5.2.3 简单复合函数的导数-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第5章　导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.3　简单复合函数的导数 [学习目标]　1.能求简单的复合函数的导数.2.会使用复合函数的求导法则. [素养目标]　水平一:正确理解复合函数求导公式的推导过程.(数学抽象) 水平二:复合函数求导法则的灵活应用.(数学运算) 学习引语　 　　海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)是油膜半径r(单位:m)的函数:S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s)的增加而扩大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1.如何求油膜的面积S关于时间t的导数呢? 探究活动1　复合函数概念的理解 内容索引 探究活动2　求复合函数的导数 课时作业 巩固提升 探究活动3　复合函数的导数的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　复合函数概念的理解 问题　函数y=ln(2x-1)是如何构成的? 提示　y=ln(2x-1),其中的2x-1“占据”了对数函数y=ln x中x的位置,f(x)= ln x,而f(2x-1)=ln(2x-1),这里有代入、代换的思想,则函数y=ln(2x-1)是由内层函数和外层函数复合而成,是复合函数. 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作_______. 知识生成 y=f(g(x)) 例1 　(多选)下列函数是复合函数的有(　　) A.y=x2+-1　　　　 B.y=sin(2x+1) C.y=xln x D.y=(2x-3)4 知识应用 BD y=x2+-1为基本初等函数相加而成,A不符合;y=sin(2x+1)可看成由y=sin t与t=2x+1这两个函数复合而成,B符合;y=xln x为两个基本初等函数相乘而成,C不符合;y=(2x-3)4可看成由y=t4与t=2x-3这两个函数复合而成,D符合. 　　若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数,而f(x),g(x)不是复合函数. 反思感悟 1.(多选)下列哪些函数是复合函数(　 　) A.y=log2(2x+1) B.y=2x2- C.y=2ln x D.y=cos 跟踪训练 ACD 探究活动2　求复合函数的导数 问题　如何求函数y=sin 2x的导数? 提示　y=2sin xcos x,由两个函数相乘的求导法则可知:y'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x;从整体上来看,外层函数是基本初等函数y=sin u,它的导数y'=cos u,内层函数是幂函数的线性组合u=2x,它的导数是u'=2,发现y'x=y'u·u'x. 复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=______,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 知识生成 y'u·u'x 　求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4; 例2 知识应用 [解]　(1)原函数可看作y=u4, u=2x-1的复合函数, 则y'x=y'u·u'x=(u4)'·(2x-1)'=4u3·2=8(2x-1)3. (2)y=; [解]　(2)y==(1-2x,u=1-2x的复合函数, 则y'x=y'u·u'x=·(-2)=(1-2x . (3)y=sin; [解]　(3)原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数, 则y'x=y'u·u'x=cos u·(-2)=-2cos =-2cos. (4)y=102x+3. [解]　(4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数, 则y'x=y'u·u'x=102x+3×ln 10×2=(ln 100)102x+3. 求复合函数的导数的注意点 1.内、外层函数通常为基本初等函数. 2.求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点. 反思感悟 2.求下列函数的导数: (1)y=ln(2x2+3x+4); 跟踪训练 解:(1)原函数可看作y=ln u, u=2x2+3x+4的复合函数, 则y'x=y'u·u'x=·(2x2+3x+4)'=. (2)y=sin4x+cos4x. 解: (2)法一:y'=(sin4x)'+(cos4x)' =4sin xcos x(sin2x-cos2x)=2sin 2x(-cos 2x) =-2sin 2xcos 2x=-sin 4x. 法二:y=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x =1-(1-cos 4x)=. y'=-sin 4x. 探究活动3　复合函数的导数的应用 　(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　) A. C.3 D.0 例3 知识应用 A (1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行. ∵y'=,∴y'=2, 解得x0=1, ∴y0=ln(2-1)=0, 即切点坐标为(1,0). ∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=, 即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是. (2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.  2 (2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2. 　　正确的求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键. 反思感悟 3.函数f(x)=xe2x-1的图象在点P处的切线方程为(　　) A.6x-4y-1=0 B.6x-4y-5=0 C.4x-2y-1=0 D.4x-2y-3=0 跟踪训练 C 由f(x)=xe2x-1,得f'(x)=e2x-1+2xe2x-1=(2x+1)e2x-1,所以f'=2,又f,故切线方程为y=2,即4x-2y-1=0. 4.设点P在直线y=x上,点Q在曲线y=ln 2x上,则|PQ|的最小值为(　　) A.(1-ln 2) C.(1+ln 2) B 由y=ln 2x,得y'=,令=1,解得x=1,所以Q(1,ln 2),故|PQ|的最小值即为Q到直线y=x的距离,即d=(1-ln 2). 1.牢记1个知识点 复合函数的导数. 2.求复合函数的导数的5个环节 (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成自变量的函数. 课堂小结 3.注意1个易错点 对复合函数求导不完全. 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(　　) A.y=un,u=x2-1　　　　　 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1 A 2.y=cos3x的导数是(　　) A.y'=-3cos2xsin x B.y'=-3cos2x C.y'=-3sin2x D.y'=-3cos xsin2x A 令t=cos x,则y=t3,y'=y't·t'x=3t2·(-sin x)=-3cos2xsin x. 3.曲线y=ln(x+2)在点P(-1,0)处的切线方程是(　　) A.y=x+1 B.y=-x+1 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 A ∵y=ln(x+2),∴y'=, ∴切线斜率k=y'|x=-1=1, ∴切线方程为y-0=1×(x+1),即y=x+1. 4.已知f(x)=ln(3x-1),则f'(1)=　　　　.  f'(x)=×(3x-1)'=, 所以f'(1)=. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.设f(x)=log3(x-1),则f'(2)等于(　　) A.ln 3　　　　　　　　　　B.-ln 3 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C f'(x)=,故f'(2)=. 2.函数y=x2cos 2x的导数为(　　) A.y'=2xcos 2x-x2sin 2x B.y'=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y'=x2cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2x2sin 2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B y'=(x2)'cos 2x+x2(cos 2x)'=2xcos 2x+x2(-sin 2x)·(2x)'=2xcos 2x-2x2sin 2x. 3.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 令f(x)=y=ax-ln(x+1),则f'(x)=a-.所以f(0)=0,且f'(0)=2,解得a=3. 4.若函数f(x)=sin 2x+sin x,则f'(x)是(　　) A.仅有最小值的奇函数 B.仅有最大值的偶函数 C.既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C ∵函数f(x)=sin 2x+sin x,∴f'(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=2,当cos x=-时,f'(x)取得最小值-;当cos x=1时,f'(x)取得最大值2,且f'(-x)=f'(x),即f'(x)是既有最大值,又有最小值的偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则M(60)=(　　) A.5太贝克 B.75ln 2太贝克 C.150ln 2太贝克 D.150太贝克 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D M'(t)=-,由M'(30)=-=-10ln 2,解得M0=600,所以M(t)=600×,所以t=60时,铯137的含量为M(60)=600×=150(太贝克). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列复合函数的导数计算正确的是(　　) A.若y=sin 3x,则y'=cos 3x B.若y=sin(-x),则y'=-cos x C.若y=,则y'= D.若y=(3x+2)2,则y'=6(3x+2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BD 令a=3x,则y'=y'a·a'x=cos a·3=3cos 3x,故A错误;令b=-x,则y'=y'b·b'x=-cos(-x)=-cos x,故B正确;令c=2x,则y'=y'c·c'x=·2=,故C错误;令d=3x+2,则y'=y'd·d'x=2d·3=6(3x+2),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.函数y=(mx+1)n的导数为y'=6(2x+1)2,则m=　　　　,n=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2　 3 函数y=(mx+1)n的导数为y'=mn(mx+1)n-1,又y'=6(2x+1)2,所以解得m=2,n=3. 8.曲线y=ln+1在点(x0,1)处的切线方程为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x-2y+2=0 由题意得ln+1=1,求得x0=0,所以切点坐标为(0,1).又y'=·,所以y'|x=0=,故曲线y=ln+1在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,即x-2y+2=0. 9.求下列函数的导数: (1)y=cos(1+x2); 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设u=1+x2,y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=(cos u)'·(1+x2)'=-sin u·2x=-2xsin(1+x2). (2)y=sin2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)设y=u2,u=sin v,v=2x+, 则y'x=y'u·u'v·v'x=2u·cos v·2=4sin v·cos v=2sin 2v=2sin. (3)y=ln(2x2+x); 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (3)设u=2x2+x,y=ln u,则y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(2x2+x)'=·(4x+1)=. (4)y=x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (4)y'=x'·+x·()', 先求t=的导数.设u=2x-1,则t=, t'x=t'u·u'x=··(2x-1)'=. 所以y'=. 10.曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:由y=esin x,得y'=(esin x)'=esin xcos x, 当x=0时,y'=1,则切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0, 若直线l与切线平行,可设直线l的方程为x-y+c=0, 两平行线间的距离d=,解得c=3或c=-1. 故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0. [B组] 11.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　) A. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 依题意得 y'=e-2x·(-2)=-2e-2x, k=-2e-2×0=-2. 所以曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x, 即y=-2x+2.在平面直角坐标系中作出直线 y=-2x+2,y=0与y=x的图象,如图所示. 因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是, 直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),所以结合图象可得, 这三条直线所围成的三角形的面积为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知直线x+y+a=0与曲线y=eex,y=分别交于点A,B,则|AB|的最小值为(　　) A. C.1 D.e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设与直线x+y+a=0垂直,且与曲线y=eex相切的直线为l1,与直线x+y+a=0垂直,且与曲线y=相切的直线为l2,则=1,设直线l1与曲线y=eex的切点为M(x1,y1),因为y'=eex+1,所以=1,解得x1=-,y1=,即M,设直线l2与曲线y=的切点为N(x2,y2),因为y'=,所以=1,解得x2=,y2=-,即N,此时kMN=-1,所以当直线x+y+a=0与直线MN重合时,|AB|最小,最小值为|MN|=. 13 14 13.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 ∵f(x)=cos(x+φ), ∴f'(x)=-sin(x+φ)·(x+φ)'=-sin(x+φ), ∴f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ) =2cos,∵f(x)+f'(x)为奇函数, ∴φ++kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z), ∵0<φ<π,∴φ=. 14.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵f(x)=eπxsin πx, ∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx =πeπx(sin πx+cos πx). ∴f'. (2)在曲线y=上求一点,使在该点的切线平行于x轴,并求切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)设切点坐标为P(x0,y0), 由题意可知k=0. 又y'=, ∴k==0. 解得x0=0,此时y0=1. 即切点坐标为P(0,1),切线方程为y-1=0. $$