2.2 直线与圆的位置关系-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第2章　圆与方程 2.2　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.会用代数方法与几何方法判断直线与圆的位置关系.2.能解决直线与圆相切、相交的有关问题.3.能利用直线与圆的关系解决实际问题. [素养目标]　水平一:运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系.(逻辑推理) 水平二:运用直线和圆的方程解决简单问题.(应用能力) 学习引语　 　　“大漠孤烟直,长河落日圆”,这是唐代诗人王维的诗句.它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面太阳落山的图片.   　　图片中,地平线与太阳的位置关系怎样?结合初中知识总结,直线与圆有几种位置关系? 探究活动1　直线与圆位置关系的判定 内容索引 探究活动2　切线问题 课时作业 巩固提升 探究活动3　弦长问题 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线与圆位置关系的判定 问题1　直线与圆有哪几种位置关系? 提示　相离、相切、相交. 问题2　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解,或转化为圆心到直线的距离与半径大小的关系. 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 知识生成 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　个  　个  　个  判定 方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d　r  d　r  d　r  代数法: 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ　0  Δ　0  Δ　0  两 一 零 < = > > = < 例1 　已知圆的方程是x2+y2=1,直线y=x+b.当b为何值时, (1)直线与圆只有一个公共点; (2)直线与圆有两个公共点; (3)直线与圆没有公共点. 知识应用 [解]　法一:联立直线和圆的方程组成方程组: 整理,得2x2+2bx+b2-1=0,Δ=4(2-b2). (1)当Δ=0,即b=±时,直线和圆相切,此时直线和圆仅有一个公共点. (2)当Δ>0,即-时,直线和圆相交,此时直线和圆有两个公共点. (3)当Δ<0,即b<-时,直线和圆相离,此时直线和圆没有公共点. 法二:圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=,圆的半径为r=1. (1)当d==1,即b=±时,直线与圆相切,此时直线与圆有一个公共点. (2)当d=<1,即-时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点. (3)当d=>1,即b<-或b>时,直线与圆相离,此时直线与圆没有公共点. 判断直线与圆的位置关系的常用方法 1.几何法:根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断; 2.代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断. 3.直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 反思感悟 1.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-3,-1]　　　　　　 B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 跟踪训练 C 因为直线与圆有公共点,则(x-a)2+(x+1)2=2,即x2+(1-a)x+=0有解, 所以Δ=(1-a)2-4×≥0,所以-3≤a≤1. 故实数a的取值范围是[-3,1]. 探究活动2　切线问题 　过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程. 例2 知识应用 [解]　由于(2-1)2+(4+3)2=50>1, 故点M在圆外. 当切线斜率存在时,设切线方程是 y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0, 由于直线与圆相切,故=1, 解得k=. 所以切线方程为24x-7y-20=0. 又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切. 综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 圆的切线方程的求法 1.点在圆上时 求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0. 反思感悟 2.点在圆外时 (1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就得切线方程. (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程. 提醒　切线的斜率不存在的情况,不要漏解. 2.过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3,3)的圆的切线方程为(　　) A.2x-y+9=0　　　　　 B.2x+y-9=0 C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0 跟踪训练 B 设x2+y2-2x-4y=0的圆心为C,则C(1,2), kPC=,∴切线的斜率k=-2, ∴切线方程为y-3=-2(x-3), 即2x+y-9=0. 3.由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D.3 C 圆心C(3,0)到直线y=x+1的距离d=. 所以切线长的最小值为l=. 探究活动3　弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法: (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为AB,则有+d2=r2,即AB=2. 知识生成 (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,   设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB=|x1-x2|,或AB=|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 　(1)求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长AB. 例3 知识应用 [解]　(1)联立直线l与圆C的方程,得所以交点为A(1,3),B(2,0).故直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长AB=. (2)过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,如果AB=8,求直线l的方程. [解]　(2)将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25, 由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d==3. ①当直线l的斜率不存在时,x=-4满足题意; ②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0. 由点到直线的距离公式,得3=, 解得k=-,所以直线l的方程为5x+12y+20=0. 综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 求弦长常用的三种方法 1.利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题. 2.利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长. 3.利用弦长公式,设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=. 反思感悟 4.直线m:x+y-1=0被圆M:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为(　　) A.4　　　　　　　　　　　B.2 C. 跟踪训练 B ∵x2+y2-2x-4y=0,∴(x-1)2+(y-2)2=5, ∴圆M的圆心坐标为(1,2),半径为,又点(1,2)到直线x+y-1=0的距离d=,所以直线m被圆M截得的弦长等于2. 1.牢记1个知识点 直线与圆的位置关系. 2.重点掌握3种方法 (1)直线与圆位置关系的判断方法. (2)求圆的切线方程的方法. (3)求直线与圆相交时弦长的方法. 3.注意1个易错点 在解决直线与圆的位置关系问题时,易漏掉直线斜率不存在的情况. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.直线3x-4y+8=0与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是(　　) A.相离　　　　　　　 B.相交 C.相切 D. 不能确定 B 圆(x-1)2+(y+1)2=16的圆心坐标为(1,-1),半径为4,圆心到直线3x-4y+8=0的距离d==3<4,所以直线与圆相交. 2.圆x2+y2=4在点P(,-1)处的切线方程为(　　) A.x+y-4=0 C.x-y+2=0 C 因为()2+(-1)2=4,所以点P在圆上. 因为切点与圆心连线的斜率为-,所以切线的斜率为, 所以切线方程为y+1=(x-),即x-y-4=0. 3.直线x=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长等于2,则a的值为(　　) A.-1或3 B. C.1或3 D. C 因为弦长为2,半径r=2, 所以圆心(a,0)到(2,0)的距离为=1, 所以|a-2|=1.所以a=1或3. 4.若直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围是　　　　　　　.  m<-2或m>2 因为直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,所以,解得m<-2或m>2. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.已知直线l:3x-4y+2=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=9,则直线l与圆C的位置关系是(　　) A.相切 B.相交且直线l过圆C的圆心 C.相交但直线l不过圆C的圆心 D.相离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 依题意得,圆心到直线的距离d==2. ∵0<d<3,∴直线l与圆C相交但不过圆C的圆心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 由圆C:x2+y2-2y-2m=0,得x2+(y-1)2=2m+1,则2m+1>0,解得m>-,所以圆C的圆心为(0,1),半径为,因为直线与圆相离,所以,解得m<-.综上,-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则a=(　　) A.-1 B.-2 C.1或2 D.-1或-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 由题意得点P(2,1)在圆上,则22+12+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-2或a=-1.因为x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0表示圆的方程,所以(2a)2+a2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a<.故a=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 设圆心为C,则C(2,0),过点M的弦为直径时,长度最长为2×3=6,过点M的弦以M为中点且与CM垂直时,长度最短,最短为2=4,所以6+4=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)若直线x-y+m=0与圆C:(x-1)2+(y+2)2=9交于A,B两个不同的点,且∠ACB=,则m的值为(　　) A.0 B.5 C.6 D.-6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 圆C的半径为3,设圆心C到直线x-y+m=0的距离为d, 则d=,因为∠ACB=,所以d=×3, 所以,解得m=0或m=-6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.过点A(3,5)作圆C:x2+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5x-12y+45=0或x-3=0 x2+y2-2x-4y+1=0可变形为(x-1)2+(y-2)2=4,∴圆C的圆心为(1,2),半径为2, ∵CA=>2,∴点A(3,5)在圆C外.显然,当切线的斜率不存在时,直线与圆相切,切线方程为x-3=0,当切线的斜率存在时,设所求切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0,∴圆心到切线的距离d==2,即|3-2k|=2,∴k=,∴切线方程为5x-12y+45=0.综上,所求切线的方程为5x-12y+45=0或x-3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.直线l与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x-y+5=0 由圆的方程可得,圆心为P(-1,2), 所以kPC==-1,故直线l的斜率为k=1, 所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上,且与直线l:3x+4y-28=0相切于点P(4,4). (1)求圆C的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)过点P(4,4)与直线l:3x+4y-28=0垂直的直线m的斜率为k=, 所以直线m的方程为y-4=(x-4), 即4x-3y-4=0. 由解得C(1,0). 所以r==5. 故圆C的方程为(x-1)2+y2=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求过点Q(6,-15)与圆C相切的直线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)①若过点Q(6,-15)的直线斜率不存在, 即直线x=6,与圆相切,符合题意; ②若过点Q(6,-15)的直线斜率存在, 设直线方程为y+15=k(x-6), 即kx-y-6k-15=0, 若直线与圆C相切, 则有=5, 解得k=-. 此时直线的方程为-x-y-7=0, 即4x+3y+21=0. 综上,切线的方程为x=6或4x+3y+21=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知圆C经过点A(2,0),B(1,-),且圆心C在直线y=x上. (1)求圆C的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)AB的中点坐标为,AB的斜率为x+6y=0,与x―y=0的交点为(0,0),圆心坐标(0,0),半径为2, 所以圆C的方程为x2+y2=4. (2)过点,求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)直线的斜率存在时,设直线的斜率为k,又直线l过, ∴直线l的方程为y-=k(x-1), 即y=kx+-k, 则圆心(0,0)到直线的距离d=,又圆的半径r=2,截得的弦长为2, 则有+()2=4,解得k=-, 则直线l的方程为y=-. 当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,满足题意. ∴直线l的方程为x=1或y=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是(　　) A.[-,0)∪(0,] B.[-,] C.(-∞,-]∪[,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 圆M的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=52, 圆心M(3,-4),半径为5,要满足题意, 由圆的几何性质得圆心M(3,-4)到直线l:y-1=k(x-3)的距离不超过,则, 解得k2≥3,即k≥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列命题中正确的有(　　) A.直线l恒过定点A(3,1) B.圆C被y轴截得的弦长为4 C.直线l与圆C可能相离 D.直线l被圆C截得的弦长最短时,直线l的方程为2x-y-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD A选项,l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0变形为(2x+y-7)m+x+y-4=0, 令故直线l恒过定点A(3,1),A正确; B选项,C:(x-1)2+(y-2)2=25中令x=0得y=2±2, 故圆C被y轴截得的弦长为2+2-(2-2)=4,B错误; C选项,将A(3,1)代入C:(x-1)2+(y-2)2=25中得(3-1)2+(1-2)2<25, 故A(3,1)在圆内,直线l与圆C相交,C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D选项,C:(x-1)2+(y-2)2=25的圆心为C(1,2), 当直线l与AC垂直时,直线l被圆C截得的弦长最短, 其中kAC=,此时kl=2,方程为y-1=2(x-3), 故直线l被圆C截得的弦长最短时,直线l的方程为2x-y-5=0,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.一条光线从点(0,1)射出,经x轴反射后与圆x2+y2-4x+3=0相切,则反射光线所在直线的方程是　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4x-3y-3=0或y=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设这条光线所在直线的方程为y=kx+1,则该直线过点,因为反射光线所在直线的斜率与原光线所在直线的斜率互为相反数,所以反射光线所在直线的方程为y=-kx-1, 易知圆x2+y2-4x+3=0的圆心为(2,0),半径为1,与反射光线所在直线相切,即=1,解得k=0或k=-.当k=0时,反射光线所在直线方程为y=-1;当k=-时,反射光线所在直线方程为4x-3y-3=0. 13 13.已知圆O:x2+y2=1和点M(-1,-4). (1)求以点M为圆心,且被直线y=2x-12截得的弦长为8的圆M的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)点M(-1,-4)到直线2x-y-12=0的距离为d=, ∵圆被直线y=2x-12截得的弦长为8, ∴r==6, ∴圆M的方程为(x+1)2+(y+4)2=36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设P为(1)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)假设存在定点R,使得为定值,设R(a,b),P(x,y),=λ, ∵点P在圆M上, ∴(x+1)2+(y+4)2=36,则x2+y2=-2x-8y+19, ∵PQ为圆O的切线,∴OQ⊥PQ, ∴PQ2=PO2-1=x2+y2-1,PR2=(x-a)2+(y-b)2, ∴x2+y2-1=λ[(x-a)2+(y-b)2], 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即-2x-8y+19-1=λ(-2x-8y+19-2ax-2by+a2+b2), 整理得(-2+2λ+2aλ)x+(-8+8λ+2bλ)y+(18-19λ-a2λ-b2λ)=0(*), 若使(*)对任意x,y恒成立, 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴λ=0,化简整理得36λ2-52λ+17=0,解得λ=, ∴ ∴存在定点R(1,4),此时或定点R,此时. $$