2.7 二次根式（第2课时 二次根式的运算）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

八年级北师大版数学上册 第二章 实数 2.7 二次根式 第二课时 二次根式的运算 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算.（重点） 2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点） 什么叫二次根式？ 二次根式的基本性质是什么？ 式子 (a≥0)叫做二次根式. 二次根式的两个基本性质： 积的算术平方根，等于 ； 商的算术平方根，等于 . 被除数的算术平方根除以 除数的算术平方根. 各个因式算术平方根的积 情景导入 情景导入 如图,有一个边长为3m的正方形花坛, 要在其中一条对角线AC上单独种植某种花卉,相邻两花卉之间相距m. 问:需要这种花卉多少棵? 怎样进行实数的乘法、除法运算呢? A D C B 在正方形中，对角线的长度为： ？？？ 1.二次根式的乘除运算 新知探究 前面我们学习了二次根式的两个性质： 积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即 若我们分别把式子等号的左边的内容与右边的对换，等式是否依然成立？ （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 由此我们就得到了二次根式的乘法与除法法则 乘法：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；即： 除法：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即： 概念归纳 例1（课本例3) 计算： 课本例题 对于化简运算的结果中，如果被开方数相同的根式，应当将这些项合并。 例2（课本例4）： 计算 课本例题 课本例题 例3.计算下列式子： 典例剖析 解： (1)(2)两题直接利用公式 计算； (3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号． 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方。 解： 1.计算 分析：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算； (2)要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意 结果的符号； (3)进行计算时需先把带分数化成假分数． 练一练 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简． 概念归纳 2.计算: 解: 第(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 . 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 练一练 3.计算: 解: 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 . 练一练 二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即 概念归纳 （2）x2+2x2+4y= ; 1.（1）3x2+2x2= ; 2.类比合并同类项的方法，想想如何计算： 解： 3. 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式， 被开方数不相同，所以不能合并. 5x2 3x2+4y 2.二次根式的加减运算 新知探究 概念归纳 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 注：1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并. 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 解决这类问题的基本思想就是把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 概念归纳 解：(1)原式= 例4（课本例5）：计算: (2)原式= (3)原式= 课本例题 4.若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法： 利用被开方数相同，指数都为2,列关于待定字母的方程求解即可. 练一练 解：当腰长为 时， ∵ ∴此时能构成三角形，周长为  当腰长为 时， ∵ ∴此时能构成三角形，周长为 5.有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长. 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小. 练一练 思考探究 问题一：两个无理数的和、差、积、商一定是无理数吗?       两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数. 例如:(-)+=0,×3=6, 这里-,,,3都是无理数, 但它们运算的结果0和6都是有理数, 所以这种说法是不正确的. 问题二：化简:. 解:=×=(-3)×(-5)=15. 上面的解答正确吗?若不正确,请说明理由,并写出正确的解题过程. 不正确.上述解法中忽略了二次根式=·这一性质的应用条件,即𝑎≥0,b≥0.因为负数没有平方根,所以虽然最后结果正确,但解法是错误的. 正解:==×=3×5=15. 课本练习 1. 计算： 课本练习 2. 下列计算是否正确？ × × × 课本练习 解：（1）原式= 1. （2）原式= 3. （3）原式= 7+2 . 1.计算： 习题2.10 解：（4）原式=－1. （5）原式= （6）原式= . 解：（7）原式= . （8）原式= . 解：是有理数，因为两个有理数无论相加，相减，相乘还是相除，结果都是整数或者分数. 2.（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是有理数吗？说明理由． 解： 不一定，例如：（2+ ）与（2－ ）的积，（2+ ）与（3+ ）的差，2 与 的商都不是无理数. 2.（2）两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？举例说明． 解：解法一：S△ABC=3×4-2× ×3×1- ×2×4=12-3-4=5. 3.如图，小正方形边长为1，求△ABC的面积． 解：解法二：利用勾股定理可得AB=BC= ， AC= ,易得△ABC为直角三角形.则S△ABC= AB·BC= × × =5. 3.如图，小正方形边长为1，求△ABC的面积． 解： ，或 4.已知 ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449，计算 ，并与同伴交流你的方法． D B 分层练习-基础 C 2 5 A C 分层练习-巩固 D 5 2 12 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 二次根式的运算 乘法法则 加减法则 乘法公式 除法法则 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 课堂小结 1．下列各式计算正确的是(　　) A．eq \r(2)＋eq \r(3)＝eq \r(5)　　　 B．2＋eq \r(3)＝2eq \r(3) C．3eq \r(2)－2eq \r(2)＝1 D．5eq \r(3)－4eq \r(3)＝eq \r(3) 2．下列运算结果是无理数的是(　　) A．3eq \r(2)×eq \r(2) B．eq \r(2)×eq \r(3) C．eq \r(72)÷eq \r(2) D．eq \r(132－52) 3．计算eq \r(24)÷2eq \r(\f(6,5))×eq \r(\f(1,5))的结果是(　　) A．eq \f(1,5)　　 B．eq \f(4,5)　　 C．1　　 D．eq \f(24,5) 4．计算： (1)eq \r(28)×eq \r(\f(1,7))＝ ； (2)eq \f(\r(5)×\r(15),\r(3))＝ ； (3)3eq \r(48)－4eq \r(27)÷2eq \r(3)＝　 　. 12eq \r(3)－6 (3)(eq \r(10)＋3)2(eq \r(10)－3)． 解：原式＝eq \r(10)＋3. 5．计算： (1)(eq \r(5)－eq \r(\f(1,5)))2； 解：原式＝3eq \f(1,5)； (2)(3eq \r(2)＋eq \r(3))2； 解：原式＝21＋6eq \r(6)； (3)eq \r(\f(1,7))＋eq \r(63)－eq \r(112)； 解：原式＝－eq \f(6,7) eq \r(7)； (4)(eq \r(\f(8,3))－eq \r(6))×eq \r(12). 解：原式＝－2eq \r(2). 6．计算： (1)eq \r(50)－eq \r(18)； 解：原式＝2eq \r(2)； (2)eq \r(20)＋eq \r(27)－eq \r(\f(1,5))； 解：原式＝eq \f(9,5) eq \r(5)＋3eq \r(3)； 7．(聊城中考)计算(5eq \r(\f(1,5))－2eq \r(45))÷(－eq \r(5))的结果为(　　) A．5 B．－5 C．7 D．－7 8．等腰三角形的两条边长为2eq \r(3)和5eq \r(2)，则这个三角形的周长为(　　) A．4eq \r(3)＋5eq \r(2) B．2eq \r(3)＋5eq \r(2) C．2eq \r(3)＋10eq \r(2) D．4eq \r(3)＋5eq \r(2)或2eq \r(3)＋10eq \r(2) 9．下列说法正确的个数是(　　) ①(2eq \r(10)－eq \r(5))÷eq \r(5)＝2eq \r(2)－1；②eq \r(5)＋2与eq \r(5)－2互为倒数；③2eq \r(2)－3与2eq \r(2)＋3互为负倒数；④若eq \r(a)＋eq \r(b)与eq \r(a)－eq \r(b)互为倒数，那么一定有a＝b＋1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．计算：(eq \r(2)＋eq \r(3))2－eq \r(24)＝ . 11．若最简二次根式eq \r(2x＋1)和eq \r(4x－3)能合并，则x的值为 . 12．若一个长方体的长为2eq \r(6) cm、宽为eq \r(3) cm、高为eq \r(2) cm，则它的体积为 cm3. (3)eq \r(108)÷eq \r(2)－eq \r(\f(1,2))×eq \r(12)＋eq \r(24). 解：原式＝4eq \r(6). 13．计算： (1)eq \r(27)－eq \r(\f(4,3))＋eq \r(12)； 解：原式＝eq \f(13,3) eq \r(3)； (2)(eq \r(\f(5,3))－eq \r(15))×eq \r(3)； 解：原式＝－2eq \r(5)； 14．计算： (1)eq \f(\r(75)－\r(27),\r(3))(用两种方法计算)； (2)(3＋eq \r(5))(3－eq \r(5))－(eq \r(3)－1)2； (3)(2eq \r(2)－3)2019(2eq \r(2)＋3)2020. 解：(1)原式＝2； (2)原式＝2eq \r(3)； (3)原式＝－2eq \r(2)－3. 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(8)，BC＝eq \r(2)，求斜边AB上的高CD的长． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(8－2)＝eq \r(6).∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(\r(6)×\r(2),\r(8))＝eq \f(\r(6),2). 16．观察下列各式子，并回答下面的问题． 第1个：eq \r(12－1)；第2个：eq \r(22－2)； 第3个：eq \r(32－3)；第4个：eq \r(32－3)； … (1)试写出第n个式子(用含n的表达式表示)，这个式子一定是二次根式吗？为什么？ (2)你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间，试说明理由． 解：(1)eq \r(n2－n)，该式一定是二次根式，理由如下：∵n≥1，∴n2－n＝n(n－1)≥0； (2)第16个式子的值应在15和16之间，理由如下： ∵eq \r(162－16)＝eq \r(16×16－1)＝eq \r(16×15)， ∴eq \r(15×15)＜eq \r(162－16)＜eq \r(16×16)， ∴15＜eq \r(162－16)＜16. ∴eq \r(162－16)在15和16之间． 会用二次根式的乘除法则进行运算． 【例1】计算： (1)eq \r(18)×eq \r(\f(2,3))；　(2)eq \f(\r(2),\r(5))； (3)eq \f(\r(32)×\r(10),\r(5)). 【思路分析】按照二次根式的乘除法法则进行运算即可，注意被开方数的变化． 【规范解答】(1)eq \r(18)×eq \r(\f(2,3))＝eq \r(18×\f(2,3))＝eq \r(12)＝eq \r(4×3)＝2eq \r(3)； (2)eq \f(\r(2),\r(5))＝eq \f(\r(2)×\r(5),\r(5)×\r(5))＝eq \f(\r(2×5),5)＝eq \f(\r(10),5)； (3)eq \f(\r(32)×\r(10),\r(5))＝eq \r(32×10÷5)＝eq \r(64)＝8. 会对二次根式进行加减运算． 【例2】计算： (1)2eq \r(12)－4eq \r(\f(1,27))＋3eq \r(48)； (2)eq \r(\f(2,9))＋eq \r(50)－eq \r(72). 【思路分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并． 【规范解答】(1)原式＝2eq \r(4×3)－4eq \r(\f(1×3,27×3))＋3eq \r(16×3)＝4eq \r(3)－eq \f(4,9) eq \r(3)＋12eq \r(3)＝(4－eq \f(4,9)＋12)eq \r(3)＝eq \f(140,9) eq \r(3)； (2)原式＝eq \f(\r(2),\r(9))＋eq \r(25×2)－eq \r(36×2)＝eq \f(1,3) eq \r(2)＋5eq \r(2)－6eq \r(2)＝－eq \f(2,3) eq \r(2). $$