二年(2023-2024)中考数学真题、模拟题分项汇编(山东专用) 专题02 实数及其运算

二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题02 实数及其运算 【基本知识梳理】 ---知识点1：实数及其分类 基础知识归纳： 基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数． 注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； ---知识点2：实数的大小比较 基础知识归纳： 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数， （2）求商比较法：设a、b是两正实数， （3）平方法：设a、b是两负实数，则． 注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较． ---知识点3：实数的混合运算 基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算．同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行 基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识． 注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序． 考点1实数的分类 【例1】（2024·烟台中考真题）下列实数中是无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【变式训练1】（2023·威海经区一模）下列实数中，有理数是（    ）． A． B． C． D．（相邻两个6之间8的个数逐次加1） 【变式训练2】（2023·菏泽成武县一模）下列各数，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 考点2 估算无理数的范围 【例2】（2023·临沂中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（2023·滨州惠民县一模）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·临沂蒙阴二模）写出一个比大且比小的整数 ． 【变式训练3】（2023·淄博高青县二模）若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点3 比较实数的大小 【例3】（2024·威海中考真题）下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（2024·临沂郯城二模）下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练2】（2024·威海环翠区一模）下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 的倒数 C. 的立方根 D. 【变式训练3】（2024·临沂临沭一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 考点4 实数的混合运算 【例4】（2024·泰安中考真题）计算：； 【变式训练1】（2023·东营中考真题）计算：； 【变式训练2】（2024·临沂罗庄一模）计算： ； 【变式训练3】（2024·潍坊中考真题）计算：； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题02 实数及其运算 【基本知识梳理】 ---知识点1：实数及其分类 基础知识归纳： 基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数． 注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； ---知识点2：实数的大小比较 基础知识归纳： 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数， （2）求商比较法：设a、b是两正实数， （3）平方法：设a、b是两负实数，则． 注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较． ---知识点3：实数的混合运算 基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算．同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行 基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识． 注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序． 考点1实数的分类 【例1】（2024·烟台中考真题）下列实数中是无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 【变式训练1】（2023·威海经区一模）下列实数中，有理数是（    ）． A． B． C． D．（相邻两个6之间8的个数逐次加1） 【答案】C 【分析】整数是有理数，据此判断即可． 【详解】，是无理数；，是无理数；（相邻两个6之间8的个数逐次加1）是无理数， 是有理数， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数，涉及实数的分类，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练2】（2023·菏泽成武县一模）下列各数，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数分类：有理数与无理数，结合无理数定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D、是正整数，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查实数分类及无理数定义，熟记常见无理数的形式是解决问题的关键． 考点2 估算无理数的范围 【例2】（2023·临沂中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 【变式训练1】（2023·滨州惠民县一模）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴1＜1＜2， ∴＜＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 【变式训练2】（2024·临沂蒙阴二模）写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案． 【详解】解：∵＜2＜3＜4＜， ∴比大且比小的整数有2，3，4. 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键． 【变式训练3】（2023·淄博高青县二模）若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先估算出的值的范围，从而求出，然后再估算出的值的范围，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分为7， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的值最接近整数3， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 考点3 比较实数的大小 【例3】（2024·威海中考真题）下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 【变式训练1】（2024·临沂郯城二模）下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． 根据绝对值的大小比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值最大的是． 故选：C． 【变式训练2】（2024·威海环翠区一模）下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 的倒数 C. 的立方根 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数，立方根与算术平方根，先化简各数，进而比较大小，即可求解． 【详解】解：，的倒数为，的立方根为， ∵， ∴最小的数是； 故选：D． 【变式训练3】（2024·临沂临沭一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，，， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选D． 【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． 考点4 实数的混合运算 【例4】（2024·泰安中考真题）计算：； 【答案】（1）7； 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键． 【详解】解：（1）； ； 【变式训练1】（2023·东营中考真题）计算：； 【答案】（1）1； 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质，分别计算即可求解； 【详解】解：（1）原式 ； 【变式训练2】（2024·临沂罗庄一模）计算： ； 【答案】（1）； 【解析】利用指数幂、特殊角的三角函数值、乘方和绝对值进行计算即可； 【详解】（1）原式＝ ； 【变式训练3】（2024·潍坊中考真题）计算：； 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值是解决问题的关键． 【详解】（1） ； 学科网（北京）股份有限公司 $$