4.3.1 等比数列的概念-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 [学习目标]　1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式,等比中项的概念.3.会证明一个数列是等比数列. [素养目标]　水平一:1.会利用等比数列的概念进行简单的等比数列计算问题.(数学运算)2.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决问题.(数学运算) 　水平二:能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.(逻辑推理) 学习引语　 　　传说,波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了,他下令要奖赏国际象棋的发明者,并让受奖者自己提出奖些什么.发明者指着国际象棋的棋盘对国王说,在棋盘的第一格内放上一粒麦子,在第二格内放两粒麦子,第三格内放4粒,第四格内放8粒……按这样的规律放满64格棋盘格.国王反对说,这么一点点麦子算不上什么赏赐,但发明者认为如此就足够了.结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付.同学们,这几粒麦子,怎能让国王赔上整个国家的财力? 探究活动1　等比数列的概念 内容索引 探究活动2　等比数列中的基本计算 课时作业 巩固提升 探究活动3　等比数列的判定与证明 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　等比数列的概念 问题　观察下面几个问题中的数列,回答下面的问题. ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?” 构成数列:9,92,93,94,95,96,97,98. ②《庄子·天下》中提到:“一尺之捶,日取其半,万世不竭”,这句话中隐藏着一列数: ,,,,,…. ③-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂,…,依次排成一列数:-,,-,,…. 类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律? 提示　我们可以通过除法运算研究以上数列的取值规律.对于①我们发现=9,=9,=9,…,也就是说从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于9;对于②,…;对于③,…;也有相同的取值规律. 一般地,如果一个数列从第　　　　项起,每一项与它的　　　　一项的　　　　都等于　　　　常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的　　　　,公比通常用字母q表示(q≠0).  知识生成 二　 前 比　 同一个　 公比 例1 判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出它的公比. (1)1,2,1,2,1; 知识应用 [解]　(1),故该数列不是等比数列. (2)-2,-2,-2,-2; [解]　(2)显然该数列是首项为-2,公比为1的等比数列. (3)1,-,,-,; [解]　(3)显然该数列是首项为1,公比为-的等比数列. (4)2,1,,,0; [解]　(4)由于等比数列中不能出现0,故该数列不是等比数列. (5)lg 3,lg 6,lg 12; [解]　(5),,显然,故该数列不是等比数列. (6)1,-1,1,-1. [解]　(6)显然该数列是首项为1,公比为-1的等比数列. 　　判断一个数列是不是等比数列,通常用定义法:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论. 反思感悟 1.(多选)以下数列中,不能判定数列是等比数列的有(　　) A.数列1,2,6,18,… B.数列{an}中,已知=2,=2 C.常数列a,a,…,a,… D.数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N* 跟踪训练 ABC A.数列不符合等比数列的定义,不是等比数列; B.前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列; C.当a=0时,不是等比数列; D.该数列符合等比数列的定义,是等比数列. 探究活动2　等比数列中的基本计算 　求出下列等比数列中的未知项: (1)4,a,9; 例2 知识应用 [解]　(1)根据题意,得, 所以a=6或a=-6. (2)1,b,c,-8. [解]　(2)根据题意,得 所以b=-2,c=4. 　　一般地,如果几个数成等比数列,则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可,但要注意题目中的要求,比如正项的等比数列或负项的等比数列. 　　特别地,如果三个数a,G,b成等比数列,则称G为a,b的等比中项,即G2=ab,若G2=ab,则三个数a,G,b不一定成等比数列,要考虑0的情况,但要注意的是a,b的符号必须相同且非零,其等比中项有两个,且互为相反数. 反思感悟 2.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为(　　) A.± C.1 D.±1 跟踪训练 D 因为1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列, 所以a==2,b=±=±2, 所以的值为±1. 探究活动3　等比数列的判定与证明 　已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*).求证:{bn}是等比数列. 例3 知识应用 [证明]　因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1),即bn+1=2bn. 因为b1=a1+1=2≠0,所以bn≠0,所以=2, 所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. 判断一个数列是不是等比数列的常用方法 1.定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2,n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. 2.等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列. 反思感悟 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*). (1)求a1,a2; 跟踪训练 (1)解:由S1=(a1-1),得a1=(a1-1), 所以a1=-,又S2=(a2-1), 即a1+a2=(a2-1),得a2=. (2)求证:数列{an}是等比数列. (2)证明:当n≥2时,an=Sn-(an-1)-(-1), 得,又a1=-, 所以{an}是首项为-,公比为-的等比数列. 1.牢记3个知识点 (1)等比数列的概念. (2)等比中项. (3)等比数列的判定与证明. 课堂小结 2.掌握2种方法 (1)概念法. (2)等比数列的证明 ①利用定义:=q(n∈N*,q为常数且不为零). ②利用等比中项:=anan+2(n∈N*且an≠0). 3.注意1个易错点 两个同号的实数a,b才有等比中项,而且等比中项有两个,为±. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是(　　) A.a≠1　　　　　　 B.a≠0或a≠1 C.a≠0 D.a≠0且a≠1 D 由等比数列的定义知,数列中不能出现0,且公比不为0,所以a≠0且1-a≠0,所以a≠0且a≠1. 2.(多选)下面各数列一定是等比数列的是(　　) A.-1,-2,-4,-8 B.1,2,3,4 C.x,x,x,x D.,,, AD 对于A,公比为2,为等比数列;对于B,由于,即不是等比数列;对于C,当x=0时,不是等比数列;对于D,公比为,为等比数列. 3.若-1,2,a,b成等比数列,则a+b=　　　　.  4 根据题意得,,解得a=-4,b=8,所以a+b=-4+8=4. 4.已知14,a,10成等差数列,3,b,a成等比数列,则b=　　　　.  ±6 由14,a,10成等差数列可得a=12,则3,b,12成等比数列,即b2=36,所以b=±6. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.下列数列是等比数列的是(　　) A.1,11,111,1 111　　　　　　 B.1,-2,4,-8 C.1,5,25,-125 D.22,32,42,52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 由等比数列的定义可知,只有B满足题意,其余均不是. 2.1与4的等差中项、等比中项分别是(　　) A.±,±2 B.,±2 C.,2 D.±,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 设等差中项为m,则2m=1+4=5,可得m=;设等比中项为n,则n2=1×4=4,可得n=±2. 3.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于(　　) A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 根据等比数列的定义解得a3=32. 4.“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 由ad=bc,不能推出a,b,c,d成等比数列,例如a=0,b=0,c=1,d=2,故充分性不成立.若a,b,c,d成等比数列,则a,b,c,d均不为0,且,所以ad=bc,故必要性成立.综上,“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)下列说法正确的有(　　) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列,则公比为1 D.22,42,62,82,…成等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC A显然正确;等比数列的公比不能为0,故B错误;C显然正确;由于,不是等比数列,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)在等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项为(　　) A.-4 B.4 C.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AB 由题意a2=,a3=,a4=1,a5=2,a6=4,a7=8,a8=16,设a4与a8的等比中项为x,则有x2=16,所以x=±4. 7.若{an}为等比数列,且a3+a4=4,a2=2,则公比q=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1或-2 由=q,所以a3=a2q=2q,由=q,所以a4=a3q=2q2,所以2q2+2q=4, 即q2+q-2=0,解得q=1或q=-2. 8.若数列an=+a-2是等比数列,则a=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 由题意可得,a1=a-1,a2=a+1,a3=a+7,所以(a+1)2=(a-1)(a+7),解得a=2. 9.已知数列{an}的通项公式,判断它是否为等比数列. (1)an=3n; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)不是常数,故不是等比数列. (2)an=5×; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2),是等比数列. (3)an=n-1; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (3)不是常数,故不是等比数列. (4)an=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (4)=1,是等比数列. 10.已知在等比数列{an}中,a2=1,求a1+a3的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的定义可知a1=,a3=q, 所以a1+a3=q+, 当q>0时,a1+a3=q+=2,当且仅当q=1时,等号成立; 当q<0时,a1+a3=-=-2,当且仅当q=-1时,等号成立. 综上所述,a1+a3的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). [B组] 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 因为a,b,c是△ABC的三边,所以a,b,c均不为0, 则由b2=ac,可得,所以a,b,c成等比数列. 反之:当a,b,c成等比数列,可得b2=ac, 所以“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.“一尺之捶,日取其半,万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棒,每天截取其一半,永远都取不完”.设第一天这根木棒被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺,…,第五天被截取剩下的一半剩下a5尺,则等于(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设这根木棒总长为1,每天截取其一半,剩下的部分记为an, 则{an}构成a1=,公比q=的等比数列, 所以a1=,a2=,…,a5=, 所以=24. 13 13.已知在等差数列{an}中,a2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,把各项按如图所示排列.则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 275或8 13 设公差为d, 由a2+a4=16,得a1+2d=8,① 由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列, 得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1),② 解得d=3或d=0, 当d=3时,a1=2,an=3n-1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项,a92=3×92-1=275. 当d=0时,an=8,a92=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$