集合课件-2025届高三数学一轮复习

第一节 集合 一、最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系; 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集； 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 知识点1：集合的含义与表示 元素与 集合的含义 一般地，我们把研究 ⁠统称为元素，把一些元素组成的 叫做集合(简称为集) 集合中元素的特征 性、 性、 ⁠性 集合的 表示方法 法、 法和 ⁠法 对象　 总体　 确定　 互异　 无序　 列举　 描述　 图示　 集合元素的基本性质 确定性：集合中的元素必须是确定的。 互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。 无序性：即集合中的元素的排列次序无先后之分，集合中的任何两个元素都可以交换位置。 有没有不含任何元素的集合呢？ 思考： 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅ 根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类： 1.有限集 含有有限个元素的集合称为有限集. 2.无限集 若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集. 数集的分类: [拓展]区分下列集合的表示含义: 集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)} 含义 方程f(x)=0 的解集 不等式f(x)>0 的解集 函数y=f(x) 的定义域 函数y=f(x) 的值域 函数y=f(x) 图像上的点集 知识点1：集合的含义与表示 特定集合的记法 正整数集N*或N＋，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R 元素与集合 之间的关系 “属于”或“不属于”，记为“ ”或“ ⁠” ∈　 ∉　 常见数集的表示方法 正整数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 或 数集的扩充过程 常见数集的表示方法 关于0： 0是最小的自然数 0是整数 0既不是正数也不是负数 0是有理数 探究新知 知识点2：集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 子集 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集 合 B 的子集 x ∈ A ⇒ x ∈ B ⁠ 或 ⁠ A ⊆ B 　 B ⊇ A 　 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 A ⊆ B ，且∃ x ∈ B ， x ∉ A ⁠ 或 ⁠ 知识点2：集合间的基本关系 集合相等 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等 A ⊆ B ， 且 B ⊆ A ⁠ ⁠ A ⫋ B 　 B ⫌ A 　 A ＝ B 　 且 注意：判定两个集合相等，可把握两个原则 ①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，且对应元素分别相同，则两个集合相等 ②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B 知识点2：集合间的基本关系 属于 不属于 任何一个 任何一个 任何一个 B中至少有一个元素不属于A = [拓展]: 1.若集合A中有n个元素,则其子集个数为 , 真子集个数为 ,非空真子集的个数为 . 2.与空集有关的结论:(空集是任何集合的子集) 2n 2n-1 2n-2 知识点3：集合的基本运算 运算 交集 并集 补集 Venn图 符号语言 A ∩ B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∪ B ＝{ x ｜ x ∈ A ，或 x ∈ B } ∁ UA ＝{ x ｜ x ∈ U ，且 x ∉ A } 知识点4：集合的运算性质 (1)( A ∩ B )⊆ A ，( A ∩ B )⊆ B ， A ∩ B ＝ B ∩ A ， A ∩ B ＝ A ⇔ ， A ∩⌀＝⌀. (2) A ⊆( A ∪ B )， B ⊆( A ∪ B )， A ∪ B ＝ B ∪ A ， A ∪ B ＝ B ⇔ ⁠ ， A ∪⌀＝ A . (3)∁ UU ＝⌀，∁ U ⌀＝ U ，∁ U (∁ UA )＝ A ， A ∪(∁ UA )＝ U ， A ∩(∁ UA )＝⌀， ∁ U ( A ∩ B )＝ ，∁ U ( A ∪ B )＝ ⁠. A ⊆ B 　 A ⊆ (∁ UA )∪(∁ UB )　 (∁ UA )∩(∁ UB )　 B 　 {x|x∈A或x∈B} B⊆A A⊆B ∅ A 知识点4：集合的运算性质 若全集为U，AU，则: 探究点3 补集的运算性质（1） 补集的运算性质（2） U 如图所示,用集合A、B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是_________；___________；____________；_____________________． A∩B B∩(∁UA) A∩(∁UB) ∁U(A∪B) [拓展]: 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　) (3)对于任意两个集合A，B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.(　　) 诊 断 自 测 × × √ × [小题诊断] 4. (2021·全国乙卷)已知集合 S ＝{ s ｜ s ＝2 n ＋1， n ∈Z}， T ＝{ t ｜ t ＝4 n ＋1， n ∈Z}，则 S ∩ T ＝(　C　) A. ⌀ B. S C. T D. Z C 依题知 T ⫋ S ，则 S ∩ T ＝ T . 一　集合的含义与表示 [大本例1] (1)(2024·海南海口模拟) 已知集合 A ＝ ，则集合 A 中的元素的个数为(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 因为 x ∈Z，且 ∈Z，所以2－ x 的取值有 －3，－1，1，3，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故 集合 A 中的元素个数为4. (2)(多选)已知集合 M ＝{1， m ＋2， m 2＋4}，且5∈ M ，则 m 的可能取值为(　AC　) 一　集合的含义与表示 A. 1 B. －1 C. 3 D. 2 AC 确定集合的注意点 1. 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是 其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握 集合的含义. 2. 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时， 要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 方法总结 跟踪训练 1. (2024·江苏泰州模拟)已知集合 A ＝{0，1，2，3，4}， B ＝{( x ， y )｜ x ∈ A ， y ∈ A ， x － y ∈ A }，则 B 中所含元素的个数为(　D　) A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 2. (2024·山东济南模拟)已知集合 A ＝ 中的最大元素为2，则实数 x ＝ ⁠. D 1　 ① x － y ＝1，有四个，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3)； ② x － y ＝2，有三个，(2，0)，(3，1)，(4，2)； ③ x － y ＝3，有两个，(4，1)，(3，0)； ④ x － y ＝4，有一个，(4，0)； ⑤ x － y ＝0，有五个，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4). 综上， B 中所含元素的个数为15. 因为 x ∈ A ， y ∈ A ， x － y ∈ A ， 所以分以下5种情况： 二 集合间的基本关系 [大本例2](1)已知集合 A ＝{0，1， a 2}， B ＝{1，0，3 a －2}，若 A ＝ B ，则 a 等于(　C　) A. 1或2 B. －1或－2 C. 2 D. 1 C ∵ A ＝ B ， ∴3 a －2＝ a 2，解得 a ＝1或 a ＝2. 当 a ＝1时，集合 A ＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故 舍去； 当 a ＝2时，集合 A ＝{0，1，4}，集合 B ＝{1，0，4}，符合题意，所以 a ＝2. 二 集合间的基本关系 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a －2}.若 A ⊆ B ，则 a ＝(　B　) A. 2 B. 1 C. D. －1 B B 二 集合间的基本关系 (3)已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}.若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围为 ⁠. (－∞，3]　 (－∞,2)∪(6,＋∞) 1. 子集个数的求解方法 2. 已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间 的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用 数轴、Venn图或图象帮助分析，同时还要注意空集分类讨论等情况. 穷举法 将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况 公式法 含有 n 个元素的集合的子集个数是2 n ，真子集的个数是2 n －1，非空真子集的个数是2 n －2 方法总结 跟踪训练 3. 已知集合 A ＝{1，2，3，5，10}， B ＝{ x ｜ x 为质数}，则 A ∩ B 的非空子集的个数为(　B　) A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 B 4. 已知集合 A ＝ ， B ＝ ，则(　A　) A. A ⊆ B B. A ∩ B ＝⌀ C. A ＝ B D. A ⊇ B A 跟踪训练 5. (2024·九省联考测试)已知集合 A ＝{－2，0，2，4}， B ＝{ x ｜｜ x －3｜≤ m }.若 A ∩ B ＝ A ，则 m 的最小值为 ⁠ 5　 三 集合的基本运算 ◉角度(一)　集合的基本运算 [大本例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合 M ＝{－2，－1，0，1，2}， N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}，则 M ∩ N ＝(　C　) A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2} C. {－2} D. {2} C (2)(2023·全国甲卷)设全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋2， k ∈Z}，则∁ U ( M ∪ N )＝(　A　) A 解集合运算问题的三个注意点 方法总结 ◉角度(二)　利用集合运算求参数或参数的范围 [大本例4](1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合 A ＝{ x ｜ x 2－4≤0}， B ＝{ x ｜2 x ＋ a ≤0}，且 A ∩ B ＝{ x ｜－2≤ x ≤1}， 则 a ＝(　B　) A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 B (2)设 A ＝{－4，2 a －1， a 2}， B ＝{ a －5，1－ a ，9}.已知 A ∩ B ＝{9}，则 a ＝ ， A ∪ B ＝ ⁠. －3　 {－7，－4，－8，4，9}　 当 a ＝5时， A ＝{－4，9，25}， B ＝{0，－4，9}，此时 A ∩ B ＝{－4， 9}，与 A ∩ B ＝{9}矛盾，故舍去. 综上所述， a ＝－3， A ∪ B ＝{－7，－4，－8，4，9}. 因为 A ∩ B ＝{9}，所以9∈ A ， 所以 a 2＝9或2 a －1＝9，解得 a ＝±3或 a ＝5. 当 a ＝3时， A ＝{－4，5，9}， B ＝{－2，－2，9}， B 中元素不满足集 合元素的互异性，舍去. 当 a ＝－3时， A ＝{－4，－7，9}， B ＝{－8，4，9}， A ∩ B ＝{9}满足 题意，故 A ∪ B ＝{－4，－7，－8，4，9}. 利用集合的运算求参数的方法 1. 与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. 2. 若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 方法总结 跟踪训练 6. (2022·新高考Ⅱ卷)已知集合 A ＝{－1，1，2，4}， B ＝{ x ｜｜ x －1｜≤1}，则 A ∩ B ＝(　B　) A. {－1，2} B. {1，2} C. {1，4} D. {－1，4} B 7. (2024·河南焦作模拟)若集合 A ＝{ x ｜2 x 2－9 x ＞0}， B ＝{ x ｜ x ≥2}，则(∁R A )∪ B ＝(　C　) A. B. ⌀ C. [0，＋∞) D. (0，＋∞) C 跟踪训练 8. (多选)已知集合 A ＝{ x ｜ x ＋1≤0}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }.若 A ∪ B ＝R，则实数 a 的值可以为(　BD　) A. 2 B. －1 C. 0 D. －2 BD 四与集合有关的新定义问题 [大本例5](1)(2024·云南保山模拟)定义集合运算： A ＋ B ＝ ，设 A ＝ ， B ＝ ，则集合 A ＋ B 的所有元素之和为(　A　) A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 A 四与集合有关的新定义问题 (2)(多选)(2024·湖南邵阳模拟)若对任意 x ∈ A ， ∈ A ，则称 A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　ABD　) A. B. C. D. ABD 解“新定义”题的方法 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法 则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比 的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过 现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定 是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝.对于新定义问 题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合 的相关性质求解. 方法总结 跟踪训练 9. (2024·湖南长沙模拟)定义集合 A ÷ B ＝ .已知集合 A ＝ ， B ＝ ，则 A ÷ B 的元素的个数为(　B　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 10. (2024·安徽蚌埠模拟)对于数集 A ， B ，定义 A ＋ B ＝ ， A ÷ B ＝{ x ， a ∈ A ， b ∈ B }.若集合 A ＝ ，则集合 ÷ A 中所有元素之和为(　D　) A. B. C. D. D 根据新定义，数集 A ， B ，定义 A ＋ B ＝ ， A ÷ B ＝{ x ， a ∈ A ， b ∈ B }，集合 A ＝ ， A ＋ A ＝ ， ÷ A ＝ ，则可知所有元素的和为 . @《创新设计》 @《创新设计》 18. (多选)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10， 8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上 班的职工人数可能是(　AB　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 AB 则 得得 b ＋ c ＋ e ＋2 x ＝12，当 b ＝ c ＝ e ＝0时， x 取得最大值6，则这三天都开车上班的职工人数至多是6. 如图所示，( a ＋ b ＋ c ＋ x )表示周一开车上班的职工人数，( b ＋ d ＋ e ＋ x )表示周二开车上班的职工人数，( c ＋ e ＋ f ＋ x )表示周三开车上班的 职工人数， x 表示这三天都开车上班的职工人数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 @《创新设计》 D　 (－∞,－1] @《创新设计》 C　 D　 @《创新设计》 集合中的创新问题 D　 @《创新设计》 C D 分a＝0与a≠0两种情况讨论! @《创新设计》 A.1 B.3 C.7 D.31 (2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A, 则实数a的取值范围为________. B (1,2] 并集 交集 补集 图形 表示 符号 表示 A∪B＝______________ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 性质 A∪∅＝A A∪A＝A A∪B＝B∪A A∪B＝A ⇔______ A∩∅＝∅ A∩A＝A A∩B＝B∩A A∩B＝A ⇔______ A∪(∁UA)＝U A∩(∁UA)＝____ ∁U(∁UA)＝____ ∁U(A∩B)＝ (∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB). 1.(2017·河南焦作学业水平测试)设集合M＝{1,9，a}，集合P＝{1，a2}，若P⊆M，则实数a的取值个数为 (　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________________. 3.(2017·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝ (　　) A．(－1,1)　 B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 4.设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是 (　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 解:单元素集合都含“孤立元素”.S中无“孤立元素”的2个元素的子集为{0,1}，{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为{0,1,2}，{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，共4个，S中无“孤立元素”的4个元素的子集为{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，共6个，S中无“孤立元素”的5个元素的子集为{0,1,2,3,4}，{1,2,3,4,5}，{0,1,2,4,5}，{0,1,3,4,5}，共4个，S中无“孤立元素”的6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5}，共1个. 例.(2017·杭州二模)已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为 (　　) A．16 B．17 C．18 D．20 一、创新命题视角——学通学活巧迁移 集合中的新定义问题 类型(一)　定义新运算 [例1]　定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝ (　　) A．X　　　　　　　　 B．Y C．X∩Y D．X∪Y 类型(二)　定义新概念 [例2]　已知集合A0＝{x|0<x<1}．给定一个函数y＝f(x)，定义集合An＝{y|y＝f(x)，x∈An－1}，若An∩An－1＝∅对任意的x∈N*成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________． (2)给出下列函数：①y＝eq \f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝coseq \f(π,2)x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________． $$