第5单元 2 第1课时 方程的意义和等式的性质-【随堂笔记】2024-2025学年五年级上册数学（人教版）

2.解简易方程 第① 课时 方程的意义和等式的性质 课前·预习笔记 任务 笔记 重点感 知识点① 方程的意义（教材第62、63页） (1)①用天平称出空杯子的质量：在天平的左盘放一个空杯子，右盘放 一个100g的砝码，此时天平平衡，说明一个空杯子的质量正好是(100)g ②在空杯子中加满水：如果水重xg,那么杯子和水共重(100+x)g。此 时天平不平衡，左端下沉，说明杯子和水的总质量比一个100g的砝码重，用 式子表示为100+x>100。 ③在天平的右盘中加一个100g的砝码：天平不平衡，左端下沉，说明杯 子和水的总质量比两个100g的砝码重，用式子表示为100+x>200。 ④在天平的右盘中再加一个100g的砝码：天平不平衡，右端下沉，说明 杯子和水的总质量比三个100g的砝码轻，用式子表示为100+x<300。 学 ⑤把天平右盘中的一个100g的砝码换成一个50g的砝码：天平平衡了，说 新 明杯子和水的总质量与(250)g砝码同样重，用式子表示为100+x=250 知 (2)每本练习本x元，三本练习本是龙+x+龙=3x(元)。3本练习本 的总价钱是2.4元，可以列等式为3x=2.4。 方程的意义：像100+x=250,3x=2.4…这样，根据等量关系列出的含 有未知数的等式是方程。 难点感 知识点2等式的性质（教材第64、65页） (1)平衡的天平两边同时加上相同质量的物品或减去相同质量的物品，天 平仍会保持平衡。 等式的性质1：等式两边加上或诚去（同一个数），左右两边仍然相等。 (2)平衡的天平两边物品的数量同时扩大到原来的相同倍数或缩小到原 来的几分之一，天平仍会保持平衡。 等式的性质2：等式两边乘（同一个数），或除以（同一个不为0的数） 左右两边仍然相等 理 方程的意义 方程的意义和 等式的性质 路 等式的性质 92 课堂·听课笔记 精批注 方程的意义 实验一·天平平衡的条件 步骤三：在天平的右盘中加一个100© 天平左右两边质量 的杂码。 相等时才能平衡。 水重xg 50+50=100￥ 左端下沉 这是一个等式。 像50+50=100 说明杯子和 这样的含有等号 水的总质量 的式子叫作等式。 比两个100g 100+x>200 的砝码重。 步骤四：在天平的右盘中再加一个100 实验二·用天平称量物体的质量。 的砝码。 步聚一：称空杯子的质量。 右端下沉 说明杯子和 水的总质量 比三个100g 的碳码整。 100+x<300 天平平衡，说明空杯子 像100+x>100.100+x>200. 和100g的秩码一样重。 100+x<300这样用“>"或”< 连接的不相等的式子叫作不等式。 空杯子重100g “不等式”顾名思义，就是 不是用等号连接的式子。 88 步骤二：在空杯子中加满水。 步骤五：把天平右盘中的一个1000的 砖码换晟一个500的砝码。 左端下沉，说明杯子和水的总质量 比1COg的张码重。用式子表示为 天平平衡，说明杯100+x=250 100+x>100. 子和水的总质量与 100+100+50= 像100+x= 杯水有多重？ 250(g)的砝码同 250这样的式 样重。 子，也是等式。 93 3x=2.4单价x表量=总价 x元 数量单价 总你 2.4元 像100+x=250,3x=2.4…这样，根据等量关系列出的含有未知数的等式是方程。 你能自己写出一些方程吗？ 点拨： (1)方程中的字母x表示未知的量，叫作未知戴。一个方程中的未知鬟可以有多个。 (2)方程女须具备两个条件：①是等式，②女须会有未知最。 x+5=18 x+x+x+x=35 8-x=3 方程与等式的关系 5x=30 x÷4=6 3x+6=12 所有的方程都是等式 但不是所有的等式都 6（x-2)=24 (x+4)÷2=3 x+y=5 是方程。它们之间的 关系可以用下图表示。 等式 方程 做一做 1.下面哪些式子是方程？、，含有未知数的等式是方程。 35+65=100 x-14>72 y+24 5.x+32=47 28<16+14 6(y+2)=42 2.看图列方程。 根据所给信息列方程的步聚：一先我出等量关系，再用相应 的数据和字母表示出相应的裁量，最后列出方程。 xg xg 50g 73 166 ⊙你知道吗？@ 早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两 千年前成书的《九章算术》中，就有用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百多 年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才有了方程现 在这样的表达方式。 94 等式的性质 等式 等式 a-2b 两边同时加上白，a+日=2沙+b 同学们，你们用天平做过游戏吗？ a=2形 西边同时加上2改a+2力=2沙+2为 a=2为 两边同时加上a,a+a=2为+a 平 bb 等式两边加 上同一个数 左右两边仍 张相等。 Q=20 d+b=2b+2 两边同时各放上1个同样的茶杯，天平会发生什么变化？同时 放2个同样的茶杯呢？同时放1个同样的茶壶呢？天平还保持平衡。 平衡 平衡ddd 等式两边减 去同一个裁 左右两边仍 装相等。 c+d=4d→c+d-d=4d-d→c=3d 两边都拿掉1个花瓶，天平还保持平衡吗？天平还保持平衡。 1个花盆和 3 个花瓶同样重。 你发现了什么？ 平衡的天平两边加上同样 平衡的天平两边减去同样 的物品，天平保持平衡。 的物品，天平也保持平衡。 等式就像平衡的天平，也具有同样的性质。 等式的性质1 等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式西边加上或减去同一个式千，左右两边仍然相等。 95 2a 平街 2 等式两边乘 同一个数 左右两边仍 朱相等。 a=b 2a=2b 左边墨水的数量扩大到原来的2倍，右边铅笔盒的数量也扩大 到原来的2倍，天平还保持平衡吗？扩大到原来的3倍、4倍…呢？ 天平还保特平衡。 3a=3b4a=4b5a=5 6d 平衡ddd 等式两边除以 同一个不为0 的戴，左右两 66 边仍然相等。 如果把两边的球都平均分成2份，各自去掉1份，天平还保持 平衡吗？天平还保持平衡。 2x=6d 两边同时除以2 →c=3d 1个排球和3个皮球同样重。 你发现了什么？ 平衡的天平两边的物品数量都扩大到 平衡的天平两边的物品数量都缩小到 原来的相同倍数，天平仍保持平衡。 原来的几分之一，天平仍保持平衡。 等式就像平衡的天平，也具有同样的性质。 等式的性质2 事物的数量变化常用“扩大”“缩小“ 总结裁字规律，常用“乘”“除以” 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 O不能作除慧，0作除数没意义。 拓展 等式还有两个用处很大的性质 性质3：对称性。如果a=b,那么b=a。 性质4：传递性。如果a=b,b=C,那么a=C。(等量代换) 96 学方法 解决用天平称物问题时，第一次称出的物品可作为“碳 码”，在后面称物时使用。 @运用等量代换法和优化法解决用天平称物问题 李奶奶要用一袋重300g的盐腌制咸菜，她想把这些盐分成三等份，可是手中的天平只配 有一个特制的5g砝码和一个特制的30g砝码。李奶奶用这架天平最少要称量几次？写出 称法 思路分析：要求把300g盐分成三等份，每份盐重300÷3=100(g)。先用天平称出100g 盐，思路如下： 5g砝码 35g盐（见图一) 30g砝码 65g盐（见图二） 30g砝码 35g盐+65g盐=100g盐 再用100g盐作“砝码”称出100g盐（见图三），此时剩下的盐也是100g。 65g盐与35g 盐合起来是 100g盐。 图 图二 图 正确解答：李奶奶用这架天平最少要称量三次 第一次：用1个5g砝码和1个30g砝码称出35g盐。 第二次：用1个30g砝码和35g盐称出65g盐。 第三次：用已称出的35g盐和65g盐再称出100g盐，还剩100g盐 ○运用等式的性质和等量代换解决天平平衡问题 如图所示，两个天平都平衡，则与两个球的质量相等的正方体的个数为()。 思路分析： 2个球的质量=4个圆柱的质量 2个正方体的质量=2个圆柱的质量 根据等式的性质2 等量代换 :4个正方体的质量=4个圆柱的质量 解决此美问题的关健是根据 2个球的质量=4个正方体的质量 各等量关系我出题中各物体 正确解答：4 质量之间的关系。 97 课后·提升笔记 巧总结 提示等式的性质2：等式两边乘同一个数 或徐以同一个不为O的数左右两边仍然相等。 ○易错点：忽略等式的性质中除数不等于0的条件 判断：等式的两边都除以同一个数，左右两边仍然相等。 () 易错解读：解题时易因忘记“除数不能为0”这一条件而出错。只有等式两边同时除以 同一个不为0的数时，等式左右两边才仍然相等。所以本题的正确答案为X。 举一反三： 判断。 (1)所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。 (2)只有含x的等式才是方程。 ( (3)如果5x=25,那么5x+5=25-5。 ( 提素养 提示方程女须具备的两个条件是(1)出须含有未知数(2)比须是等式。 1.下面哪些式子是方程？是方程的在括号里画“√/” 25+73=98( ) x+15>36( a+47() 9a-15=150( 25<17+16( 15(x+8)=150( 2.新题型在() 里填上适当的运算符号，在 里填上适当的数，使天平平衡」 提示·由图可知 36 x=36.代入下面的天 平中即可。 x+10 36 20.5 36÷12 0.4x 3.用方程表示下面的数量关系。 (1)x与3的和是26。 (2)c除以6的商是12。 (3)x的6倍等于9.6. (4)x减去1.8的差是5.1. 98第2课时用字母表示稍复杂的数量关系 0做-做（例4） (2)350x-220x=130x或(350-220)×x=130m 1.(1)120+10a 举一反三 (2）a=25,120+10a=120+10×25=370 115(x+y) 33(a-b）37m8a 2.(1)96-12b @提素养 (2)b=5,96-12b=96-12×5=36 11.(1)B(2)B(3)C (3)b表示大于0且小于或等于8的数。 2.(1）12a+4a=16a 1做-做（例5) (2)当a=8时，16a=16×8=128 (1)220x+350.x=570x或(220+350)×x=570x 3.93n+7 2.解简易方程 第1课时方程的意义和等式的性质 做一做 @提素养 1.5x+32=47和6(y+2)=42是方程。 11.()()()(V)()(V) 2.2x=50x+73=166 2.+1020.5-÷12×0.4 举一反三 3.(1)x+3=26(2)c÷6=12 (1)V(2)×(3)× (3)6x=9.6(4)x-1.8=5.1 第2课时解方程（一 做一做 ②提素养 1.x=150x=19x=99 11.(1)x+4=16x=12 2.把x=2代入方程5x=15中. (2)x-62=486x=548 方程左边=5x=5×2=10≠方程右边， (3)y+60°+50°=180°y=70 所以，x=2不是方程的解。 2.把x=48代入方程x-16=24中， 把x=3代入方程5x=15中， 方程左边=x-16=48-16=32≠方程右边， 方程左边=5x=5×3=15=方程右边， 所以，x=48不是方程的解。 所以，x=3是方程的解。 把x=40代入方程x-16=24中， 举一反三 方程左边=x-16=40-16=24=方程右边， (检验略)x=55.7x=79x=25.4 所以，x=40是方程的解。 3.(1)35+x=80x=45 (2)x-4.5=10x=14.5 第3课时解方程（二 做一做 ②提素养 1.x=1.4x=5.8x=13 11.(1）1099-x=911x=188 x=4x=2.1x=0.7 (2)5.2x=18.2x=3.5 2.左图：x+1.2=4x=2.8 2.(1)2.5m=12.5m=5 右图：3x=8.4x=2.8 (2)n÷7=4.5n=31.5 举一反三 (检验略）x=4.45x=32.5x=0.77 160