第2章 培优微突破3 利用数学式的几何意义解圆的最值问题-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

培优微突破3　利用数学式的几何意义解圆的最值问题 第2章　圆与方程 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u=形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题. 例 　已知x和y满足(x+1)2+y2=. (1)求x2+y2的最值; [微重点] [解]　(1)由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.原点O(0,0)到圆心C(-1,0)的距离d=1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1+,最小距离为1-. (2)求的取值范围; [解]　(2)设k=,变形为k=,此式表示圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率, 由k=,可得y=kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离d≤r,即,解得-. 即. (3)求x+y的最值. [解]　(3)令y+x=b并将其变形为y=-x+b,问题转化为斜率为-1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值,此时有,解得b=±-1,即最大值为-1,最小值为--1. (多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是(　　) A.y-x的最大值为-2 B.x2+y2的最大值为7+4 C. D.x+y的最大值为2+ AB [微训练] 对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z的纵截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,,解得--2,所以y-x的最大值为-2,故A说法正确; 对于B,x2+y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为2,则原点到圆上的最大距离为2+,所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4,故B说法正确; 对于C,设=k,把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0,则Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-,,故C说法错误; 对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m的纵截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,,解得-+2≤m≤+2,所以x+y的最大值为+2,故D说法错误. $$