21.1-21.2周测试卷2024-2025学年沪科数学九年级上册

21.1-21.2周测试卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ）A． B． C． D． 2．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 5．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 7．下列有关函数的说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数图象中，当时，y随x增大而减小 8．二次函数的顶点在第几象限（    ）A．一 B．二 C．三 D．四 9．已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 12．二次函数图像的顶点坐标是 ． 13．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 14．如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，满分90分） 15．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 16．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 17．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 18．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 19．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 20．已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 21．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 22．如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（），连接． (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． (2)当与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为（），请直接写出m的值． 23．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交直线于点D，P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在直线下方的抛物线上时，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)直线分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1-21.2周测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 2．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 3．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】A. 是反比例函数，不符合题意；     B. ，是一次函数，不符合题意； C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D. 是二次函数，符合题意 故选：D． 4．若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 5．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合． 求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为， 根据图象夹角为， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故选：C． 6．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 7．下列有关函数的说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数图象中，当时，y随x增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 直接根据二次函数的图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵函数，， ∴开口向上，正确，故此选项不符合题意； B、∵函数， ∴对称轴是直线，正确，故此选项不符合题意； C、∵函数， ∴顶点坐标是，原说法不正确，故此选项符合题意； D、∵函数， ∴开口向上， 对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而减小，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．二次函数的顶点在第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数化成顶点式，即可得出答案，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴二次函数的顶点在第四象限， 故选：D． 9．已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识，先求出抛物线的对称轴，判断和关于对称轴对称，从而得到和的关系，再代入，求出的取值范围，再将代入抛物线的解析式，等到关于m和的二次函数关系式，即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为， ∵和的函数值相等， ∴和关于抛物线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入， 有，变形得， 当时，m最大，， 当时，m最小，， ∴m的取值范围为， 故选：B． 10．二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口方向向上， ∴． ∵对称轴， ∴， 又∵该抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∴；故①错误； ②根据图象知，当时，，即；故②正确； ④当时，，即， 由②可得：， ∴， ∴；故④错误； ③∵对称轴， ∴， ∵， ∴，即；故③正确； 综上所述，正确的说法是：②③； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 12．二次函数图像的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的顶点式解析式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．如果，那么函数图像的顶点坐标为，根据二次函数的顶点式解析式写出即可． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标是， 故答案为：． 13．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据开口方向和与y轴交点的位置可得a、c的符号，进而可得答案． 【详解】解：∵函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故答案为：； 14．如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，满分90分） 15．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 16．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1)； (2)围成面积为的花圃，的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 17．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 18．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 【详解】（1）若这个函数是一次函数， 则且， 解得； （2）若这个函数是二次函数， 则， 解得且． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 19．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 20．已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的知识，熟练掌握描点法绘制函数图象是解题关键． （1）完成表格，用描点法画出函数图象即可； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 表格如下， …… 0 1 2 3 …… …… 0 3 4 3 0 …… 根据列表，画出这个二次函数的图象如下图： （2）由函数图象可知，当时，的取值范围为． 故答案为：． 21．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 22．如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（），连接． (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． (2)当与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为（），请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得，则的横坐标为，把代入解析式即可求得的纵坐标； （2）利用抛物线的对称性求得，代入解析式求得的纵坐标，进而即可求得点与点的纵坐标的和为：； （3）分三种情况：，则，不合题意；当时，当时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 顶点为， 点与抛物线的顶点重合， ， ， 把代入得，， 点的坐标为； （2）解：当与轴平行时，则点，的纵坐标相同，两点关于对称轴直线对称， ， ， 点的纵坐标为， 点与点的纵坐标的和为：； （3）解：若，则，与矛盾，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为， 最高点与最低点的纵坐标之差为， ， 解得， ，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为 则， 解得：或（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元二次方程等，熟练运用二次函数的图象和性质是解题关键． 23．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交直线于点D，P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在直线下方的抛物线上时，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)直线分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)是定值，为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，将直线向下平移，直至平移后的直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，求出点坐标，再利用分割法求出此时的面积即可； （3）设，分别求出直线的解析式，进而求出点M，N的坐标，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线：，当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， 将直线向下平移，直至平移后的直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大， 设平移后的直线的解析式为：， 令， 整理，得：， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴当点坐标为时，的面积最大， 过点作轴交于点E，则：， ∴， ∴的面积的最大值为：． （3）是定值： 设，设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵，且均在点的下方， ∴，， ∴； ∴是定值，为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的平移，分割法求面积，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$