1.1等腰三角形课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.1等腰三角形 一、复习引入 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等 反过来，“在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗”？ A B C 在△ABC中 符号语言 因为 (已知)， 所以 （等边对等角）． AB=AC ∠C=∠B ∠C=∠B AB=AC （简称为“等边对等角”） ？ 二、新知讲授 如图，已知:在△ABC中,∠B=∠C,说明△ABC是等腰三角形的理由. 在一个三角形中，怎么说明两条边相等呢？ 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形. 猜想： ？ ？ 如何判断一个三角形是等腰三角形呢？ 3 二、新知讲授 回顾“等边对等角”的说理过程 作∠BAC的平分线AD，可以得到两个三角形 再说明这两个 三角形全等 解：过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 因为AD平分∠BAC（已知）， 所以∠BAD=∠CAD（角平分线的意义）． 在△ABD与△ACD中， AB=AC（已知）， ∠BAD=∠CAD（已求）， AD=AD（公共边）， 所以 △ADB≌ △ADC（S.A.S）， 得∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）． D . . A B C 在△ABC中，AB=AC，试说明∠B=∠C的理由． 4 二、新知讲授 如图，已知:在△ABC中,∠B=∠C,说明△ABC是等腰三角形的理由. 在一个三角形中，怎么说明两条边相等呢？ 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形. 猜想： ？ ？ 如果能将△ABC分成两个全等的三角形，那么就可以利用全等三角形的对应边相等． 如何判断一个三角形是等腰三角形呢？ 5 ？ ？ 二、新知讲授 如图，已知：在△ABC中，∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由. 解: 作△ABC的平分∠A的角平分线AD，则 ∠BAD=∠CAD(角平分线的意义） D 所以△ADB≌ △ADC（A.A.S） 在△ADB与△ADC中， ∠B=∠C(已知）， ∠BAD=∠CAD， AD=AD（公共边）， 得 AB=AC （全等三角形的对应边相等） 因此△ABC是等腰三角形． . . 添辅助线 说明分成的两个三角形全等 全等三角形的性质 等腰三角形的定义 6 ？ ？ ？ ？ ？ ？ 二、新知讲授 如图，已知：在△ABC中，∠B=∠C，说明△ABC等腰三角形的理由. 作△ABC的平分∠BAC的角平分线AD 思考 还可用其他添置辅助线的方法来说明结论正确吗？ D 作△ABC的BC上的中线AM 作△ABC的BC边上的高AH M H △AMB 与△AMC 全等 吗？ 能说明AB=AC吗？ . . △AHB ≌ △AHC （A.A.S） 7 二、新知讲授 如图，已知：在△ABC中，∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由. 解: 作△ABC的BC边上的高AH，则 ∠AHC=∠AHB=90°（三角形的高的意义） HH 所以 △AHB ≌ △AHC（A.A.S）. 在△AHB与△AHC中， 得AB=AC（全等三角形的对应边相等）. 因此△ABC是等腰三角形. ？ ？ ∠B=∠C(已知）， ∠AHC=∠AHB, AH=AH（公共边）， 添辅助线 说明分成的两个三角形全等 全等三角形的性质 等腰三角形的定义 H 8 二、新知讲授 在△ABC中， 因为∠B=∠C（已知）， 所以AC=AB（等角对等边）， 即△ABC是等腰三角形． 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等， 这个三角形是等腰三角形 . （简称为“等角对等边”） 符号语言 前提! 习题训练 下列图形中ΔABC不是等腰三角形的是( ) D 根据三角形的内角和等于180°，可得∠B=50° 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得∠A=50° 所以∠A=∠B 50° 50° 根据对顶角相等，可得∠ABC=80° 根据三角形的内角和等于180°，可得∠C=50° 所以∠A=∠C 50° 80° 判断一个三角形是不是等腰三角形，可以看这个三角形中是不是有两个角相等 所以ΔABC不是等腰三角形 所以ΔABC是等腰三角形 所以ΔABC是等腰三角形 所以ΔABC是等腰三角形 ∠B=∠C 80° 邻补角 10 三、例题讲解 分析： 要得到∠ABC=∠ACB，可以怎样得到？ 1 E B C 2 C B D 例题1 如图在△ABC中，已知BD、CE分别是边AC、AB上的高，且∠DBC=∠ECB，说明△ABC是等腰三角形的理由. ∠DBC=∠ECB BC=CB △BEC≌△CDB 要说明△ABC是等腰三角形就是要说明什么？ AC=AB BD、CE分别是边AC、AB上的高 ∠1=∠2=90° ∠ABC=∠ACB 要说明AC=AB可以通过说明什么得到？ △BEC和△CDB全等吗？ 具备了哪些条件？可以用什么判定方法？ （A.A.S） 11 三、例题讲解 例题1 如图在△ABC中，已知BD、CE分别是边AC、AB上的高，且∠DBC=∠ECB，说明△ABC是等腰三角形的理由. 解：因为BD、CE分别是边AC、AB上的高， 所以∠1=∠2= 90°（三角形高的意义）． 在△BDC与△CEB中， ∠1=∠2， ∠DBC=∠ECB(已知）, BC=CB（公共边）， 所以 △BDC≌△CEB （A.A.S）. 得 ∠ACB=∠ABC（全等三角形的对应角相等）. 因此 AB=AC（等角对等边）． 即△ABC是等腰三角形. 2 1 还能用其它方法说明∠ACB=∠ABC吗？ 12 三、例题讲解 1 E B C 2 C B D 例题1 如图在△ABC中，已知BD、CE分别是边AC、AB上的高，且∠DBC=∠ECB，说明△ABC是等腰三角形的理由. ∠1+∠DBC+∠ACB=180° ∠2+∠ECB+∠ABC=180° ∠ABC=∠ACB BD、CE分别是边AC、AB上的高 ∠1=∠2=90° ∠DBC=∠ECB AB=AC 13 三、例题讲解 例题1 如图在△ABC中，已知BD、CE分别是边AC、AB上的高，且∠DBC=∠ECB，说明△ABC是等腰三角形的理由. 解：因为BD、CE分别是边AC、AB上的高， 所以∠1=∠2= 90°（三角形高的意义）． ∠1=∠2， ∠DBC=∠ECB(已知）, BC=CB（公共边）， 在△BDC与△CEB中， 所以 △BDC≌△CEB （A.A.S）. 得 ∠ACB=∠ABC（全等三角形的对应角相等）. 因此 AB=AC（等角对等边）． 即△ABC是等腰三角形. 2 1 还能用其它方法说明∠ACB=∠ABC吗？ 又因为∠1+∠DBC+∠ACB=180° ∠2+∠ECB+∠ABC=180°（三角形内角和为180°） 所以∠1+∠DBC+∠ACB=∠2+∠ECB+∠ABC（等量代换） 因为∠DBC=∠ECB（已知） 得∠ACB=∠ABC（等式性质）. 14 三、例题讲解 例题1 如图在△ABC中，已知BD、CE分别是边AC、AB上的高，且∠DBC=∠ECB，说明△ABC是等腰三角形的理由. 解：因为BD、CE分别是边AC、AB上的高， 所以∠1=∠2= 90°（三角形高的意义） 因此 AB=AC（等角对等边） 即△ABC是等腰三角形. 2 1 又因为∠1+∠DBC+∠ACB=180° ∠2+∠ECB+∠ABC=180°（三角形内角和为180°） 所以∠1+∠DBC+∠ACB=∠2+∠ECB+∠ABC（等量代换） 因为∠DBC=∠ECB（已知） 得∠ACB=∠ABC（等式性质）. 15 三、例题讲解 例题2：如图，在△ABC中，已知点D 、E分别在AB、AC上，且BE=CD,∠1=∠2，试说明 △ABC是等腰三角形的理由. 分析： 由已知条件可以得到什么？ 两边相等 两角相等 BE=CD,∠1=∠2 BC=CB C B D E B C 1 2 要说明△ABC是等腰三角形，就是要说明什么？ △ABC是等腰三角形 △DBC≌△ECB （S.A.S） ∠ABC=∠ACB × × 16 × × 三、例题讲解 解： 在△ECB与△DBC中， BE=CD(已知）， ∠1=∠2(已知）, BC=BC（公共边）， 所以△ECB≌△DBC （S.A.S）. 得∠ECB=∠DBC（全等三角形的对应角相等）. 可知AB=AC（等角对等边）. 所以△ABC是等腰三角形. 例题2：如图，在△ABC中，已知点D 、E分别在AB、AC上，且BE=CD,∠1=∠2，试说明 △ABC是等腰三角形的理由. 说明两个三角形全等 全等三角 形的性质 等角对等边 等腰三角形的判定 17 × × 三、例题讲解 例题1：如图，在△ABC中，已知点D 、E分别在AB、AC上，且BE=CD, ∠1=∠2， 试说明 △ABC是等腰三角形的理由. 变式 ∠ABE=∠ACD A D E C B . . 要说明△ABC是等腰三角形，就是要说明什么？ 由已知条件可以得到什么？ △ABC是等腰三角形 两边相等 两角相等 BE=CD, ∠ABE=∠ACD ∠A=∠A △ABE≌△ACD（A.A.S） AB=AC 分析： 18 三、例题讲解 例题1：如图，在△ABC中，已知点D 、E分别在AB、AC上，且BE=CD, ∠1=∠2， 试说明 △ABC是等腰三角形的理由. 变式 ∠ABE=∠ACD A D E C B . . 解： 在△ABE与△ACD中， ∠ABE=∠ACD(已知）， ∠A=∠A(公共角）, BE=CD（已知）， 所以△ABE≌△ACD （A.A.S）. 得AB=AC（全等三角形的对应边相等）. 所以△ABC是等腰三角形. 例题1 解： 在△ECB与△DBC中， BE=CD(已知）， ∠1=∠2(已知）, BC=BC（公共边）， 所以△ECB≌△DBC （S.A.S）. 得∠ECB=∠DBC（全等三角形的对应角相等）. 可知AB=AC（等角对等边）. 所以△ABC是等腰三角形. 等腰三角形的定义 等腰三角形的判定方法 等角对等边 AB=AC AB=AC △ABE≌△ACD ∠ECB=∠DBC 19 三、例题讲解 例题1：如图，在△ABC中，已知点D 、E分别在AB、AC上，且BE=CD, (1)试说明 △ABC是等腰三角形的理由. ∠ABE=∠ACD 变式 A D E C B . . O (2)设BE与CD的交点为O，那么△OBC是等腰三角形吗？为什么？ 要说明△OBC是等腰三角形 OB=OC ∠OBC=∠OCB △OBD≌△OCE 能直接说明 吗？ AB=AC ∠ACB=∠ABC ∠ABE=∠ACD 分析： 只有两组角对应相等 ？ ？ ？ 20 三、例题讲解 例题1：如图，在△ABC中，已知点D 、E分别在AB、AC上，且BE=CD, (1)试说明 △ABC是等腰三角形的理由. ∠ABE=∠ACD 变式 A D E C B . . O (2)设BE与CD的交点为O，那么△OBC是等腰三角形吗？为什么？ （2）解： 因为AB=AC（已求）, 所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）, 又因为∠ABE=∠ACD（已知）， 所以∠ABC－∠ABE=∠ACB－∠ACD（等式性质） 即∠OBC=∠OCB. 所以OB=OC（等角对等边）. 即△OBC是等腰三角形． 等角对等边 ? ? 等边对等角 等腰三角形的判定 等腰三角形的性质 21 三、例题讲解 例题3 如图，点D在△ABC的边AC上, 已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，试指出图中的相等线段，并说明理由. 100° 40° 40° 20° D B A 100° 40° 在△ABD中 C B A 100° 60° 在△ABC中 20° 利用三角形的内角和 等于180°,求其它角的度数 40° 20° 由已知条件，还可以求出图中哪些角的度数？ 22 三、例题讲解 例题3 如图，点D在△ABC的边AC上, 已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，试指出图中的相等线段，并说明理由. 100° 40° 20° 40° 20° 可看作是三角形的边 利用在一个三角形中“等角对等边”来寻找图中的相等线段 图中的相等线段 :AB=AD，BD=DC. 23 100° 40° 40° 三、例题讲解 因为∠A=100° ， ∠ABD=40°（已知）, 而∠A+∠ABD+∠ADB=180°（三角形内角和等于180°）, 所以∠ADB=180°－∠A－∠ABD=40°（等式性质）. 得 ∠ABD=∠ADB（等量代换）, 所以AB=AD（等角对等边）. 例题3 如图，点D在△ABC的边AC上, 已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，试指出图中的相等线段，并说明理由. 40° 40° 等角对等边 解： AB=AD，说理如下： 100° 40° 40° 20° 20° 三、例题讲解 例题3 如图，点D在△ABC的边AC上, 已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，试指出图中的相等线段，并说明理由. 因为∠ABC=60°,∠ABD=40°（已知）, 所以∠DBC=∠ABC－∠ABD= 20°（等式性质）. 因为∠A=100° ∠ABC=60°（已知）, 而∠A+∠ABC+∠C=180° （三角形内角和等于180°）, 所以∠C=180°－∠A－∠ABC=20°． 得∠DBC=∠C（等量代换）. 所以BD=DC（等角对等边）. 20° 20° 还有其它方法可以得到∠C=20°吗？ ？ 因为∠ADB=∠DBC+∠C（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和）， 所以∠C=∠ADB－∠DBC=40°－20°=20°． 20° 解： BD=DC，说理如下： 等角对等边 三、例题讲解 例题2 如图，点D在△ABC的边AC上, 已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，试指出图中的相等线段，并说明理由. 直线BD对△ABC形成分割， 得到了两个等腰三角形． 100° 40° 40° 20° 20° 26 N C A B 四、训练 如图，轮船由A处以每小时20海里的速度向正北方向航行，此时，测得灯塔C在北偏东40°的方向（即∠NAC=40°），半小时后，轮船航行到B处，测得灯塔C在北偏东80°的方向（即∠NBC=80°）． 　　求轮船在B处时与灯塔C的距离． 求轮船在B处时与灯塔C的距离 t= 小时 分析: 求线段BC的 长度 已知的两个角有怎样的位置关系？ 40° ∠A=∠C AB=BC AB的长度=轮船行驶的路程 = v=20海里/时 ) 40° ) 80° 四、训练 如图，轮船由A处以每小时20海里的速度向正北方向航行，此时，测得灯塔C在北偏东40°的方向（即∠NAC=40°），半小时后，轮船航行到B处，测得灯塔C在北偏东80°的方向（即∠NBC=80°）． 　　求轮船在B处时与灯塔C的距离． 解：因为∠NAC=40° ， ∠NBC=80°（已知）, 而∠NBC=∠NAC+∠C（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和）, 所以∠C=80°-40°=40°（等式性质）. 得 ∠NAC=∠C（等量代换）, 所以AB=BC（等角对等边）. 答：轮船在B处时与灯塔C的距离是10海里． 40° 40° 40° v=20海里/时 t= 小时 说理部分 计算部分 五、归纳小结 ①定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形． 因为AB=AC（已知）， 所以△ABC是等腰三角形． ②判定： 因为∠B=∠C（已知）， 所以AC＝AB（等角对等边）， 即△ABC是等腰三角形． ２.说明两个角相等的方法： ① 通过“外角、内角和、邻补角、对顶角”等性质进行计算推出； ②通过“全等三角形”等性质得到． 边 角 1.判断一个三角形是等腰三角形的方法： A B C 3.善于运用一些隐含条件“公共边、公共角”等来解决一些问题． 结束语： 等腰三角形中的“等边对等角”和“等角对等边”是边和角互相联系和转化的基本依据． $$