精品解析：河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写答题卡上. 2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量（单位:与时间（单位:的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义，即可求解. 【详解】由，则，则， 所以在时的瞬时降雨强度为. 故选：A 2. 用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（ ） A. 48个 B. 24个 C. 18个 D. 12个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次分析三位数的个位、百位、十位数字的情况，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3，有2种情况， 百位数字不能为0，有3种情况， 十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况， 则共有种情况，即有18个符合题意的三位奇数． 故选：C． 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式逆用求解即可. 【详解】因为, 所以 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 14. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用导数公式，求，再求函数值. 【详解】由题意可知，，则， 解得：， 所以，则. 故选：B 6. 洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 240种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 再进行排列即可 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法， 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案有种. 故选：B. 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时求导得，对，两边同时求导得，从而即可得，4为函数的周期，结合周期性求解即可． 【详解】因为函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数， 所以， 两边同时求导得：，即， 又因为， 两边同时求导得：， 即，， 即， 所以， 两式相减得：， 所以为周期函数，4为最小正周期， 在中， 令，得,解得， 所以． 故选：C． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造函数结合函数的单调性比较大小即可. 【详解】 设 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 则则，则则 则则. 故选：A. 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是20 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项式定理的知识逐一判断即可. 【详解】的二项展开式有7项，A错； 的二项展开式的通项为 令得，所以常数项为，B错； 令得，所以展开式各项系数之和为0，C对； 展开式的二项式系数之和为，D对. 故选：CD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 的单调增区间是 C. 当时，直线与函数的图象有3个交点 D. 若函数在区间上，对为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数可得函数的极值点及单调区间，从而判断AB；当时，作出函数的图象，结合图象即可判断C； 根据函数在,上的单调性，求出函数的值域为,，由求解后，即可判断D． 【详解】因为，， 所以， 令，则，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数在处取极大值，故A正确； 函数的单调递增区间为，，故B正确； 当时，作出函数的图象，如图所示： 由此可得：，， 此进与函数只有两个交点，故C错误； 因为函数在,上单调递增， 所以，， 又因为函数在区间,上是“三角形函数”， 所以，且， 解得，故D正确． 故选：ABD． 11. 5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（ ） A. 甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B. 甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D. 甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 【答案】BD 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，甲不排在最中间，则不同的排法有中，故A错误； 对于B，甲乙不相邻，则不同的排法有种，故B正确； 对于C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有种，故C错误； 对于D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有种，故D正确； 故选：BD 12. 已知，则使恒成立的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知结合常见不等式，，对进行不等式放缩，求解出的范围即可求解． 【详解】设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，即， 设， 则当时在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故当，故 因为， 所以，但显然等号无法同时取得， 所以，即， 又恒成立， 所以． 故选：ABC． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】112 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出． 【详解】的展开式中，通项公式， 令，解得． 含的项的系数是． 故答案为：112． 14. 曲线在点处的切线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案． 【详解】由， 得． ， 又， 曲线在点,处的切线方程是． 故答案为：． 15. 已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥________个.（用数字作答） 【答案】58 【解析】 【分析】根据三棱锥的性质，结合三角形中位线定理、确定平面的条件、组合的定义进行求解即可. 【详解】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为： 16. 已知函数，直线，若满足点在直线上方的正整数恰有一个，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的性质求出函数的单调性，根据直线的方程确定直线必过的定点，最后通过数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体正实数， ， 设， 所以函数在时，单调递减，而， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然，当时，， 当时，， 由，因此该直线必过定点， 函数和直线的图象如下图所示： 满足点在直线上方的正整数恰有一个， 则有， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是利用导数的性质判断函数的单调性进而画出函数的图象，关键之二是利用数形结合思想得到不等式组. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）计算:; （2）. 【答案】（1）2；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据排列数的阶乘形式的公式即可求解. 【详解】解:（1）， 18. 已知斜率为1的直线与曲线相切. （1）求直线的方程; （2）若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点） 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据面积公式，得，即可求解导数确定函数的单调性，进而求解最值. 【小问1详解】 设切点为， 因为，所以切线的斜率，解得， 此时，即切点为， 所以切线的方程为，即 【小问2详解】 因为分别交曲线和于点M，N， 所以. 因为，则， 所以. 此时的面积， ，令，得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减 所以当时，有最大值且. 19. 已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. （1）求展开式的通项公式和中间一项; （2）设，求. 【答案】（1），252 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出等式，解出的值，然后写出二项展开式的通项即可; （2）先将等式左边进行化简为，然后写出其二项展开式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，解得 所以的展开式的通项 ， 令，展开式的中间一项为. 【小问2详解】 因为， 所以 所以的展开式的通项， 令， 令 则. 20. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）讨论函数在区间内的零点的个数. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）首先将函数的零点个数转化为函数与直线在区间内的交点的个数，所以利用导数分析函数的单调性和最值，以及函数的趋向，再分析交点个数. 【小问1详解】 当时，， 令，得或； 令，得或; 令，得或; 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 小问2详解】 由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减; 当时，在上单调递增. 当时，区间内取最小值. 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点; 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点. 21. 已知. （1）当时，求函数的最值; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为0；最小值为 （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，根据导函数的正负得到函数的单调性，进而求出函数的极值，再与端点值比较即可； （2）由题意可知，当时，恒成立，令函数，先由，可得，再证时，恒成立即可. 【小问1详解】 由，得. 令，解得. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 当时，有极小值，即最小值. 又 综上，当时，有最大值，最大值为0， 当时，有最小值，最小值为. 【小问2详解】 当时，. 即当时，. 令函数. 则当时，. 故.即 下证时，恒成立. 设， 则， ①当时，设， ， 由知， 即在上单调递增，且，故在上, 故在上单调递减.即. ②当时，由知. 即在上单调递增，即. 此时由得. 综上，实数的取值范围是. 22. 给定函数. （1）判断函数的单调性，并求出函数的极值; （2）证明:当时，. 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，再求函数的极值； （2）首先由不等式构造函数，转化为证明函数的最小值大于0. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 令，解得. 当变化时，的变化情况如下表 负 0 正 单调递减 极小值 单调递增 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值. 【小问2详解】 要证明当时，， 即证明当时，. 令函数. 则. 当时，. 设函数. 则，故在上单调递增. 又 所以存在唯一的使得. 且. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 设函数 则 即在单调递增. 所以原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用隐零点问题求函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写答题卡上. 2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量（单位:与时间（单位:的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ） A. B. C D. 2. 用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（ ） A 48个 B. 24个 C. 18个 D. 12个 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 14. 6. 洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 240种 D. 300种 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是20 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 的单调增区间是 C. 当时，直线与函数的图象有3个交点 D. 若函数在区间上，对为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 11. 5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（ ） A. 甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B. 甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 甲乙必须相邻，且甲在乙右边，则不同的排法有72种 D. 甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同排法有72种 12. 已知，则使恒成立的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在展开式中，的系数为______. 14. 曲线在点处的切线方程是________. 15. 已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥________个.（用数字作答） 16. 已知函数，直线，若满足点在直线上方的正整数恰有一个，则实数的取值范围是_____. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）计算:; （2）. 18. 已知斜率为1的直线与曲线相切. （1）求直线的方程; （2）若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点） 19. 已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. （1）求展开式的通项公式和中间一项; （2）设，求. 20. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）讨论函数在区间内的零点的个数. 21. 已知. （1）当时，求函数的最值; （2）若，求实数的取值范围. 22. 给定函数. （1）判断函数的单调性，并求出函数的极值; （2）证明:当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$