精品解析：浙江金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

绝密★考试结束前 2023～2024学年第二学期浙江金兰教育合作组织高二年级期中考试 数 学 命题：浒山中学 滕莹 审题：龙赛中学 胡益峰 柴桥中学 王丹娜 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种 A. B. C. D. 2. 的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ） A B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 4. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ） A 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 7. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 8. 已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则 C. 设随机变量，则， D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.4 10. 已知，若，则正确是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为_____________． x 2 3 4 5 6 y 1.5 2 3.5 4 5.5 13. 在的展开式中，的系数为_____________． 14. 每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示： 研发投入 3 4 5 6 6 7 8 9 收益 8 9 11 10 13 15 17 21 （1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程； （2）该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率． （附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：，；．） 16. 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生互不相邻的坐法有多少种？ （2）若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ （3）若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 17. 在二项式的展开式中， （1）若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； （2）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 18. 某校高三年级有750人，某次考试的成绩，且所有得分都是整数． （1）求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； （2）计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） （3）本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 19. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． （1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 （2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2023～2024学年第二学期浙江金兰教育合作组织高二年级期中考试 数 学 命题：浒山中学 滕莹 审题：龙赛中学 胡益峰 柴桥中学 王丹娜 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法原理即可得到答案. 【详解】每个班都有3种选择，利用分步乘法计数原理， 共有种不同选法. 故选：A 2. 的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项判断即可. 【详解】二项式展开式第项的二项式系数为. 故选：C. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断B，正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断D； 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故B错误. 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确． 故选：D． 4. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】抽到的女生人数可能为0，1，2，3， ，， ，， 所以． 故选：A 5. 某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为, 所以正态曲线关于直线对称，且， 所以， 所以. 故选：B. 6. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，可以分为两步来计算，第一步先把比赛进行分组，第二步将分好组的比赛项目安排到3个不同体育场比赛，根据分步计算原理可得. 【详解】根据题意可知，可以分为两步来计算， 第一步先把比赛进行分组，要求排球、空手道必须安排到同一场馆， 有种分法， 第二步将分好组的比赛项目安排到3个不同体育场比赛，有种分法， 根据分步计算原理知种. 故选：B 7. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出二联表，即可由卡方公式求解即可. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 2k 没接种 k 合计 3k 则的观测值为：，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关的结论， 于，即，即 ∴，∴ 故选：B． 8. 已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质、期望和方差公式，结合基本不等式和二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，a， 对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 对于B，一方面，另一方面，所以，所以B正确； 对于C，，所以C错误； 对于D，由得，满足条件的a，b存在，所以D正确． 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则 C. 设随机变量，则， D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.4 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据二项分布概念特点即可判断；对B，根据二项分布的期望和方差公式即可判断；对C，有期望和方差的性质即可判断；对D ，将线性方程化回原模型即可判断. 【详解】对A，根据二项分布概念可知，故A正确； 对B，随机变量X服从二项分布，若，， 则，解之可得，故B不正确； 对C，随机变量，所以， 所以，，故C错误； 对D，当，，对比可知，故D正确. 故选：AD 10. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，已知式变为，可求得判断A； 令，二项式化，可求得判断B； ,利用二项式展开式可判断除以6所得余数，判断C； 二项式两边都对求导后令可求得，从而判断D． 【详解】令，得∴，所以A正确； 令∴，所以，所以B错误； 由A知， 所以， 所以除以6的余数为5，C正确； 对于D，由， 两边求导可得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件及古典概型的概率公式，利用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】由题可知，，，， ,; . ∴ . 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为_____________． x 2 3 4 5 6 y 1.5 2 3.5 4 5.5 【答案】 【解析】 【分析】由表格计算可得，，把，代入回归方程可得，进而得出残差． 【详解】由表格可得：，， 把代入，解得， ， 把代入解得， 在样本处的残差为． 故答案为：． 13. 在的展开式中，的系数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将视作为，再利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】, 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数，所以. 所以， 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数， 令，则， 所以的系数为. 故答案为：. 14. 每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为_____________． 【答案】216 【解析】 【分析】按照先分组再分配的步骤安排分配方法. 【详解】第一步，将六名志愿者分成4组，要求甲、乙在同一组，戊、己不在同一组， 若分为3，1，1，1的四组，甲、乙必须在3人组，有种分组方法， 若分为2，2，1，1的四组，甲、乙必须在两人组，有种分组方法， 则一共有种分组方法： 第二步，将分好的四组全排列，分配到4个乡镇，有种，故总的分配方法有种． 故答案为：216 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示： 研发投入 3 4 5 6 6 7 8 9 收益 8 9 11 10 13 15 17 21 （1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程； （2）该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率． （附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：，；．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据求出，然后求出，从而得出回归直线方程； （2）利用概率的加法公式和乘法公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以， 又由得，∴， 所以此经验回归方程. 【小问2详解】 记“至少有3件产品的品质到达世界超一流水平”为事件A， 则 所以至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率为 16. 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生互不相邻的坐法有多少种？ （2）若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ （3）若甲不坐两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】（1）480 （2）504 （3）144 【解析】 【分析】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【小问1详解】 不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： 【小问2详解】 方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． 【小问3详解】 方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 17. 在二项式的展开式中， （1）若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； （2）若展开式中只有第5项二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及二项展开式的通项公式，结合有理项的特点即可求解； （2）利用二项式系数的性质及系数的最大项的求法即可求解. 【小问1详解】 由题意得, ∴，即,解得或（舍）. ∴，，1，2，…6， 所以，3，6时为有理项 即展开式中的有理项为：，，. 【小问2详解】 因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以， 设第项的展开式系数最大，则 ,解得。 所以展开式中系数最大项为：，. 18. 某校高三年级有750人，某次考试的成绩，且所有得分都是整数． （1）求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； （2）计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） （3）本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 【答案】（1）平均成绩，标准差为 （2）17 （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据正态分布可得； （2）应用正态分布的概率性质计算求解； （3）先求出概率再写出分布列最后求出数学期望. 【小问1详解】 由题意得：平均成绩， 标准差为 【小问2详解】 因为，， 所以 所以超过141的人数为：人 【小问3详解】 设事件A，表示“小明选择了i个选项”（，2，3），事件B表示“选择的选项是正确的”． 由题知，可取6，4，2，0． 因为，， ， 所以随机变量的分布列为： 6 4 2 0 P 于是， 19. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． （1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 （2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）填表见解析；有 （2）① 答案见解析；②；③为定值1，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据独立性检验判断即可； （2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的定值. 【小问1详解】 由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 则的观测值为， 所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联 【小问2详解】 （ⅰ）由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知： ；； 故的分布列如下表： 0 1 2 P （ⅱ）由全概率公式可知： 即：，所以，所以， 又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即． （ⅲ）可判断为定值 由全概率公式可得： 即：，又， 所以， 所以 又， 所以， 所以 所以 可得的分布列 0 1 2 P 所以 ∴为定值1 【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$