第4章 培优微突破6 错位相减法-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 培优微突破6　错位相减法   　　如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和. 例 　已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+n-1,等比数列{bn}的首项b1=,且满足b2n=. (1)求证:数列{an+n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; [分析]　(1)利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可. [微重点] [解]　(1)因为an+1+n+1=2an+n-1+n+1=2an+2n=2(an+n),所以=2. 又因为a1+1=2≠0,所以{an+n}是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以an+n=2n,所以an=2n-n. (2)求数列{anbn}的前n项和Sn. [分析]　(2)利用错位相减法求和即可. [解]　(2)因为b2n=,所以b2=q,故q=, 所以bn=, 令cn=anbn,则cn=(2n-n)=1-n·, 所以Tn=1×+…+n×, +…+(n-1)×, 所以+…+ ==1-, Tn=2-(n+2)×,所以Sn=n-2+. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3,且2Sn=an+1-3(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; [微训练] 解:(1)当n=1时,2a1=a2-3⇒a2=2×3+3=9. 当n≥2时,2Sn=an+1-3,用n-1代替n,可得2Sn-1=an-3. 两式相减得2(Sn-Sn-1)=an+1-an⇒an+1=3an, 所以{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n. (2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 解: (2)由(1)知bn=n×3n, 所以Tn=1×31+2×32+3×33+…+n·3n, 3Tn=1×32+2×33+…+(n-1)·3n+n·3n+1, 两式相减得-2Tn=31+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=, 所以Tn=×3n+1+. $$