第4章 数列 章末综合提升-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 章末综合提升 知识网络 考点一　等差、等比数列的基本运算 数列的基本运算以小题居多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利用数列的通项公式及求和公式,求数列中的项、公差、公比及前n项和等,一般试题难度较小. 例1 在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; [解]　(1)设数列{an}的公比为q,由已知得16=2q3, 解得q=2,所以an=2×2n-1=2n,n∈N*. (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [解]　(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32. 设数列{bn}的公差为d, 则 解得 所以bn=-16+12(n-1)=12n-28,n∈N*. 所以数列{bn}的前n项和 Sn==6n2-22n,n∈N*. 　　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量:a1,an,n,d或q,Sn,其中a1和d或q为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d或q,an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用. 规律方法 1.已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列,求a1; 跟踪训练 解:(1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1×(a1+2), 即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)在(1)的条件下,若a1>0,求Sn. 解:(2)因为a1>0,所以a1=2, 所以Sn=2n+,n∈N*. 考点二　等差、等比数列的判定与证明 判断等差或等比数列是数列中的重点内容,经常在解答题中出现,对给定条件进行变形是解题的关键所在,经常利用此类方法构造等差或等比数列. 　已知数列{an}中,a1=2,a2=3,an=2an-1-an-2+3(n≥3). (1)求a3的值; [分析]　(1)根据题意,令n=3,即可求得a3的值; 例2 (1)[解]　数列{an}中,a1=2,a2=3,且an=2an-1-an-2+3, 令n=3,可得a3=2a2-a1+3=7. (2)证明:数列{an-an-1}(n≥2)是等差数列; [分析] (2)根据题意,化简得到(an+1-an)-(an-an-1)=3,结合等差数列的定义,即可得证; (2)[证明]　由an=2an-1-an-2+3(n≥3), 当n≥2时,可得an+1=2an-an-1+3,则(an+1-an)-(an-an-1)=3, 又由a1=2,a2=3,可得a2-a1=1, 所以{an+1-an}是公差为3的等差数列,即数列{an-an-1}(n≥2)是公差为3的等差数列. (3)求数列{an}的通项公式. [分析] (3)由(2)求得an+1-an=3n-2,利用叠加法,结合等差数列的求和公式,即可求解. (3)[解]　由(2)知,数列{an+1-an}是首项为1,公差为3的等差数列,即an+1-an =3n-2, 所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =2+[1+4+7+…+(3n-5)]=2+n+4, 即数列{an}的通项公式为an=n+4. 等差数列、等比数列的判定方法 1.定义法:-an=d(常数)⇔{an}是等差数列;=q(q为常数,q≠0)⇔{an}是等比数列. 2.中项公式法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列;=an·an+2(an+1≠0)⇔{an}是等比数列. 3.通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)⇔{an}是等差数列;an=c·qn(c,q为非零常数)⇔{an}是等比数列. 规律方法 4.前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔{an}是等比数列. 提醒　(1)前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.(2)若要判定一个数列不是等差(比)数列,则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可. 2.在数列{an}中,a1=2,. (1)证明:数列为等差数列. 跟踪训练 (1)证明:因为,所以. 又, 所以,公差为的等差数列. (2)求数列的前n项和Sn. (2)解:由(1)可知+(n-1)×,则an=, 则anan+1=, 则Sn=4×. 考点三　数列求和 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和,不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解. 　记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,nan+1=2Sn+3n. (1)证明:an+2+an=2an+1; [分析]　(1)根据题意结合an,Sn之间的关系可得an+2+an=2an+1(n≥2),并注意检验n=1的情况; 例3 (1)[证明]　因为nan+1=2Sn+3n, 当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+3(n-1), 两式相减,得nan+1-(n+1)an=3①,则(n+1)an+2-(n+2)an+1=3②, ②-①得(n+1)an+2+(n+1)an=(2n+2)an+1, 所以an+2+an=2an+1(n≥2). 当n=1时,a2=2S1+3=2a1+3=9, 当n=2时,2a3=2S2+6=24+6=30,a3=15. 所以a3+a1=2a2,所以an+2+an=2an+1. (2)若,求数列{bn}的前n项和Tn. [分析]　(2)由(1)结合等差数列通项公式可得bn=,利用错位相减法求和. (2)[解]　由(1)可知:{an}是首项为3,公差为6的等差数列, 可得an=3+6(n-1)=6n-3,bn=, 则Tn=+…+, +…+, 两式相减可得+…+ =, 所以Tn=1-. 数列求和的常用方法 1.公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式. 2.分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. 4.错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 5.倒序相加法:例如,等差数列前n项和公式的推导. 规律方法 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6-a3=56,S6-S3=112. (1)求数列{an}的通项公式; 跟踪训练 解:(1)由题知a6-a3=a3(q3-1)=56①, S6-S3=a4+a5+a6=a4(1+q+q2)=a3q(1+q+q2)=112②, ②÷①得,=2,解得q=2,代入①式得a3=8, 所以an=8×2n-3=2n. (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 解: (2)由(1)知Sn==2n+1-2, 所以bn=, 所以Tn=. $$