2.1 圆（第2课时 与圆有关的概念）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形——圆 第二课时 与圆有关的概念 2.1 圆 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等与圆有关的概念. 2.理解它们之间的区别和联系. （重点） 情景导入 旧知回顾 上节课我们认识了圆，请你谈谈确定一个圆有哪些要素？ 1. 确定一个圆需要两个要素，一是圆心：圆心定其位置；二是半径：半径定其大小. 2. 圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”，圆的面积是圆面的面积. 3. “圆上的点”指圆周上的点. 点与圆有着怎样的位置关系呢？ 点和圆的 位置关系 特点 等价关系 点P在圆外 点P到圆心的距离大于半径 点P在圆外d＞r 点P在圆上 点P到圆心的距离等于半径 点P在圆上d=r 点P在圆内 点P到圆心的距离小于半径 点P 在圆内d＜r 点和圆的位置关系 如果⊙ O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么 符号“ ”表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 本节课我们将继续深入探究与圆相关的概念 1.与圆有关的概念 新知探究 · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 注意： 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是 圆中最长的弦，但弦不一定是直径. O A B O A B 圆中最长的弦是什么？为什么？ O A B C C D C D O A B C O A B C D O A B C D 圆中最长的弦是什么？为什么？ C D 我们可以发现圆中最长的弦是圆的直径. · 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． C O A B 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ( 小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC. ( 概念归纳 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.　　　　　　　　　　　　　　 Ａ Ｏ· Ｂ Ｃ 你能找出右图⊙Ｏ中的圆心角： ∠AOC、 ∠BOC 那么∠ABC是不是圆心角？为什么？ ∠ABC不是圆心角，因为它的顶点不在圆心，同学们在做题时一定要观察这个角的顶点是不是在圆心上 B A （1）圆心相同,半径不等 （2）圆心不同,半径相等 （3）圆心相同,半径相等 同心圆 等圆（能够互相重合） 同圆 O 概念归纳 你知道同圆、等圆、同心圆之间有何区别与联系? 同圆是指同一个圆， 等圆、同心圆都是指两个圆； 同心圆圆心相同. 同圆、等圆半径相等 . O O P · C O A · C O1 A 在同圆或等圆中，我们把能够互相重合的弧叫做等弧. 只有在同圆或等圆中才可能有等弧，等弧长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧. 概念归纳 弦与直径的关系： 弧与半圆的关系： 弦与弧的关系： 归纳总结 直径是过圆心(最长)的弦，但弦不一定是直径. 半圆是弧，但弧不一定是半圆. ①弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条. ②每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条: 一条优弧、一条劣弧或两个半圆. 如右图，点A、B和点C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，且∠AOB=∠COD. ∠C与∠D相等吗？为什么？ 解：∠C与∠D 相等. ∵∠AOB = ∠COD，∠BOC = ∠AOD. 又∵OB = OA，OC = OD（同圆的半径相等）， ∴ΔBOC≌ ΔAOD. ∴∠C= ∠D. 课本例题 如右图，AB 是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点 D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E.若∠C=20°，求∠ BOE的度数. 思考与探索 解：连接OD， ∵CD=OA=OD，∠C =20°， ∴∠ODE=2∠C = 40°， ∵OD=OE， ∠E =EDO= 40°， ∴∠EOB=DC+DE= 40°+20°=60°. 【分析】我们连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解. 1.下列说法正确的是( ) A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦 D 随堂练 2.下列说法中，不正确的是( ) A.过圆心的弦是圆的直径 B.等弧的长度一定相等 C.周长相等的两个圆是等圆 D.长度相等的两条弧是等弧 D 随堂练 3.下列语句正确的有( ) ①直径是弦； ②弦是直径； ③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C √ × √ × √ 随堂练 D 4.求证：直径是圆中最长的弦. 证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦. 连接OC、OD， 则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD. 在△OCD中，OC+OD＞CD， ∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦. 随堂练 分层练习-基础 1.如图，是圆O弦的是(　　) A.线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE A 2. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是(　　) A.30° B．45° C．55° D．60° D 分层练习-基础 3. 下列说法正确的有(　　) ①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤小于半圆的弧是优弧；⑥半圆是弧. A.2个 B．3个 C．4个 D．5个 B 4.如图，在⊙O中，AB经过O点，C点在圆上，连接AC，BC.写出图中的优弧：____________. ︵ ︵ 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为 半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为________. 分层练习-基础 6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝________. 40° 7. 如图，C，D为⊙O的弦AB上的两点，且OC＝OD， 试判断线段AC与DB的数量关系，并给予证明. 分层练习-基础 解：AC＝DB.证明如下： ∵在⊙O中，OA＝OB，∴∠A＝∠B. 又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD. ∴AC＝DB. 分层练习-巩固 8. 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与点M，N重合，当点P在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA²＋PB²的值(　　) A.变大 B．变小 C.不变 D．不能确定 C 分层练习-巩固 9. 如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB， 已知∠DOB＝72°，则∠E等于(　　) A.36° B．30° C.18° D．24° D 10. 如图，在△ABC中，∠A＝48°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画圆，分别交AB，AC于点D， E，连接OD，OE，则∠DOE的度数是(　　) A.54° B．64° C.74° D．84° D 分层练习-巩固 11. 2 12. [2024连云港月考]在⊙O中，直径AB＝10，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度； 分层练习-巩固 (2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 13. 11 14.如图，⊙O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧BC上 一动点(不包括B,C两点)，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，连接CD，EF. (1)求EF的长． 分层练习-拓展 (2)若点E为OC的中点， ①求CD的长． 解：∵点E为OC的中点，DE⊥OC， ∴CD＝OD＝4. 分层练习-拓展 ②若点P为直径AB上一动点，试求PC＋PD的最小值. 解：如图，延长CO交⊙O于点Q， 连接DQ交AB于点P，连接CP. ∵OC＝OQ，CQ⊥AB，∴PC＝PQ. ∴PC＋PD＝PQ＋PD＝DQ， 此时PC＋PD的值最小． 分层练习-拓展 课堂反馈 等于 圆 圆心 半径 弦 直径 弧 劣弧 优弧 半圆 等圆 等弧 A 课堂反馈 课堂小结 与圆有关的概念 弦(直径) 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 等圆 同圆 等弧 能够互相重合的两段弧 同心圆 ， 5 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O的半径OM，OP以及弧MP上．若⊙O的半径为2， ∠POM＝45°，则AB的长为________. 解：连接OQ，如图①. ∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB. 在Rt△OBP中，∠ABC＝30°， ∴PB＝2OP.∴OB＝＝OP. ∵AB＝2OB＝10，∴OB＝5.∴OP＝. 在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝OB＝5， ∴PQ＝＝. 解：连接OQ，如图②. 易知当OP的长最小时，PQ的长最大， 此时OP⊥BC，则OP＝OB＝， ∴PQ长的最大值为＝. 如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线y＝x＋3分别与x轴，y轴交于A，B两点，⊙O的半径为2. 若P是⊙O上的一个动点， 则△ABP面积的最大值为________. 解：连接OD，如图． ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴∠EOF＝90°，∠DEO＝90°，∠DFO＝90°. ∴四边形OEDF为矩形． ∴EF＝OD＝AB＝4. 易得∠COD＝60°.∵OQ＝OD，∴∠Q＝∠ODQ. 又∵∠COD＝∠Q＋∠ODQ， ∴∠Q＝∠COD＝30°.∴DE＝QD. 在Rt△QED中，由勾股定理得QE＝＝QD. 又易知QE＝4＋×4＝6，∴QD＝6，解得QD＝4. ∴PC＋PD的最小值为4. 知识点一：圆的有关定义和概念 平面上到定点的距离 定长的所有点组成的图形叫做 ，定点就是 ，定长就是 ；连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 ，圆上任意两点间的部分叫做 (包括 和 )，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做 ，能够重合的两个圆叫做 ，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 ． 【例1】下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弦是经过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是(　　) A．①③ B．①③④ C．①④ D．②④ 【思路分析】①直径相等的两个圆半径也相等，是等圆；②等弧的定义的前提是在“同圆或等圆中”，不在同圆或等圆中的两条弧长度可能相等，但它们不能重合，只有在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧；③圆中最大的弦是直径，即经过圆心的弦；④直径可以把圆分成两条等弧——半圆，故①、③正确． 【方法归纳】正确理解半圆与弧、直径与弦之间的区别与联系，特别是等弧的定义的前提“在同圆或等圆中”是解题的关键． $$