5.3.2 函数的极值与最大(小)值（第2课时）课件-2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章　一元函数的导数及其应用 5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 人教A版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.了解函数的最大值、最小值的含义. 2.理解导数与函数最大(小)值的关系. 3.会利用导数求函数的最大(小)值. 4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用. 5.掌握利用导数解决最优化问题的方法 基础落实·必备知识全过关 知识点1　函数在闭区间上的最大(小)值 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.  不一定在区间端点处取得,且 最大值和最小值都是唯一的 连续不断 名师点睛 1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值. 2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)= 在区间[-1,1]上只有最大值,没有最小值. 3.函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值). 4.极值只能在函数区间的内部取得,而最大(小)值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有极值,极值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端点处则一定是极值. 过关自诊 1.极值与最值有何区别和联系? 提示 (1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较. (2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较. (3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 2.下列结论正确的是(　　) A.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是区间[a,b]上的最大值 B.若f(x)在区间[a,b]上有极小值,则极小值一定是区间[a,b]上的最小值 C.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得 D.若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值 D 解析 函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值. 知识点2　函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法 一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: 1.求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　　　;  2.将函数y=f(x)的各极值与　　　　　　　的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是　　　　　　　,最小的一个是　　　　　　　.  极值 端点处 最大值 最小值 名师点睛 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值. 过关自诊 [北师大版教材例题]求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最值. 解 f'(x)=3x2-4x. 解方程f'(x)=0, 比较这4个数的大小,可知:函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11. 知识点3　生活中的优化问题 在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题. 名师点睛 用导数解决实际生活问题的基本思路 过关自诊 1.在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗? 提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数. 2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为(　　) B 重难探究·能力素养全提升 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求函数的最大(小)值 角度1.求函数在闭区间上的最大(小)值 【例1】 求下列函数在相应区间上的最大值与最小值: (1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1]; 分析 求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值. x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 f'(x)   + 0 -   f(x) -14 单调递增 极大值-10 单调递减 -12 所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10. 解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 规律方法　求解函数在闭区间上的最值,需注意以下三点: 1 对函数进行求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性,确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值的大小,确定最值 变式训练1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值: 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x -6 (-6,-3) -3 (-3,-1) -1 f'(x)   - 0 +   f(x) 45 单调递减 极小值 单调递增 55 所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故f(x)的最小值为f(-3)=27,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=55. 角度2.求函数在开区间或无穷区间上的最大(小)值 【例2】 求下列函数的最大值与最小值: 分析 没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值. 极小值,在x=3处取得极大值, 又当x=1时,f(x)=0; 当x<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0. 据此可以画出函数的大致图象,如图所示. (2)函数f(x)的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1. 所以函数f(x)在区间(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在区间(-3,1)内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值f(-3)=6e-3;在x=1处取得极小值,极小值f(1)=-2e. 从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数f(x)无最大值. 规律方法　求函数在开区间或无穷区间上最大(小)值的方法 求函数在无穷区间或开区间上的最大(小)值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最大(小)值. A 探究点二　含参数的最大(小)值问题 角度1.求含参数的函数的最大(小)值 解 (1)f(x)的定义域是(0,+∞). ①当a>0时,令f'(x)>0,解得0<x<a,令f'(x)<0,解得x>a,故f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减. ②当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 综上,当a>0时,f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减;当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 规律方法　求解函数在区间上的最大(小)值,需注意以下几点: (1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内. (2)根据极值点与所给区间的相对位置关系(即极值点是否在区间内)确定分类讨论的标准后确定函数的极值. (3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值. 变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 角度2.与函数最大(小)值和参数有关的综合问题 【例4】 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围. 分析(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在区间(0,2)内的最大值小于零即可求得m的取值范围. 解 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), ∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1. (2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,0<t<2, 由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去). 当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表: t (0,1) 1 (1,2) g'(t) + 0 - g(t) 单调递增 极大值1-m 单调递减 ∴g(t)在区间(0,2)内有极大值也是最大值g(1)=1-m. h(t)<-2t+m在区间(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在区间(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0,即m>1. ∴m的取值范围为(1,+∞). 变式探究若将本例(2)的条件改为“存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解? 解 令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去). 当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表: t (0,1) 1 (1,2) 2 g'(t) + 0 -   g(t) 单调递增 极大值1-m 单调递减 -3-m 易知g(t)在(0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0. ∴-3-m<0,∴m>-3,故实数m的取值范围为(-3,+∞). 规律方法　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 探究点三　生活中的优化问题 【例5】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 分析 (1)根据x=5时,y=11求a的值;(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值. f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6), 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 规律方法　利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x); (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,其中最大(小)者为f(x)在区间上的最大(小)值. 求解时应注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用. 变式训练4[北师大版教材例题]如图①,一边长为48 cm的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图②.所得容器的容积V(单位:cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位:cm)的函数. 图① 图② (1)随着x的变化,容积V是如何变化的? (2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解 (1)根据题意,可得V=V(x)=(48-2x)2x. 由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0<x<24}. 所以V'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8). 解方程V'(x)=0, 得x1=8,x2=24. 根据x1,x2列出下表,分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点. x (0,8) 8 (8,24) V'(x) + 0 - V=V(x) 单调递增 极大值 单调递减 根据表可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点,相应的极大值为V=V(8)=(48-16)2×8=8 192(cm3). V=(48-2x)2x的大致图象如图. 根据对函数变化规律的讨论可知:当0<x≤8时,函数V=V(x)单调递增;当8≤x<24时,函数V=V(x)单调递减. (2)区间(0,24)上任意点的函数值都不超过V(8),因此,x=8是函数的最大值点. 此时V=V(8)=8 192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)上的最大值. 即当截去的小正方形的边长为8 cm时,得到的容器容积最大,最大容积为8 192 cm3. 探究点四　构造函数证明函数不等式 当-1<x<0时,f'(x)>0,即f(x)在(-1,0)上单调递增; 当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减. 于是函数f(x)在(-1,+∞)上的最大值为f(x)max=f(0)=0,因此,当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x(右边不等式得证). 当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0. 即g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 故函数g(x)在(-1,+∞)上的最小值为g(x)min=g(0)=0, 规律方法　在函数不等式的证明中,若不等式的两边含有自变量时,可移项后构造函数,证明所构造的函数的最大(小)值与0的大小关系,常见的方法是:欲证明f(x)>g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),只需要证明函数F(x)的最小值大于0.形如g(x)<f(x)<h(x)型的不等式的证明,应分别证明g(x)<f(x),f(x)<h(x). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)函数最值的定义. (2)求函数最值. (3)函数最值在实际中的应用. (4)构造函数证明函数不等式. 2.方法归纳:转化化归、分类讨论. 3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系. 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 17 1.[探究点一(角度1)]函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(　　) A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 C 解析 f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17, f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点三]某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示: A.6 h B.7 h C.8 h D.9 h C 6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当 t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点四]当0<x<1时,f(x)= ,则下列大小关系正确的是(　　) A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x) C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点一(角度2)]函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　　.  解析 函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点二(角度2)·2023山东东营期末]若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　　.  (-1,2] 解析 由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)上单调递减, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点三]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为 y=x3-24x2+225x+10,z=180x. (1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式; (2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少? 解 (1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y, 所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10), 即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得 w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15). 解方程w'(x)=0, 得x1=1,x2=15. 比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1 340可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1 340. 即该企业的产量为15 t时,可获得最大利润,最大利润为1 340万元. B级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(　　) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元 D 解析 设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)·(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23 000.因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.函数f(x)=6 -x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为(　　) A.-46 B.-35 C.6 D.5 B (0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46,所以最大值与最小值之和为-35.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(　　) A.-13 B.-15 C.10 D.15 A 解析 对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.（多选题）若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是(　　) A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.(-3,0) D.[-3,0] AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是　　　　　.  (-4,-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xln x≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是　 .  [4,+∞) h'(x)>0,h(x)单调递增. ∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=- 相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在[ ,e]上的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)当a=3时,函数f(x)=- x3+x2+3x+2,x∈R,f'(x)=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3), 当x<-1或x>3时,f'(x)<0,当-1<x<3时,f'(x)>0, 即函数f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递减,在(-1,3)上单调递增, 因此当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)= ,当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=11,所以f(x)的极小值为 ,极大值为11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2023重庆沙坪坝期末]定义:设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),若f'(x)在(a,b)上也存在导函数,则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数,简记为y=f″(x).若在区间(a,b)上f″(x)>0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”.已知f(x)= -m(x-ln x)在区间(0,+∞)上为“凹函数”,则实数m的取值范围为　　　　　.  (-∞,e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0<x<1,令g'(x)>0,得x>1,∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=e,∴实数m的取值范围为(-∞,e). 得x1=0,x2=. 计算函数f(x)在导数零点x1=0和x2=、区间端点x3=-2和x4=2处的值:f(0)=5,f()=,f(-2)=-11,f(2)=5. A.cm B.cm C.cm D.cm 解析 设圆锥的高为h cm,0<h<20, ∴V=π(202-h2)×h=π(400-h2)h,∴V'=π(400-3h2), 令V'=0,得h=,当h∈(0,)时,V'>0,当h∈(,20)时,V'<0,故当h=时,体积最大. (2)f(x)=+ln x,x∈[,2]. (2)f'(x)=. 由f'(x)=0,得x=1. 所以在区间[,2]上,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (,1) 1 (1,2) 2 f'(x) - 0 + f(x) 1-ln 2 单调递减 极小值0 单调递增 ln 2- 因为f()-f(2)=-2ln 2=(3-4ln 2)=(ln e3-ln 16),而e3>16, 所以f()>f(2)>0. 所以f(x)在区间[,2]上的最大值为f()=1-ln 2,最小值为0. (1)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π]; 解 f'(x)=+cos x, 令f'(x)=0,又x∈[0,2π],解得x=或x=, 计算得f(0)=0,f(2π)=π,f()=, F()=. 所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π. (2)f(x)=x2-(-6≤x≤-1). 解 f'(x)=2x+.令f'(x)=0得x=-3. (1)f(x)=;(2)f(x)=(x2-3)ex. 解 (1)f'(x)=,令f'(x)=0,得x=-1或x=3,容易验证函数在x=-1处取得 由图象可知,函数的最大值等于f(3)=,最小值为f(-1)==-. 又由f(x)>0,得x>或x<-;由f(x)<0得,-<x<.所以函数的大致图象如图所示. 变式训练2函数y=的最大值为(　　) A.e-1 B.e C.e2 D. 解析 令y'==0,可得x=e.当x>e时,y'<0;当x<e时,y'>0.所以y极大值=,因为函数y=在定义域内只有一个极大值,所以ymax=. 【例3】 已知函数f(x)=-ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)求f(x)在区间[,e]上的最大值g(a). ∵f(x)=-ln x,∴f'(x)=,x>0. (2)由(1)知当a≤时,f(x)在区间[,e]上单调递减,g(a)=f(x)max=f()=2-ae,当<a<e时,f(x)在区间[,a)上单调递增,在区间(a,e]上单调递减,g(a)=f(x)max=f(a)=-ln a,当a≥e时,f(x)在区间[,e]上单调递增, g(a)=f(x)max=f(e)=-. 综上,当a≤时,g(a)=2-ae;当<a<e时,g(a)=-ln a;当a≥e时,g(a)=-. 解 f'(x)=3x2-2ax. 令f'(x)=0, 解得x1=0,x2=. ①当≤0,即a≤0时,f'(x)在区间[0,2]上满足f'(x)≥0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a. ②当≥2,即a≥3时,f'(x)在区间[0,2]上满足f'(x)≤0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0. ③当0<<2,即0<a<3时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,从而f(x)max= 综上所述,f(x)max= 解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2. (2)由(1)知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,3<x<6,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)·[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6),从而 【例6】 求证:当x>-1时,恒有1-≤ln(x+1)≤x. 证明 设f(x)=ln(x+1)-x,x>-1,则f'(x)=-1=-. 现证左边不等式,令g(x)=ln(x+1)+-1,x>-1,则g'(x)=. 所以当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,即ln(x+1)+-1≥0, 所以ln(x+1)≥1-. 综上可知,当x>-1时,恒有1-≤ln(x+1)≤x. 变式训练5已知函数f(x)=x2+ln x.求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方. 证明 设F(x)=g(x)-f(x),即F(x)=x3-x2-ln x,x>0,则F'(x)=2x2-x-,x>0,当x>1时,F'(x)=>0,从而F(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴F(x)>F(1)=>0,∴当x>1时,g(x)-f(x)>0,即f(x)<g(x),故在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方. y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　) 解析 由题意,得y'=-t2-t+36=-(t+12)(t-8).令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.当 3.[探究点一(角度1)]函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间上的值域为(　　) A. B. C.[1,] D.(1,) 解析 f'(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=excos x,当0≤x≤时,f'(x)≥0,且只有在x=时,f'(x)=0,所以f(x)是[0,]上的增函数.即f(x)的最大值为f()=,f(x)的最小值为f(0)=.故f(x)在[0,]上的值域为[].故选A. 解析 根据0<x<1得到0<x2<x<1,而f'(x)=,所以根据对数函数的单调性可知,当0<x<1时,1-ln x>0,从而可得f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x2)<f(x)<0,而f2(x)=()2>0,所以有f(x2)<f(x)<f2(x). - f(-2)=(-2+1)e-2=-. 所以解得-1<a≤2,即实数a的取值范围是(-1,2]. 解析 由f(x)=6-x3+6得f'(x)=-3x2=,由f'(x)=0可得x=1.当x∈ 解析 f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=.由题意得∈(-2,-1),故m∈(-4,-2). 解析 2xln x≤-x2+ax-3成立,则a≥2ln x+x+成立.设h(x)=2ln x++x(x>0),则h'(x)=.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时, 解 (1)f'(x)=-2bx(x>0). 由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切,得 即解得 (2)由(1),得f(x)=ln x-x2,定义域为(0,+∞). f'(x)=-x=. 令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在[,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减, 所以f(x)在[,e]上的最大值为f(1)=-. 15.[2023江苏淮安期末]已知函数f(x)=-x3+x2+ax+2,a∈R. (1)当a=3时,求函数f(x)的极值; (2)当0<a<时,若函数f(x)在[0,4]上的最小值为,求实数a的值. (2)函数f(x)=-x3+x2+ax+2,其中0<a<,求导得f'(x)=-x2+2x+a,因为0≤x≤4,由f'(x)=0得x=1+,显然1+<4,当0<x<1+时,f'(x)>0,当1+<x<4时,f'(x)<0,因此函数f(x)在[0,1+)上单调递增,在(1+,4]上单调递减,而f(0)=2,f(4)=4a-<2,则函数f(x)在[0,4]上的最小值f(4)=4a-,解得a=1,所以实数a的值为1. 16.已知函数f(x)=,a∈R.若f(x)≤xex+-1恒成立,求实数a的取值范围. 解 f(x)≤xex+-1,x>0恒成立, 故原式可化为a≤x2ex-2ln x-x+1,x>0恒成立, 令g(x)=x2ex-2ln x-x+1, 则g'(x)=(x+2)(xex-),x>0,令h(x)=xex-(x>0),h'(x)=ex(x+1)+>0,故h(x)在(0,+∞)上是增函数,且h(1)=e-1>0,h()=-2<0, 故存在x0>0,使得h(x0)=0,即x0, ① 且x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,故x0是g(x)的极小值点,也是最小值点,g(x)min=g(x0)=-2ln x0-x0+1, ② 由①式得,即x0=-2ln x0,代入②式中得g(x0)=2,故a≤2即为所求,所以a的取值范围是(-∞,2]. 解析∵f(x)=-m(x-ln x),∴f'(x)=-m+=ex()-m+, ∴f″(x)=ex()+ex(-)-=ex()-. ∵f(x)=-m(x-ln x)在区间(0,+∞)上为“凹函数”, ∴f″(x)=ex()-在(0,+∞)上大于0恒成立, ∴m<ex(+x-2)(x>0). 令g(x)=ex(+x-2)(x>0), 则g'(x)=ex(+x-2)+ex(-+1)=ex(-+x-1)=,令g'(x)<0,得 $$