第4章 培优微突破7 裂项相消法-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 培优微突破7　裂项相消法   　　裂项相消法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项相消法的关键是分析数列的通项,考查是否能分解成两项的差. 例 　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=10,S3=9. (1)求{an}的通项公式; [分析]　(1)运用等差数列通项公式及等差数列前n项和公式计算即可. [微重点] [解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则 所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1. (2)设数列的前n项和为Tn,求T1 012. [分析]　(2)运用裂项相消法求和即可. [解]　(2)由(1)知,, 所以Tn=1-+…+, 所以T1 012=. 已知正项数列{an}满足a1=1,=an+2(n∈N*). (1)证明:数列是等比数列; [微训练] 证明:(1)因为=an+2,可得+1,即, 且+1=2≠0,可得=2, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列. (2)若bn=2nanan+1,数列{bn}的前n项和为Sn.证明:Sn<1. 证明: (2)由(1)可知+1=2n,则an=, 可得bn=, 则Sn=1-+…+, 因为n∈N*,则>0,所以Sn<1. $$