4.3.3 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.3　等比数列 4.3.3　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列的前n项和的性质及应用 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式的性质并简单应用.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. [素养目标]　水平一:掌握等比数列前n项和的性质并能简单应用.(数学运算) 水平二:掌握等比数列前n项和公式并应用公式解决实际问题.(数学建模) 学习引语　 　　前面我们就用等差数列中的性质,类比出了等比数列的性质,由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论,今天我们再进一步扩大同学们的智慧,继续通过类比,看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 探究活动1　等比数列前n项和公式的函数特性 内容索引 探究活动2　等比数列的“片段和”性质 课时作业 巩固提升 探究活动3　等比数列求和的实际应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　等比数列前n项和公式的函数特性 问题　当q≠1时,等比数列的前n项和公式Sn=可以变形为什么? 提示　它可以变形为Sn=-·qn+,设A=,则上式可写成Sn=-Aqn+A的形式. 例1 　已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的(　　) A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 知识应用 B 当A=-B=0时,Sn=0,{an}=0,{an}不是等比数列;若数列{an}是等比数列,当q=1时,Sn=A+B,Sn-1=A+B(n≥2),则an=0(n≥2),与数列{an}是等比数列矛盾,所以q≠1,Sn=,所以A=-,B=,所以A=-B.因此“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件. 　　由Sn=Aqn+B(AB≠0)判断等比数列的注意事项:若数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(AB≠0),当A+B=0时,{an}是等比数列;当A+B≠0时,{an}不是等比数列,注意这两个数列仅仅首项不同,从第二项以后各项都对应相同. 反思感悟 1.一个等比数列的前n项和Sn=(1-2λ)+λ·2n,则λ=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 B a1=S1=(1-2λ)+2λ=1,设等比数列{an}的公比为q,当q=1时,Sn=n,显然与题设不符,∴q≠1,即等比数列不是常数列,∴Sn==(1-2λ)+λ·2n,则可得λ=1. 探究活动2　等比数列的“片段和”性质 已知等比数列{an}的公比q≠-1,前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,其公比为qn. 知识生成 　在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 例2 知识应用 [解]　法一:设等比数列{an}的公比为q, ∵S2n≠2Sn,∴q≠1, 由已知得,即qn=,③ 将③代入①得=64,∴S3n==64×(1-)=63. 法二:∵{an}为等比数列,且显然公比不等于-1, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, ∴=Sn(S3n-S2n),∴S3n=+60=63. 　　运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件.否则会出现失误.如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列的前提是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n均不为0. 反思感悟 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值. 跟踪训练 解:由{an}是等比数列,得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列,又前两项为1,2,故S20-S16=16,所以a17+a18+a19+a20=16. 探究活动3　等比数列求和的实际应用 　某家庭为了准备孩子以后上大学的费用,打算以一年定期的方式存款,计划从2021年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2031年年初将所有存款和利息取出,则可以取出多少元? 例3 知识应用 [解]　法一:设2030年年初存入的a元到2031年年初有本利和b1=a(1+p)元, 2029年年初存入的a元到2031年年初有本利和b2=a(1+p)2元, 2028年年初存入的a元到2031年年初有本利和b3=a(1+p)3元, …… 2021年年初存入的a元到2031年年初有本利和b10=a(1+p)10元, 所以从2021年年初到2031年年初所有存款的本利和 S10=b1+b2+b3+…+b10 =a(1+p)[1+(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)9] =[(1+p)11-(1+p)], 即这个家庭到2031年年初本利和可达[(1+p)11-(1+p)]元. 法二:2022年年初有本利和b1=a(1+p)元, 2023年年初有本利和b2=(b1+a)(1+p)元, 2024年年初有本利和b3=(b2+a)(1+p)元, …… 设第n年年初有本利和bn元,第n+1年年初有本利和bn+1元,则有bn+1=(bn+a)·(1+p), 即bn+1=(1+p)bn+a(1+p)①, 设bn+1+λ=(1+p)(bn+λ),即bn+1=(1+p)bn+pλ, 令a(1+p)=pλ,可得λ=, 所以可以将①变形为bn+1+=(1+p), 其中b1+. 所以为首项,1+p为公比的等比数列,于是bn=[(1+p)n+1-(1+p)], 即这个家庭到2031年年初本利和可达[(1+p)11-(1+p)]元. 1.单利公式——等差数列模型: 利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+rx). 2.复利公式——等比数列模型: 利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+r)x. 3.产值公式——等比数列模型: 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,时间为x,则总产值y=N(1+p)x. 反思感悟 3.2023年小林大学毕业后,9月1日开始工作,他决定给自己开一张储蓄银行卡,每月的10号存钱至该银行卡(假设当天存钱次日到账).2023年9月10日他给卡上存入1元,以后每月存的钱数比上个月多一倍,则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到1万元的时间为(　　) A.2024年12月11日　　　　 B.2024年11月11日 C.2024年10月11日 D.2024年9月11日 跟踪训练 C 依题意可知,小林从第一个月开始,每月所存钱数构成首项为1,公比为2的等比数列,其前n项和为=2n-1.因为f(n)=2n-1为增函数,且f(13)< 10 000,f(14)>10 000,所以第14个月的10号存完钱后,他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元,即2024年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元. 1.牢记1个知识点 等比数列的前n项和的性质. 2.掌握2种方法 (1)应用等比数列前n项和的性质时运用整体思想. (2)构建数学模型. 3.注意1个易错点 对于某些数列问题,必须充分挖掘题目中隐含的条件(如n是奇数还是偶数),若忽略这些隐含条件将导致错误. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7,S6=91,则S4为(　　) A.28　　　　　　　　　　 B.32 C.21 D.28或-21 A ∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列, 即7,S4-7,91-S4成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4), 解得S4=28或S4=-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2, ∴S4=28. 2.(多选)已知在等比数列{an}中,a1=1,q=2,则(　　) A.数列{a2n}是等比数列 B.数列是递增数列 C.数列{log2an}是等差数列 D.数列{an}中,S10,S20,S30仍成等比数列 AC 在等比数列{an}中,a1=1,q=2,则an=2n-1,∴a2n=22n-1,∴数列{a2n}是等比数列,故A正确;数列是递减数列,故B不正确;∵log2an=n-1,故数列{log2an}是等差数列,故C正确;在数列{an}中,S10==210-1,S20= 220-1,S30=230-1,故D错误. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1-λ,若数列{an}为等比数列,则λ的值为　.  3 因为数列{an}为等比数列,所以a1a3=,由Sn=3n+1-λ,得a1=S1=9-λ,a2=S2-S1=(27-λ)-(9-λ)=18,a3=S3-S2=(81-λ)-(27-λ)=54,故54(9-λ)=182,解得λ=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1-3)-(3n-3)=2·3n,当n=1时,a1=6符合上式,故λ=3. 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层灯数为　　　　.  3 设塔的顶层共有a1盏灯,则数列{an}是公比为2的等比数列, ∴S7==381,解得a1=3. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,则a3a5=(　　) A.4　　　　　　　　　 B.8 C.16 D.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C ∵S1=1+a,∴a1=a+1,S2=2+a,a2=1,S3=4+a,a3=2,∴=a1a3,即1=2(a+1),解得a=-,∴Sn=2n-1-,∴a4=S4-S3=4,∴a3a5==16. 2.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为(　　) A.1.14a B.11×(1.15-1)a C.1.15a D.10×(1.16-1)a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 从今年起到第5年,这个厂的总产值为 a×1.1+a×1.12+a×1.13+a×1.14+a×1.15=a×=11a(1.15-1). 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于(　　) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为S10∶S5=1∶2,所以S5=2S10,S15=S5,得S15∶S5=3∶4. 4.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　) A.若Sn=(n+1)2,则{an}是等差数列 B.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列 C.若{an}是等差数列,则S2n-1=(2n-1)an D.若{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 因为等差数列的前n项和Sn=na1+n,当≠0时,其是不含常数项的二次函数,所以A选项中{an}的前n项和Sn=(n+1)2不符合等差数列的前n项和形式,所以{an}不是等差数列,A错误;若数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(AB≠0),则当A+B=0时,{an}是等比数列,所以B选项中{an}的前n项和Sn=2n-1符合等比数列的前n项和形式,所以{an}是等比数列,B正确;若{an}是等差数列,则S2n-1==(2n-1)an,C正确;当an=(-1)n时,S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,此时Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不构成等比数列,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)如图所示,图1是边长为1的正方形,以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形,得到图2,重复以上步骤,得到图3,…….记图1中正方形的个数为a1,图2中正方形的个数为a2,图3中正方形的个数为a3,……,图n中正方形的个数为an,则下列说法正确的有(　 　) A.a5=63 B.图5中最小正方形的边长为 C.a1+a2+a3+…+a10=2 036 D.若an=255,则图n中所有正方形的面积之和为8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 将相同的正方形看作同一“层”,自下而上每一“层”正方形的个数成等比数列,且公比为2,根据等比数列的前n项和公式可知an=2n-1.a5=25-1=31,A中说法错误.自下而上每一“层”的正方形的边长也成等比数列,且公比为,所以每“层”正方形的边长bn=,所以b5=,B中说法正确.a1+a2+a3+…+a10=21-1+22-1+23-1+…+210-1 =21+22+23+…+210-10=2 036,C中说法 正确.由an=2n-1=255,解得n=8,每一 “层”的面积和cn=2n-1=1, 所以当n=8时,所有正方形的面积之和为8,D中说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.设等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=81,则数列{an}的公比为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 易得a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3), 故q3=27,则q=3. 7.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以名次类推,都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出　　　　万元资金进行奖励.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 046 由题意,设第十名到第一名得到的奖金分别是a1,a2,…,a10,则an=Sn+1,当n≥2时,an-1=Sn-1+1,两式相减,可得an-an-1=an,整理得=2,又当n=1时,a1=a1+1,解得a1=2,所以从第十名到第一名每人所得奖金数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,则S10==2 046万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.记数列{an}的前n项和Sn=2n+λ. (1)当λ=3时,求{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)当λ=3时,Sn=2n+3,∴a1=S1=5; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1. a1=5对上式不成立,∴an= (2)是否存在常数λ,使得{an}为等比数列?请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由Sn=2n+λ,得a1=S1=2+λ; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+λ-2n-1-λ=2n-1. 若存在常数λ,使得{an}为等比数列, 则2+λ=20=1,得λ=-1. 故存在实数λ=-1,使得{an}为等比数列. 9.某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加. (1)求n年内旅游业的总收入; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元, 则a1=400,an+1=an, ∴,∴数列{an}是公比为的等比数列, ∴Sn==1 600, 即n年内旅游业总收入为1 600万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8 000万元.(已知lg 2≈0.301 0, lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)知Sn=1 600, 令Sn>8 000, 即1 600>8 000, ∴>6,∴lg>lg 6, ∴n>≈8.021 6, ∴大约第9年后,旅游业总收入超过8 000万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项的和的两倍,它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(　　) A.12 B.10 C.8 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 设该等比数列的项数为2n,公比为q. 依题意得S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1, S偶=a2+a4+a6+…+a2n=qS奇. ∵S偶=2S奇,∴q=2.又an+an+1=a1qn-1+a1qn=2n-1+2n=3×2n-1=24, ∴2n-1=8=23,∴n-1=3,解得n=4,∴2n=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)若对任意的i,j∈N*且i≠j,总存在n∈N*,使得an=ai·aj(i+j≤n),则称数列{an}是“Ω数列”,则下列说法正确的是(　　) A.至少存在一个等比数列不是“Ω数列” B.至少存在两个常数列为“Ω数列” C.若{an}是“Ω数列”,则{an+1}也是“Ω数列” D.对任意的a∈N,总是“Ω数列” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 对于A,若an=3×2n,则{an}是等比数列,由an=ai·aj,得n=i+j+log23∉N*,则{an}不是“Ω数列”.对于B,由a=a2,得a=0或1,所以至少存在两个常数列为“Ω数列”.对于C,若an=n2,则{an}是“Ω数列”,令bn=an+1=n2+1,设b1·b3=2×10=n2+1,则n∉N*,故{n2+1}不是“Ω数列”.对于D,设an=,由an=ai·aj,得n=(i+a)(j+a)-a∈N*,所以对任意的a∈N,总是“Ω数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y,都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令x=n,y=1,则f(n)·f(1)=f(n+1), 又an=f(n),∴=f(1)=a1=, ∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, ∴Sn=. 13 13.已知等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,求证:=Sn(S2n+S3n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明:法一:设此等比数列的公比为q,首项为a1, 当q=1时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, ∴, Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2, ∴=Sn(S2n+S3n). 当q≠1时,Sn=(1-qn), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S2n=(1-q2n),S3n=(1-q3n), ∴·[(1-qn)2+(1-q2n)2] =·(1-qn)2·(2+2qn+q2n). 又Sn(S2n+S3n)=(1-qn)(2-q2n-q3n)=·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), ∴=Sn(S2n+S3n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 法二:根据等比数列的性质有 S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn, ∴+[Sn(1+qn)]2=(2+2qn+q2n), Sn(S2n+S3n)=(2+2qn+q2n). ∴=Sn(S2n+S3n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$