第1章 直线与方程 章末综合提升-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 章末综合提升 知识网络 考点一　直线的方程 直线方程的几种形式的转化 例1 　 已知直线l过点(1,2). (1)若直线l在y轴上的截距b、在x轴上的截距a满足b=3a,求直线l的方程; [分析]　(1)分直线过原点和不过原点,利用截距式直线方程解题即可; [解]　(1)根据题意:直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的3倍, 当直线l不过原点(0,0)时,设直线l为=1, 将(1,2)代入可得a=, 所以直线l的方程为3x+y-5=0; 当直线l过原点(0,0)时,直线l的斜率为=2, 所以直线l的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 综上,直线l的方程为3x+y-5=0或2x-y=0. (2)若直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,当△OAB的面积最小时,求直线l的方程. [分析] (2)利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. [解]　(2)设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0), 所以A,B(0,2-k), 所以S△OAB=×(2-k)=≥4, 当且仅当-k=-时,S△OAB=4⇔k2=4⇔k=-2,k=2(舍), 所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法,要注意各种形式的方程的适用条件,选择适当的直线方程的形式至关重要. 规律方法 1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.直线x+y+1=0在y轴上的截距是1 B.直线mx+y+m+2=0(m∈R)恒过定点(-1,-2) C.点(0,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,-1) D.过点(1,2)且在x轴y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0 跟踪训练 BC 由x+y+1=0可得y=-x-1,可得直线x+y+1=0在y轴上的截距是-1,故A项错误; 由mx+y+m+2=0可得m(x+1)+y+2=0,因为m∈R,则有 故直线mx+y+m+2=0(m∈R)恒过定点(-1,-2),故B项正确; 不妨设A(0,0),B(1,-1),直线l:x-y-1=0,因为直线AB的斜率为-1与直线l的斜率为1的乘积为-1,则得AB⊥l, 又由点A到直线l的距离为相等,且在直线l的两侧,故点(0,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,-1),故C项正确; 因为过点(1,2)且在x轴y轴上的截距相等的直线还有y=2x,故D项错误. 考点二　两条直线的位置关系 判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在,且分别为k1,k2,则k1=k2⇔l1∥l2. (2)若直线l1与l2的斜率都存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-1⇔l1⊥l2.(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 　(1)在平面直角坐标系中,若直线x+(a-2)y+1=0与直线ax+3y-1=0互相垂直,则实数a的值是(　　) A.-1　　　　 B. C. D.3 [分析]　(1)根据两直线垂直的条件列方程求解. 例2 C (1)直线x+(a-2)y+1=0与直线ax+3y-1=0互相垂直, 则1·a+(a-2)·3=0,解得a=. (2)(多选)已知直线l:y=x,点A(0,-1),则(　 　) A.过点A与l平行的直线的方程为y=x-1 B.点A关于l对称的点的坐标为(0,1) C.点A到直线l的距离为 D.过点A与l垂直的直线的方程为y=-x-1 [分析]　(2)由平行垂直求出直线方程判断A,D,写出对称点坐标判断B,由点到直线距离判断C. ACD (2)与直线y=x平行的直线方程可设为y=x+m,代入点A(0,-1)坐标得-1=0+m,即m=-1,即平行线方程为y=x-1,A正确; A关于l的对称点坐标为(-1,0),B错误; A到直线l的距离为d=,C正确; 与直线l垂直的直线方程可设为y=-x+n,代入A点坐标得-1=0+n,n=-1,直线方程即为y=-x-1,D正确. 一般式方程下两直线的平行与垂直 　　已知两直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 规律方法 2.(多选)已知直线l1:(a-2)x+y+a=0,l2:ax+(a-2)y-1=0,则(　 　) A.l1过定点(-1,-2) B.当a=2时,l1⊥l2 C.当a=0时,l1∥l2 D.当a=2时,l2的斜率不存在 跟踪训练 ABD 对于A,直线l1的方程化为(x+1)a-2x+y=0,令, 所以直线l1过定点(-1,-2),正确; 对于B,当a=2时,l1:y=-2,l2:x=,所以l1⊥l2,正确; 对于C,当a=0时,l1:y=2x,其斜率为2,l2:y=-,其斜率为0,故两直线相交,错误; 对于D,当a=2时,l2:x=,直线的倾斜角为,故l2的斜率不存在,正确. 考点三　直线的交点与距离 　已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R). (1)证明:直线l过定点; [分析]　(1)直线方程整理为关于m的方程,然后由恒等式知识得结论; 例3 (1)[证明]　由直线方程(m+2)x-(2m+1)y-3=0可得,(x-2y)m+(2x-y-3)=0, 直线l恒过定点(2,1). (2)已知点P(-1,-2),当点P到直线l的距离最大时,求实数m的值. [分析]　(2)利用过定点与P的直线和直线l垂直时,距离最大可得. (2)[解]　由题意可知,点P(-1,-2)到直线l的距离的最大值为点P到定点(2,1)的距离, 此时直线l与过点P和定点(2,1)的直线垂直, 则过P与定点的直线的斜率为=1,所以kl=-1, 所以=-1⇒m=-1. 1.点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可. (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. 规律方法 2.求两条平行线间距离的方法 求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1≠C2时,d=.但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. 3.原点到直线l:λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. C. 跟踪训练 D 设原点到直线l的距离为d,由点到直线的距离公式得: d=, 显然当λ<0时,有最大值,此时-, 因为(-λ)+=2,当且仅当λ=-1时等号成立, 所以=1,所以dmax=. $$