7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复数 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.了解数系的扩充与引进复数的必要性. 2.通过方程的解认识复数,并理解复数的有关概念. 3.掌握复数相等的充要条件及其应用. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　复数的概念及其表示 1.复数的定义 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做　　　　,其中i叫做　　　　　　.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做　　　　　.规定i·i=i2=　　　　.  2.复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈　　　).以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的　　　　　　　　.  复数 虚数单位 复数集 -1 R 实部与虚部 名师点睛 z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)复数z=-2i的实部是0.(　　) (2)复数z=-1-i的实部和虚部相等.(　　) 2.方程x2=-1在复数范围内有解吗? √ √ 提示 有解,因为i2=-1,所以i就是方程x2=-1的一个解. 知识点2　复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当　　　　　且　　　　　.  名师点睛 1.根据两个复数相等的定义知,在a=c且b=d两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R). 2.如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小. 3.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这种数学思想方法的体现. a=c b=d 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个复数实部的差和虚部的差都等于零,那么这两个复数相等.(　　) (2)若复数z1=2i,复数z2=3i,则z1<z2.(　　) 2.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=　　　　　.  √ × 5 知识点3　复数的分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系: (b=0) 虚数 过关自诊 2.若复数z=(m-2)+(m+1)i是纯虚数,则实数m=　　　　.  2 3.[苏教版教材例题]写出复数 的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对复数相关概念的理解 【例1】 (多选题)下列说法错误的是(　　) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数 D.若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数 ABD 解析 A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数. B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n. C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数. D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数. 规律方法　判断复数概念方面的命题真假的注意点 (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系; (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同; (3)注意通过列举反例来说明一些命题是假命题. 变式训练1下列说法正确的是(　　) A.1-ai(a∈R)是一个复数 B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b,则a+i>b+i A 解析 由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;a+i与b+i不能比较大小,故D项错误. 探究点二　复数的分类及其应用 【例2】 [苏教版教材例题]实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是: (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 解 (1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数. (2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数. (3)当m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数. 规律方法　利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解; (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解; (3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0. 变式训练2已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m满足何条件时, (1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数. 探究点三　复数相等的充要条件 【例3】 已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求实数m的值. 规律方法　复数相等问题的解题技巧 (1)复数必须是z=a+bi(a,b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. 变式训练3(1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x=　　　　　,y=　　　　　.  -12　 5 解析 由复数相等的条件知x=-12,y=5. (2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳:方程思想. 3.常见误区:未化成z=a+bi(a,b∈R)的形式. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]若复数z满足z=6i+2i2,则z的虚部是(　　) A.-2i B.6i C.1 D.6 D 解析 z=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部是6.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点一]若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为(　　) A.-1 B.2 C.1 D.-1或2 D 解析 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点一]若复数z=a+bi(a,b为实数),则“a=0”是“复数z为纯虚数”的(　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析 根据复数的概念,当a=0且b≠0时,复数z=a+bi为纯虚数. 反之,当复数z=a+bi为纯虚数时,a=0且b≠0, 所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.(多选题)[探究点二]对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是(　　) A.若b≠0,则a+bi为虚数 B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1 C.若a+bi为实数,则b=0 D.i的平方等于1 ABC 解析 对于选项A,当b≠0时,a+bi为虚数,故选项A正确; 对于选项C,若a+bi为实数,则b=0,故选项C正确; 对于选项D,i的平方为-1,故选项D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点三]若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一]已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a的取值集合为　　　　　.  {0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点二]当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+ 是: (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 9.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是(　　) A.若x是实数,则x可能不是复数 B.若z是虚数,则z不是实数 C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D.-1没有平方根 ACD 解析 因为实数是复数,故A错;B正确;因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故C错;因为i2=-1,故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是(　　) A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数 BD 解析 取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误; ∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确; 当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)已知复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为(　　) BC 解析 ∵复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2, ∴3cos α+cos 2α=-2,即2cos2α+3cos α+1=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　　,n=　　　　　.  2 ±2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.下列说法: ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小. 其中说法正确的序号是　　　　　.  ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 ∵z>0,∴z∈R. ∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i,λ,m∈R,θ∈[0, ],若z1=z2,求λ的取值范围.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=(　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i B 解析 由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即n2+mn+2+(2n+2)i=0. 解析 因为x+3i=(y-2)i, 所以所以所以x+y=5. 复数 1.在复数1+2i,,0,4i,-3-i中,不是虚数的为　　 　　.  ,0 解析 在所给复数中,,0是实数,不是虚数. 解析 由已知得解得m=2. 4,2-3i,0,-i,5+i,6i 解 4,2-3i,0,-i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0,虚部分别是 0,-3,0,,6. 4,0是实数;2-3i,-i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数. 解 (1)当z为实数时,m需满足解得m=1. (2)当z为虚数时,m需满足 解得m>0,且m≠1. (3)当z为纯虚数时,m需满足无解,即不存在m使z为纯虚数. 解 ∵M∪P=P,∴M⊆P. ∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 若(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1, 则解得m=1. 若(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 则解得m=2. 综上可知,实数m的值为1或2. 解 由复数相等的条件得方程组 由②得x=y+2,代入①得y2+2y-1=0. 解得y1=-1+,y2=-1-. 所以x1=y1+2=1+,x2=y2+2=1-, 即 3.[探究点一]若sin 2θ-1+i(cos θ+1)是纯虚数,则θ的值为(　　) A.2kπ-(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z) C.2kπ±(k∈Z) D.(k∈Z) 解析 由题意,得解得(k∈Z), ∴θ=2kπ+,k∈Z. 对于选项B,若a+(b-1)i=3-2i,则解得故选项B正确; -,-　 解析 依题意得所以 解析 由z1>z2,得解得a=0,故a的取值集合为{0}. 解 (1)因为z=(m2+m-6)i+是实数,则解得m=2. (2)因为z=(m2+m-6)i+是虚数,则解得m≠-3且m≠2. (3)因为z=(m2+m-6)i+是纯虚数,则解得m=3或m=4. 10.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是(　　) A.3-3i B.3+i C.-i D.i 解析 3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A. C.若=0,则z1=z2=0 取z1=i,z2=1,则=0,但z1=z2=0不成立,故C错误; A. B. C.π D. 解得cos α=-或cos α=-1. ∵0<α<2π,∴α=或π.故选BC. 解析 由复数相等的充要条件有解得 解析 当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②错误;两个虚数不能比较大小,故③正确. 15.已知复数z=-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值. ∵z>0,∴-x>0.对于不等式-x>0,x=1适合,x=3不适合,∴x=1. 解 由z1=z2,λ,m∈R,可得 整理,得λ=4sin2θ-3sin θ=4sin θ-2-. ∵θ∈0,,∴sin θ∈[0,1],∴λ∈-,1. $$