2.1.2 圆的一般方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第2课时　圆的一般方程 [学习目标]　1.理解二元二次方程表示圆的条件,会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径.2.会根据所给条件求圆的一般方程.3.能解决简单的轨迹问题. [素养目标]　水平一:求圆的一般方程.(数学运算) 水平二:求动点的轨迹方程.(直观想象、逻辑推理) 学习引语　 　　(1)把(x-a)2+(y-b)2=r2展开是一个什么样的关系式? 　　(2)把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?这个方程一定表示圆吗?在什么条件下一定表示圆? 　　这就是今天我们将要研究的问题. 探究活动1　圆的一般方程的概念 内容索引 探究活动2　求圆的一般方程 课时作业 巩固提升 探究活动3　轨迹问题 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　圆的一般方程的概念 问题1　如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0能表示圆的方程,有什么条件? 提示　将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得,当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 问题2　当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形? 提示　当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点. 1.圆的一般方程的概念 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(　　　　　　)叫作圆的一般方程.  2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为,半径长为. 知识生成 D2+E2-4F>0 例1 (1)若方程x2+y2+kx-y+2k=0表示圆,则k的取值范围是(　　) A.(1,7)　　　　　　　　 B.[1,7] C.(-∞,1)∪(7,+∞) D.(-∞,1]∪[7,+∞) 知识应用 C (1)方程x2+y2+kx-,因为方程表示圆,所以k2-8k+7>0,解得k<1或k>7,所以k的取值范围是(-∞,1)∪(7,+∞). (2)圆2x2+2y2+6x-4y-3=0的圆心坐标和半径分别为(　　) A.和4 B.(3,2)和4 C. D. C (2)2x2+2y2+6x-4y-3=0可化为x2+y2+3x-2y-=0, 所以圆心的坐标为,半径r=. 　形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时有如下两种方法: (1)由圆的一般方程的定义,D2+E2-4F>0成立则表示圆,否则不表示圆; (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解. 反思感悟 1.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为(　　) A.1或-2 B.2或-1 C.-1 D.2 跟踪训练 C 方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次项系数不一定为1,因此若它表示圆,需要二次项的系数相等且不等于0,转化为一般式后满足D2+E2-4F>0.则解得a=-1. 探究活动2　求圆的一般方程 　已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. 例2 知识应用 [解]　法一:设△ABC的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵A,B,C在圆上, ∴ ∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0, 即(x-1)2+(y+1)2=25. ∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5. 法二:∵kAB=,kAC==-3, ∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形, ∴外心是线段BC的中点, 坐标为(1,-1),r=|BC|=5. ∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为: (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2(r>0); (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; (3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 反思感悟 2.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为,求圆的一般方程. 跟踪训练 解:圆心C, ∵圆心在直线x+y-1=0上, ∴--1=0, 即D+E=-2.① 又∵半径长r=, ∴D2+E2=20.② 由①②可得 又∵圆心在第二象限,∴-<0,即D>0. 则 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0 探究活动3　轨迹问题 　(1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是(　　) A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x≠0) C.x2+y2=1(x≠±1) D.y= 例3 知识应用 C (1)设P(x,y),则kPA=,kPB=, ∵动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,∴kPA·kPB=-1, ∴=-1,即x2+y2=1,∵当x=±1时,必有一个斜率不存在,∴x≠±1.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1). (2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点所连线段的中点的轨迹方程是(　　) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 A (2)设Q(x0,y0)为圆上任意一点,M(x,y)为PQ的中点,根据中点坐标公式得,因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1. 求轨迹方程的三种常用方法 1.直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明. 2.定义法:当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.相关点法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,把x1,y1用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中,得点P的轨迹方程. 提醒　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上,故应排除不合适的点. 反思感悟 3.已知圆C经过(2,6),(5,3),(2,0)三点. (1)求圆C的方程; 跟踪训练 解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则 则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0. (2)设点A在圆C上运动,点B(2,3),且点M满足,求点M的轨迹方程. 解:(2)设M(x,y),A(xA,yA),则=(x-xA,y-yA),=(2-x,3-y). 由,可得 因为点A在圆C上,所以(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y-6)+4=0, 即x2+y2-4x-6y+12=0,故点M的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0. 1.牢记2个知识点 (1)圆的一般方程. (2)点与圆的位置关系. 2.重点掌握3种方法 (1)二元二次方程表示圆的判定方法. (2)待定系数法求圆的方程. (3)相关点法求轨迹方程的一般步骤. 3.注意1个易错点 易忽略二元二次方程表示圆的条件. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知圆x2+y2+2x-4y=0,则该圆的圆心和半径分别是(　　) A.(1,-2),5　　　　　　　 B.(-1,2),5 C.(-1,2), D.(1,-2), C 将圆的一般方程x2+y2+2x-4y=0化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(-1,2),半径为. 2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围是(　　) A.m< C.m<2 D.m≤2 A 由D2+E2-4F>0得(-1)2+12-4m>0,解得m<. 3.过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　　) A.x2+y2-2x-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y2+2x+3y=0 A 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意知圆过(0,0),(2,0)和(0,3), ∴ ∴所求圆的方程为x2+y2-2x-3y=0. 4.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　.  x2+y2=16 设M(x,y), 则, 整理可得点M的轨迹方程为x2+y2=16. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.已知命题甲:实数a<3;命题乙:方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则(-1)2+32-4a=10-4a>0,解得a<. ∵a<3 a<,a<⇒a<3,∴甲是乙的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知圆的方程为x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为(　　) A.3 B. C.5 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 圆的方程x2+y2+2ax+9=0, 即(x+a)2+y2=a2-9, 它的圆心坐标为(-a,0),可得a=-5, 故它的半径为=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　) A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C ∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆, ∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1. 又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0, ∴m=2或m=1(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时,则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C x2+y2+kx+2y+k2=0化为标准方程为+(y+1)2=1-k2,所以当k=0时圆的半径最大,面积也最大,此时直线的斜率为-1,故倾斜角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)已知方程x2+y2-4x+8y+2a=0,则下列说法正确的是(　　) A.当a=10时,方程表示圆心为(2,-4)的圆 B.当a<10时,方程表示圆心为(2,-4)的圆 C.当a=0时,方程表示的圆的半径为2 D.当a=3时,方程表示的圆与y轴相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 将x2+y2-4x+8y+2a=0变形得(x-2)2+(y+4)2=20-2a. 当a=10时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示点(2,-4),故A中说法错误; 当a<10时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示圆心为(2,-4)的圆,故B中说法正确; 当a=0时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示的圆的半径为2,故C中说法正确; 当a=3时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示的圆的圆心为(2,-4),半径为,因为>2,所以此时圆与y轴相交,故D中说法错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知圆C:x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0,-5),则(　 　) A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外 C.点A到圆C上任意一点的距离的最大值为3 D.点A到圆C上任意一点的距离的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 圆C的方程为x2+y2-4x+6y+11=0,即(x-2)2+(y+3)2=2,则圆心C(2,-3),半径r=,A不正确;因为AC=>r,所以点A在圆C外,B正确;在圆C上任取一点P,则PA≤PC+CA=r+CA=3,当且仅当P,C,A三点共线,且P在线段AC的延长线上时取等号,C正确;在圆C上任取一点M,则MA≥CA-MC=CA-r=,当且仅当C,M,A三点共线,且M在线段CA上时取等号,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在平面直角坐标系中,经过(0,0),(1,1),(2,0)三点的圆的一般方程为 　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x2+y2-2x=0 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为该圆经过(0,0),(1,1),(2,0)三点, 所以 则圆的一般方程为x2+y2-2x=0. 8.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中心M的轨迹方程是　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x2+y2-4x+2y+1=0 由条件知A(2,-1),设M(x,y),则P(2x-2,2y+1),由于P在圆上, ∴(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0, 整理得x2+y2-4x+2y+1=0. 9.已知点P(4,-2),Q是圆x2+y2=4上任意一点,求线段PQ的中点M的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设Q(x0,y0),M(x,y),则=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即x2+y2-4x+2y+4=0. 10.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆. (1)求实数t的取值范围; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意有4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即7t2-6t-1<0,解得-<t<1,故实数t的取值范围为. (2)求该圆的半径r的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)r2=(t+3)2+(1-4t2)2-(16t4+9)=-7t2+6t+1=-7,所以r2∈,即r∈,故r的取值范围为. [B组] 11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(　　) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 因为圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),所以(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,所以圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆. 12.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则SP+SQ的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3), 连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时SP+SQ的值 最小,否则,在x轴上另取一点S',连接S'P,S'P',S'Q,由于 P与P'关于x轴对称,所以SP=SP',S'P=S'P',所以SP+SQ=SP'+SQ=P'Q<S'P'+S'Q=S'P+S'Q. 故(SP+SQ)min=P'M-1=-1=9. 13 14 13.已知圆C经过P(-1,-3),Q(2,6)两点,且圆心在直线x+2y-4=0上,则圆C的一般方程为　　　　　　　　　　;若直线l的方程为x+m(y-1)+1 =0(m∈R),圆心C到直线l的距离是1,则m的值是　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 x2+y2-4x-2y-20=0 13 ±2 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 解得因此圆C的一般方程为x2+y2-4x-2y-20=0, 故圆心为C(2,1),因此圆心C到直线l的距离d==1,解得m=±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆. 最小覆盖圆满足以下性质: ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆. ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点. (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意,得t=-2, 由于△ABC为锐角三角形,所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆. 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2+y2-3x-4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆, 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16. 又因为OA=OC=2<4(O为坐标原点),所以点A,C都在圆内. 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16. (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(3)由题意,知曲线W为中心对称图形. 设P(x0,y0), 则=16. 所以OP2=(O为坐标原点),且-2≤y0≤2. 故OP2=, 所以当时,OPmax=, 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=. $$