5.1.1角的概念的推广课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

5.1.1　角的概念的推广 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．体会引入弧度制的必要性． 学科核心素养 1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(数学抽象) 2．理解弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．(数学抽象、数学运算) 教材要点 要点一　角的分类 类型 定义 图示 正角 以________方向旋转形成的角 负角 以________方向旋转形成的角 零角 不旋转所形成的的角，用表示 逆时针 顺时针 状元随笔　(1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的． (2)在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注意由旋转方向来确定角的符号． 要点二　象限角 在直角坐标系内讨论角，为此取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的________，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限． 要点三　终边相同的角 把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即S＝_____________________，当k=0时，角β就是角α本身． 非负半轴 不属于 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 状元随笔　(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　　) (2)终边相同的角的表示不唯一．(　　) (3)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　) (4)终边与始边重合的角是零角．(　　) √ √ √ × 2．手表时针走1小时转过的角度是(　　) A．60°　　B．－60° C．30° D．－30° 答案：D 解析：－×360°＝－30°. 3．与53°角终边相同的角是(　　) A．127° B．233° C．－307° D．－127° 答案：C 解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为 －307°. 故选C. 4．2 019°是第________象限角． 三 解析：∵2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°. ∴2 019°是第三象限角． 题型探究 课堂解透 题型1　任意角的概念及应用 例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　) A．0°～90°的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于90°的角都是锐角 (2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　) A．10° B．15° C．30° D．－30° 答案：(1)ABD　(2)B 解析：(1)0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以A不正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以B不正确；钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以C正确；锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以D不正确． 故选ABD. (2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.故选B. 方法归纳 与角的概念有关问题的解决方法 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 跟踪训练1　(1)下列说法正确的是(　　) A．第一象限的角一定是正角 B．三角形的内角不是锐角就是钝角 C．锐角小于90° D．终边相同的角相等 (2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________． C －120° 解析：(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角还可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°角与405°角的终边相同，但不相等，所以D错误． 故选C. (2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°. 题型2　终边相同的角 例2　(1)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角． 解析：(1)与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}． 当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2. 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角． (2)写出终边在直线y＝－x上的角的集合． 解析：(2)终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}； 终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}． 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}＝300°＋k2·360°，k2∈Z}， 即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 方法归纳 (1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁． (2)终边相同角常用的三个结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 跟踪训练2　(1)与－460°角终边相同的角可以表示成(　　) A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈Z C．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z (2)终边落在x轴上的角的集合为________________． 答案：(1)C　(2){β|β＝k·180°，k∈Z} 解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°， 所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.故选C. (2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． 题型3　象限角与区域角的表示 角度1　象限角的判定 例3　(多选)若α是第二象限角，则所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：AC 解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)．∴的终边位于第一或第三象限．故选AC. 方法归纳 关于角nα或象限的确定 (1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限． (2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可．(如图) 角度2　区域角的表示 例4　写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围． 解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}． (2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}． 方法归纳 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°； (3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围． 跟踪训练3　(1)已知α是第一象限角，那么是(　　) A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合． 答案：(1)D　(2)见解析 解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z， ∴k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，n·360°<<45°＋n·360°，n∈Z， ∴是第一象限角． 当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°<<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)， ∴在第三象限．故选D. (2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z. 若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z. 所以，角α的终边落在图中阴影区域内时， 30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z. 故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 易错辨析　忽视轴线角致误 例5　已知α为锐角，则2α为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．小于180°的角 解析：因为α为锐角，所以α∈(0°，90°)，则2α∈(0°，180°)． 答案：D 易错警示 易错原因 纠错心得 当α＝45°时，2α＝90°，90°既不是第一象限也不是第二象限角． 易错选：C. 象限角不包括坐标轴表示的角． (0°，180°)内的角不能说是第一或第二象限角，其中还有终边在y轴的非负半轴的角． 课堂十分钟 1．下列各角中，与35°终边相同的角是(　　) A．215°　　　B．365° C．755°　　　D．－235° 答案：C 解析：755°＝2×360°＋35°. 故选C. 2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　) A．120°　　　B．－120° C．240°　　　D．－240° 答案：D 解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D. 3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：可以给α赋一特殊值－60°， 则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角． 故选C. 4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝_______________， α的相反角为________． 150°＋k·360°(k∈Z) －30° 解析：∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°， ∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)，α的相反角为－30°. 5．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合． 解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}． (2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}． $$