第01讲 放缩与相似形 （1个知识点+8种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第01讲 放缩与相似形 （1个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型强化 题型一、相似图形 1．下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 2．如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 3．如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 题型二、相似多边形 4．下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 5．如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ． 6．如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 题型三、相似多边形的性质 7．下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．对应角分别相等的两个四边形相似 8．如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 9．如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 题型四、位似图形的识别 10．放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系： ． 11．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　） A．平行线的性质 B．相似三角形的判定 C．位似图形 D．旋转 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2． (1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形； (2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由． 题型五、位似图形相关概念辨析 13．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 14．如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形，若，则四边形的面积：四边形的面积之比为 ．    15．在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　 　． 题型六、求位似图形的对应坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 17．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为 ．    18．如图，网格中小正方形的边长为1，与是位似图形． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，并写出点B的坐标； (2)以点A为位似中心，在网格中作，使和位似，且位似比为； (3)在（1）的条件下，标出和的位似中心P． 题型七、在坐标系中画位似图形 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 20．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕点B逆时针旋转90°的图形，并直接写出点坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． 题型八、在坐标系中画位似中心 22．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 23．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为 ．    24．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 分层练习 一、单选题 1．下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 2．下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 3．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）    A． B． C． D． 6．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 二、填空题 7．如图，四边形四边形，则的长为 ． 8．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 9．如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O，，，，则 ． 10．如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是 ． 11．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 12．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，号“”与号“”的位似比为．点与是一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为 ． 13．如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．    14．一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是 ． 15．如图，D为的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中 是AD和AB的比例中项． 16．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 17．已知：如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，则AB的长为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ． 三、解答题 19．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 21．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标分别为，，． (1)在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出； (2)画出以为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 ； (3)在图中标出边的中点． 22．如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为； (2)与的相似比是______． 23．如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； (2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 24．已知，求:   (1) 的值； (2) 的值． 25．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） (1) (2) 26．如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． (1)求点F的坐标； (2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 27．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 放缩与相似形 （1个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型强化 题型一、相似图形 1．下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可． 【详解】解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键． 2．如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 3．如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 【答案】相似 【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断． 题型二、相似多边形 4．下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 5．如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ． 【答案】 【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴， 则， ∴， ∴这些型号的复印纸的长宽之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 6．如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 【答案】见解析 【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形的四条边扩大2倍即可． 【详解】如图，四边形EFGH即为所求， 【点睛】此题主要考查作图（相似变换），解题关键是熟练掌握相似的性质． 题型三、相似多边形的性质 7．下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．对应角分别相等的两个四边形相似 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义逐项判断即可，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，是相似图形． 【详解】A. 矩形只有对应角相等，但对应边的比不一定相等，故所有的矩形不一定都相似，故A选项不正确，不符合题意； B. 所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故B选项不正确，不符合题意； C. 所有的正方形都相似，正确，符合题意； D. 对应角分别相等的两个四边形的对应边不一定成比例，故D选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握相似多边形的定义是解题的关键． 8．如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设较长边为b， ∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似， ∴， 整理得，， 解得，b=， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 9．如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 题型四、位似图形的识别 10．放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系： ． 【答案】位似 【分析】根据位似的定义直接得出结果． 【详解】解：放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形是位似图形，因为图形形状相同，对应边平行，因此屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系：位似． 【点睛】本题考查的是位似图形的定义，利用位似图形的形状相同，对应边平行得出是解题关键． 11．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　） A．平行线的性质 B．相似三角形的判定 C．位似图形 D．旋转 【答案】D 【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念判断即可． 【详解】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴这两个图形是位似图形， ∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2． (1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形； (2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2． 【分析】（1）按照有理数的乘法算出每个点的横纵坐标即可； （2）位似定义：关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心．根据定义判断即可． 【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形； （2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′， ∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点， ∴得到的四边形与四边形OABC位似， 位似中心是O（0，0）， 与原图形的相似比为2． 【点睛】本题考查位似的判定，熟练掌握位似的定义是本题关键． 题型五、位似图形相关概念辨析 13．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比为，即可解答，掌握该图形的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为， ， ， ， 故选：C． 14．如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形，若，则四边形的面积：四边形的面积之比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，解题的关键是得到对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方． 【详解】解：， ， ， ， ， 四边形的面积：四边形的面积为． 故答案为：． 15．在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　 　． 【答案】（1）画图见解析；（2） 【分析】（1）根据位似图形的性质可以得解； （2）根据位似图形的性质可得解． 【详解】（1）如图△A1B1C1就是所求作的图形. 分别在射线AO、BO、CO上截取，连结 即得所作图形； （2）∵在(1)中所画的图形中，△ABC的中线CD与的中线 是对应线段， ∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行”的性质可以得到：CD∥. 【点睛】本题考查位似图形的应用与作图，熟练掌握位似图形的意义和性质是解题关键． 题型六、求位似图形的对应坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进行讨论． 【详解】解：与的位似比是， 当点在第三象限时，， 当点在第一象限时，， 故点的坐标为或， 故选：C． 17．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】或/或 【分析】此题主要考查了关于原点为位似中心的位似图形的性质， 根据以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以或2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以或2， 点A的坐标是，则点的坐标是或． 故答案为：或． 18．如图，网格中小正方形的边长为1，与是位似图形． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，并写出点B的坐标； (2)以点A为位似中心，在网格中作，使和位似，且位似比为； (3)在（1）的条件下，标出和的位似中心P． 【答案】(1)如图所示，； (2)如图所示； (3)如图所示． 【分析】此题主要考查了坐标与图形，位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题关键． （1）根据点A的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，即可得出B点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为 （2）解：如图所示，即所求作的三角形； （3）解：如图所示，点P即所求 题型七、在坐标系中画位似图形 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点， ∴点P的坐标为（2，2）， 以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍， 则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（−2×1.5，−2×1.5），即（3，3）或（−3，−3）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、矩形的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 20．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 【答案】答案见详解. 【分析】根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可. 【详解】∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可. 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕点B逆时针旋转90°的图形，并直接写出点坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 【分析】此题主要考查了旋转变换以及位似变换，点的坐标，正确利用旋转的性质得出对应点位置是解题关键． （1）利用旋转的性质得出，，对应点，，的位置进而得出答案，再根据点的位置写出坐标即可； （2）利用位似图形的性质得出，，对应点，，的位置，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所示，． （2）解：如图所示，即为所示， 题型八、在坐标系中画位似中心 22．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．    故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质． 23．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】主要考查位似图形的性质． 根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故答案为：． 24．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 分层练习 一、单选题 1．下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．∵两个等边三角形的内角都是60°， ∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意； C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意； D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 【答案】A 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，A正确； B．各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，B错误； C．任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，C错误； D．任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 3．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵2a=3b，∴ ，∴ ，∴A、C、D选项错误，B选项正确， 故选B. 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义，画出位似中心，即可得出结果． 【详解】解：∵与是位似图形， 连接并延长，交于点，则点即为位似中心，如图所示： 由图可知：； 故选B． 【点睛】本题考查坐标系下求位似中心的坐标．熟练掌握位似图形的定义，确定位似中心的位置，是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“位似图形对应点的连线所在的直线的交点为位似中心”，再延长交直线于点P，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交直线于点P， 则点P是位似中心， 故选：D．    【点睛】本题考查的是确定位似图形的位似中心，熟记位似图形对应点的连线所在的直线的交点为位似中心是解题的关键． 6．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 二、填空题 7．如图，四边形四边形，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将代入，计算即可求出边的长． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 8．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【解析】略 9．如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O，，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意求出，再根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心为点O， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 10．如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是 ． 【答案】3：1 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，与的面积之比是． ∴，， 故答案为：3：1． 11．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了位似图形的面积之比，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【详解】解：：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 故答案为． 12．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，号“”与号“”的位似比为．点与是一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或成为解题的关键． 【详解】 解：∵两个“”字是位似图形， 号“”与号“”的位似比为，， ∴，即， 故答案为：． 13．如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换,平行线性质,相似三角形判定及性质．根据题意连接交于E,根据坐标与图形性质分别求出,根据平行线性质列出比例式,求出,继而得到本题答案． 【详解】解：连接交于E,则点E为位似中心,   , ∵,, ∴, ∵线段和是位似图形, ∴, ∴, ∴,即, ∴, ∴, ∴位似中心点E的坐标为, 故答案为：． 14．一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是 ． 【答案】1 【分析】由相似图形的面积比等于相似比的平方，得出面积比，即可得出零件的实际底面积． 【详解】因为比例尺为200：1，所以面积比为40000：1， 又因为图纸上的底面积为400， 则实际底面积为：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查相似图形面积比等于相似比的平方，熟记相似图形的性质是解题关键． 15．如图，D为的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中 是AD和AB的比例中项． 【答案】AC 【详解】试题分析：根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得，可知AC是AD和AB的比例中项． 考点：比例线段 16．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长等于4， ∴的周长， 故答案为：12． 17．已知：如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值进而得出答案． 【详解】设EB=x， ∵矩形BCFE和矩形ABCD相似， ∴ ， ∵四边形AEFD是正方形， ∴AD=BC=2， ∴ ， 解得：x=-1±（负数不合题意舍去）， ∴BE=-1+， 故AB=2-1+=1+， 故答案为：1+． 【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标. 【详解】解：若四边形是边长为6的菱形，. ∵是等边三角形 ∴ 则 ∵，且相似比为3：1 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 三、解答题 19．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：△即为所求； ； （2）解：若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为：． 故答案为：． 21．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标分别为，，． (1)在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出； (2)画出以为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 ； (3)在图中标出边的中点． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)作图见详解 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握位似图形的作图方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据位似图形的定义及作图即可求解； （2）根据平行四边形的判定和性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据位似作图的方法，图示如下， ，，，， ∴，， ∴即为所求图形； （2）解：已知的坐标分别为，，， 根据平行四边形的性质作图如下， ∴， 故答案为：； （3）解：根据平行四边形对角线相互平分，作图如下， ∴点即为所求点的位置． 22．如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为； (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的作法及性质： （1）利用点C和的坐标特征得到位似比，进而得到、的坐标，然后描点连线即可； （2）根据位似比等于相似比即可求解． 【详解】（1）解：点C的坐标为，点的坐标为， ，， 与位似，点O为位似中心， 与的位似比为：， 连接至，使，连接至，使，得到、， 如下图所示； （2）解：由（1）知与的位似比为：， 与的相似比是， 故答案为：． 23．如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； (2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换， （1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心； （2）根据要求画出位似图形即可． 【详解】（1）解：与的位似比是，如图位似中心即为所求． 故答案为：； （2）如图，即为所求． 24．已知，求:   (1) 的值； (2) 的值． 【答案】(1)3;(2) 【分析】（1）根据，设a=3x，b=5x，c=7x，进而代入所式求出即可； （2）设a=3x，b=5x，c=7x，进而代入所式求出即可． 【详解】(1) ， ∴， ∴=； (2)设 ，则，，， ∴ ． 【点睛】此题考查比例的性质，掌握比例的和比性质和等比性质是解题的关键. 25．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可； (2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： 【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键． 26．如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． (1)求点F的坐标； (2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，有，待定系数法求反比例函数解析式为，代入中得，进而可得点坐标； （2）求出的长，计算可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中，解得 ∴反比例函数解析式为 将代入中得 ∴． （2）证明：由题意得， ∵， ∴ ∴“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，相似多边形．解题的关键在于求出反比例函数解析式． 27．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)能，作图见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据点平移的坐标变换特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到、、的坐标，然后描点即可； （3）延长、、，它们的交点为位似中心点，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： 为所作； （2）解：如图所示： 为所作； （3）解：与关于点为位似中心的位似图形，如图所示： 点为所作，点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，涉及平移变换，按照题目中的变换描点作图是解决问题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$