃师市模拟）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： （44﹣x）（20+5x）＝1600 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． ◆商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【变式6-1】（2023•兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440 【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋， 依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-2】（2023春•鹿城区校级期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件，利用每周销售该款T恤获得的总利润＝每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-3】（2024•佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【分析】设每件售价应定为x元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设每件售价应定为x元， 根据题意得：（x﹣40）[20+2（60﹣x）]＝（60﹣40）×20， 解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）， 即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-4】（2024春•鼓楼区校级期末）某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的售价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝38；x＝25时，y＝30． （1）求y与x的函数关系式； （2）若某次销售刚好获得192万元的利润，则每件A型产品的售价是多少元？ 【分析】（1）先设出y与x的函数关系式，然后根据当x＝21时，y＝38；x＝25时，y＝30；即可求得y与x的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解，再根据要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元，即可确定每件A型产品的售价． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵当x＝21时，y＝38；x＝25时，y＝30； ∴， 解得， 即y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤30）； （2）由题意可得， （x﹣20）（﹣2x+80）＝192， 解得x1＝28，x2＝32， ∵要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元， ∴x＝28， 答：每件A型产品的售价是28元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的函数解析式． 【变式6-5】（2024•鼓楼区校级模拟）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍． （1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； （2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【分析】（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入1.5x中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量＝总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价＝单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元， 根据题意得：20， 解得：x＝14， 经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×14＝21（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）． 根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340， 整理得：m2+13m﹣30＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式6-6】（2024春•海曙区期末）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降x元，则每天能售出 　 　千克（用含x的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【分析】（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知，每天能售出：（1506）千克，即（150+3x）千克， 故答案为：（150+3x）； （2）设售价每千克下降x元， 由题意得：（60﹣x）（150+3x）＝9072， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， ∴60﹣x＝60﹣4＝56或60﹣6＝54， 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额； （3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降m元， 由题意得：（60﹣m）（150+3m）＝10000， 整理得：3m2﹣30m+1000＝0， ∴b2﹣4ac＝302﹣3×4×1000＝﹣11100＜0， ∴不能达到这个“小目标”． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型七 数字问题 【例题7】（2021春•瑶海区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设未知数的方法，即设这个多位数的某一位上的数字为x，然后将其它数位上的数字用含x的式子表示出来，最后根据题中的等量关系列方程求解即． 【变式7-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 　 ． 【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可． 【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）． ∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27， 解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）． ∴x2﹣9＝7， ∴10（x2﹣9）+x＝74． 答：原两位数为74． 故答案为：74． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字． 【变式7-2】（2023秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x， 依题意得：x2＝10（x﹣3）+x， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， ∴x﹣3＝2或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式7-3】（2023秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可． 【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x1＝3，x2＝5， 原来十位上的数字为5或3， 答：原来这个两位数53或35． 【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法． 【变式7-4（2023秋•西吉县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 题型八 动点运动问题 【例题8】（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间． 【解答】解：设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5， ∵当Q到达点C时两点同时停止运动， ∴2t≤8， ∴t≤4， ∴t＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 以“静”制“动”求解动态问题 1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键； 2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题. 【变式8-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【分析】当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm， 根据题意得：PB•BQ＝4， 即（5﹣t）•2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去， ∴t＝1． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝（24﹣9）， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2． 故选：A． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 【变式8-3】（2023春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动． （1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？ （2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？ 【分析】当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）利用三角形的面积计算公式结合△PBQ的面积为4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用勾股定理结合PQ的长度为5cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意； 当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去． 答：1s后，△PBQ的面积为4cm2． （2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝0，t2＝2． 答：0s或2s后，PQ的长度为5cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-4】（2024春•东平县期末）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，MN的长为？ （2）经过多长时间，△AMN的面积等于长方形ABCD面积的？ 【分析】（1）设经过t s后，则DN＝2t cm，AN＝（6﹣2t）cm，AM＝t cm，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （2）设经过x秒，由题意得DN＝2x cm，AN＝（6﹣2x）cm，AM＝x cm，由△AMN的面积等于长方形ABCD面积的，列出方程x2﹣3x+2＝0，然后解方程即可． 【解答】解：（1）设经过t s后，则DN＝2t cm，AN＝（6﹣2t）cm，AM＝t cm，MN的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：AN2+AM2＝MN2， 即， 解得：t1＝2，， 答：经过2s或之后，MN的长为cm； （2）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的， 由题意得DN＝2x cm，AN＝（6﹣2x）cm，AM＝x cm， ∵矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm， ∴AD＝BC＝6cm，CD＝AB＝3cm， ∴矩形ABCD的面积为：AB×AD＝3×6＝18cm2， ∴△AMN的面积， 整理得：x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于长方形ABCD面积的． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式8-5】（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$