第4章 培优微突破5 数列中的构造-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 培优微突破5　数列中的构造   　　数列中的构造问题是一个热点内容,一般通过构造新的数列求数列的通项公式或求和,常见的形式有an+1=pan+f(n)型和an+1=型两大类型. 例 　(1)(多选)已知数列{an},下列结论正确的有(　　) A.若a1=2,2(n+1)an-nan+1=0,则an=n·2n B.在数列{an}中,a1=1,且an=2an-1+3(n≥2,且n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3 C.若a1=2,an=(n≥2),则数列是等比数列 D.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n-1,则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1 [微重点] AB (1)∵2(n+1)an-nan+1=0, ∴, ∴=2,公比为2的等比数列, ∴=2·2n-1,∴an=n·2n,故A正确; 由an=2an-1+3(n≥2),得an+3=2(an-1+3), 即=2, 又a1+3=1+3=4,于是数列{an+3}是首项为4,公比为2的等比数列, ∴an+3=4×2n-1,即an=2n+1-3, ∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3,故B正确; 根据题意,an==1,n≥2, 又=6,∴是首项为6,公差为1的等差数列,故C错误; 设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b), 所以an+1=2an+kn+b-k, 由an+1=2an+n-1, 得 ∴=2, 即{an+n}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列. ∴an+n=2×2n-1=2n,故an=2n-n,故D错误. (2)在数列{bn}中,b1=-1,bn+1=,则数列{bn}的通项公式bn=　　　　.  (2)bn+1=的两边同时取倒数, 得,即+3, 因此. 又+3=2, 故是以2为首项,2为公比的等比数列, 于是+3=2·2n-1=2n,可得bn=. (多选)已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2anan+1(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=3n-n AB [微训练] 因为an-3an+1=2anan+1, 所以. 又+1=2≠0,所以是以2为首项,3为公比的等比数列,故A正确; +1=2×3n-1,即an=,故B正确; 所以{an}为递减数列,故C错误; 的前n项和 Tn=(2×30-1)+(2×31-1)+…+(2×3n-1-1)=2(30+31+…+3n-1)-n=2×-n=3n-n-1,故D错误. $$