第三节 等式性质与不等式课件-2025届高三数学一轮复习

第三节 等式性质与不等式 一、学习目标 1.理解不等式的概念，掌握不等式性质，会利用不等式性质判断相关命题的真假. 2.会比较两个数(式)的大小.　 3.理解不等式的性质，并会解简单应用. 知识点1：不等关系 知识点2：不等式的性质 ＞ ＜ ＞ ＜ a＞c ＞ ＞ < < > < < > < > < ＞ ＜ ＞ ＜ a＞c ＞ ＞ < < > < < > < > < 　常用的乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. √ √ √ × × D 小题诊断 D 对于选项A，只有 b ＞0时才正确，故A错误；对于选项B，当不等式两 边同时乘的数为负数时，不等号方向发生变化，故B错误；对于选项 C，一个正实数越大，则其倒数就越小，故C错误；对于选项D，由 c ＞ d ＞0得 ＞ .因为 a ＞ b ＞0，所以 ＞ ，故D正确. 小题诊断 C A中，当 c ＝0时， ac 2＜ bc 2不成立，故A错误；B中，当 c ＜0时， a ＜ b ，故B错误；C中，若 a 3＞ b 3， ab ＜0，则 a ＞0＞ b ，∴ ＞ ，故C正 确；D中，当 a ＜0， b ＜0时， ＜ 不成立，故D错误. 小题诊断 B A B B B A C [通关练习] A C D A (-4,2) (1,18) 一　比较数(式)的大小 B 一　比较数(式)的大小 A B 比较大小常用的方法 1.作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断. 2.构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 3.中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作 为中间量. 4.赋值法：当两个式子比较大小时，可直接赋值. 方法总结 跟踪训练 A ＜　 二　不等式的基本性质 BCD BCD 解决此类题目常用的 4种方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证. 2.利用特殊值法排除错误答案,利用不等式的性质判断不等式是否成立 时要特别注意前提条件. 3.作差法. 4.利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利 用指数函数、对数函数幂函数等函数的单调性进行判断. 方法总结 跟踪训练 D BC 三　不等式性质的应用 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时 有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与 已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取 值范围. 方法总结 跟踪训练 (1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a b；)) (2)作商法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＜1⇔a b（a∈R，b＞0）.)) (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ ， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ； (5)可乘方：a＞b＞0⇒ ； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ． 3.不等式的一些常用性质 (1)不等式中有关倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒____； ②a<0<b⇒_____； ③a>b>0，0<c<d⇒____； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒_________. (1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a b；)) (2)作商法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＜1⇔a b（a∈R，b＞0）.)) (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ ， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ； (5)可乘方：a＞b＞0⇒ ； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ． 3.不等式的一些常用性质 (1)不等式中有关倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒____； ②a<0<b⇒_____； ③a>b>0，0<c<d⇒____； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒_________. (教材习题改编)下列四个结论，正确的是(　　) ①a>b，c<d⇒a－c>b－d； ②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd； ③a>b>0⇒>； ④a>b>0⇒>. A.①② B.②③ C.①④ D.①③ 【例1】(1)已知实数a,b,c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2， 则a，b，c的大小关系是(　　) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b (2)(一题多解)若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，给出下列不等式：①eq \f(1,a＋b)＜eq \f(1,ab)；②|a|＋b＞0； ③a－eq \f(1,a)＞b－eq \f(1,b)；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【训练1】(1)(2018·赣州、吉安、抚州七校联考)设0<a<b<1， 则下列不等式成立的是(　　) A.a3>b3 B.eq \f(1,a)<eq \f(1,b) C.ab>1 D.lg(b－a)<0 (2)已知p＝a＋eq \f(1,a－2)，q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2)，其中a>2，x∈R，则p，q的大小 关系是(　　) A.p≥q B.p>q C.p<q D.p≤q f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b) ＝f(1)＋3f(－1)． $$