2.1.1 圆的标准方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 [学习目标]　1.明确圆的基本要素,能用定义推导圆的标准方程.2.会求圆的标准方程,能够判断点与圆的位置关系. [素养目标]　水平一:求圆的标准方程.(数学运算) 水平二:圆的标准方程及应用.(数学建模) 学习引语　 　　“南昌之星”摩天轮是南昌市标志性建筑,该摩天轮总高度为160米,转盘直径为153米.   　　请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗?若以摩天轮中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,游客在任一点(x,y)的坐标满足什么关系? 探究活动1　圆的标准方程 内容索引 探究活动2　点与圆的位置关系 课时作业 巩固提升 探究活动3　圆的标准方程的实际应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的?确定它的要素又是什么呢?各要素与圆有怎样的关系? 提示　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.确定圆的要素:圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 问题2　已知圆的圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出该圆的方程吗? 提示　如图,设圆上任一点M(x,y),则MA=r,由两点间的距离公式,得=r, 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2. 1.标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程为 　　　　　　　　　　.  2.圆心与坐标原点重合时,圆的标准方程是x2+y2=r2;圆心在原点,半径r=1时,圆的标准方程为　　　　　　.  知识生成 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=1 例1 　求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程. 知识应用 [解]　法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知条件知 解此方程组,得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二:设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上, ∴可设点C的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过A,B两点, ∴CA=CB. ∴, 解得a=1. ∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=CA=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法三:由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0), kAB==-1, 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1, 所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0), 即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点, 由 即圆心为(1,1),圆的半径为 r==2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 　　求圆的标准方程的常用方法包括几何性质法和待定系数法: (1)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时,用几何性质法可以简化运算.常用到圆的以下几何性质:①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心;②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (2)由于圆的标准方程中含有三个参数a,b,r,运用待定系数法时,必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程.这三个参数反映了圆的几何性质,其中圆心(a,b)是圆的定位条件,半径长r是圆的定形条件. 反思感悟 1.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的标准方程为 　　　　　　　.  跟踪训练 (x-2)2+y2=10 由圆的几何性质得,圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知,AB的垂直平分线为y=2x-4,令y=0,得x=2,故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径r=,故圆的方程为(x-2)2+y2=10. 探究活动2　点与圆的位置关系 问题　点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么?在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件又是什么? 提示　点在圆内时,点到圆心的距离小于半径,点在圆外时,点到圆心的距离大于半径. 点与圆的位置关系 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=PC=. 知识生成 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在 圆外 d　　r    (x0-a)2+(y0-b)2　　r2  点在 圆上 d　　r    (x0-a)2+(y0-b)2　　r2  点在 圆内 d　　r    (x0-a)2+(y0-b)2　　r2  > > = = < < 　已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系. 例2 知识应用 [解]　因为圆心是C(-3,-4),且经过原点, 所以圆的半径r==5, 所以圆的标准方程是(x+3)2+(y+4)2=25. 因为P1C=<5, 所以P1(-1,0)在圆内; 因为P2C==5, 所以P2(1,-1)在圆上; 因为P3C==6>5, 所以P3(3,-4)在圆外. 判断点与圆的位置关系的方法 1.从形的角度,比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小,从而作出判断. 2.从数的角度,将定点的坐标代入圆的标准方程的左边,再与右边的值比较,从而作出判断. 反思感悟 2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 (　　) A.在圆外　　　　　　　 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 跟踪训练 A ∵m2+25>24,∴点P在圆外. 3.已知点A(1,2)不在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,则实数a的取值范围为 　　　　　　　　.  ∪(0,+∞) 由题意,点A在圆C上或圆C的外部, ∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2, ∴2a+5≥0,∴a≥-.∵a≠0, ∴a的取值范围为∪(0,+∞). 探究活动3　圆的标准方程的实际应用 　如图所示是一座圆拱桥,当水面距拱顶2 m时,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米?(结果保留两位小数) 例3 知识应用 [解]　以拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系,如图,设圆拱所在圆的圆心为C,当水面距拱顶2 m时,水面所在弦的端点为A,B,则A(6,-2). 设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(r>0), 将A(6,-2)代入方程,得r=10, ∴圆的方程为x2+(y+10)2=100. 当水面下降1 m后,可设点A'(x0,-3)(x0>0), 将A'(x0,-3)代入圆的方程,求得x0=, ∴水面下降1 m,水面宽为2x0=2≈14.28(m). 解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 反思感悟 4.一辆卡车宽1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 (　　) A.1.4 m　　　　　　　　 B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 跟踪训练 B 建立如图所示的平面直角坐标系,设篷顶距地面的高度为h, 则A(0.8,h),半圆所在圆的方程为x2+y2=3.62, 把点A的坐标代入上式可得,0.82+h2=3.62, 解得h=4≈3.5 m. 1.牢记2个知识点 (1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). (2)点与圆的位置关系. 2.重点掌握2种方法 (1)求圆的标准方程的方法. (2)判断点与圆的位置关系的方法. 3.注意1个易错点 求圆的标准方程时易漏解. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知A(0,-5),B(0,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A.(x+3)2+y2=2 B.x2+(y+3)2=4 C.(x+3)2+y2=4 D.(x-3)2+y2=2 B 圆的圆心是(0,-3),半径是r=|-5-(-1)|=2.故圆的方程为x2+(y+3)2=4. 2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.点P在圆外　　　　　　 B.点P在圆内 C.点P在圆上 D.不确定 B 易知点P(1,3)到圆x2+y2=24的圆心(0,0)的距离为,圆的半径为2, 因为,所以点P在圆内. 3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是　　　　.  (0,10) 由题意得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10). 4.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　　.  (x-2)2+(y-4)2=20 由即圆心为(2,4),从而r=,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程为(　　) A.x2+y2=2　　　　　　　 B.x2+y2=4 C.(x-2)2+(y-2)2=8 D.x2+y2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 2.已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的标准方程为(　　) A.(x-3)2+(y+4)2=100 B.(x+3)2+(y-4)2=100 C.(x-3)2+(y-4)2=25 D.(x+3)2+(y-4)2=25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 由题意,得线段OC的中点坐标为(3,4),以OC为直径的圆的半径为=5, 所以以OC为直径的圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.圆心为C(-1,2),且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的标准方程是(　　) A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x-1)2+(y+2)2=20 C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x+1)2+(y-2)2=20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 因为一条直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r=.又因为圆心为C(-1,2),所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是( 　　) A.圆M的圆心为(4,-3) B.圆M的圆心为(-4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的线段长为6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 由圆M:(x-4)2+(y+3)2=52, 得圆心为(4,-3),半径为5,则A,C正确; 令x=0,得y=0或y=-6,故圆M被y轴截得的线段长为6,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上存在到原点的距离为的点,则实数a可以为(　 　) A.-3 B.-1 C.0 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 法一:逐一验证可得A,B,D正确,C不正确. 法二:圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心(a,a)到原点的距离为|a|,半径r=2,因为圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点, 所以2,即1≤|a|≤3, 解得1≤a≤3或-3≤a≤-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心相同,且过点P(-1,1)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (x-2)2+(y+3)2=25 因为已知圆的圆心为(2,-3), 所以所求圆的圆心为(2,-3),所以所求圆的半径为=5, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 7.如图,是一个圆曲隧道的截面,点O为截面圆的圆心,若路面AB宽为10 米,净高CD为7米,则此隧道圆的半径是　　　　米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵OD⊥AB, ∴AD=DB=×10=5(米), 在Rt△OAD中,设半径OA=R米, 则OD=CD-R=7-R,∴OA2=OD2+AD2, 即R2=(7-R)2+52,解得R=. ∴此隧道圆的半径是米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知圆C过点O(0,0),A(1,1),B(4,2). (1)求圆C的标准方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆C过点O(0,0),A(1,1),B(4,2), 所以 所以圆C的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25. (2)判断点P(3,1)和圆C的位置关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)因为(3-4)2+(1+3)2=17<25,所以点P(3,1)在圆C内. 9.已知一个圆C:(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l:3x-4y+5=0,求圆C关于直线l对称的圆的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:圆C:(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为C(-2,6), 设所求圆C'的方程为(x-a)2+(y-b)2=1, 半径与圆C半径相等,其圆心为C'(a,b). ∵点C和点C'关于直线l:3x-4y+5=0对称, ∴点C和点C'的中点M在直线l上. ∴3·-4·+5=0, 即3a-4b-20=0.① ∵CC'⊥l,∴·=-1, 即4a+3b-10=0.② 联立①②,解得a=4,b=-2. 故所求圆C'的方程为(x-4)2+(y+2)2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.直线x+y+=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆+y2=1上,则△ABP面积的取值范围是(　　) A.[2,2] B.[2,4] C.[1,2] D.[1,3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 由题意得A(-,0),B(0,-),圆心为(,0),所以|AB|=2,圆心到直线AB的距离为=2,所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3,所以△ABP面积的最小值为×2×1=1,最大值为×2×3=3.所以△ABP面积的取值范围为[1,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)设圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列说法正确的是( 　　) A.无论k如何变化,圆心Ck都在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 易知圆心Ck(k,k)在直线y=x上,∴A中说法正确; 令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴方程2k2-6k+5=0无解,∴B中说法正确; 令(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,∴k2-4k+2=0有两个不相等的实数根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,∴C中说法错误; 易知圆Ck的半径为2,∴所有圆Ck的面积均为4π, ∴D中说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.圆经过A(2,5),B(-2,1)两点,并且圆心在直线y=x上,则圆的标准方程为 　　　　　　　　,圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (x-2)2+(y-1)2=16 1 由题意,得线段AB的中点为(0,3), 因为经过A(2,5),B(-2,1)的直线的斜率为=1, 所以线段AB的垂直平分线的方程为y=-x+3,与直线方程y=x联立,解得圆心坐标为(2,1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以圆的半径r==4, 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16. 因为圆心到直线3x-4y+23=0的距离d==5,所以圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为d-r=1. 13 13.如图,矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上. (1)求AD边所在的直线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)因为AB⊥AD,所以kAD=-=-3,E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6,-1)在直线AD上, 所以AD边所在直线的方程为y+1=-3(x-6), 即3x+y-17=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)联立 解得A(5.8,-0.4), r2=AM2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8. 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x-3)2+y2=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$