第1章 直线与方程 章末检测-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 章末检测(一) (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知直线的方程为x-y+=0,则该直线的倾斜角为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 直线x-y+=0的斜率k=1,所以该直线的倾斜角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知两条直线l1和l2,其斜率分别是一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根,则其位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.异面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 由题意,设两条直线l1和l2的斜率分别为k1,k2, 且为一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根, 则k1·k2=-1,所以l1⊥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知A(-2,0),B(4,m)两点到直线l:x-y+1=0的距离相等,则m=(　　) A.-2 B.6 C.-2或4 D.4或6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 点A到直线l的距离为, 点B到直线l的距离为, 因为点A到直线l的距离和点B到直线l的距离相等, 所以|5-m|=1,所以m=4或6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知a,b∈R,直线l1:ax+y+2=0,l2:3x+(a-2)y-6=0,则“a=3”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 由直线l1与l2不相交,得a(a-2)=3,解得a=-1或a=3, 当a=-1时,直线l1:-x+y+2=0与l2:3x-3y-6=0重合, 当a=3时,直线l1:3x+y+2=0与l2:3x+y-6=0平行, 所以“a=3”是“l1∥l2”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.直线kx-y+1-3k=0,当k变动时,所有直线都通过定点(　　) A.(3,1) B.(0,1) C.(0,0) D.(2,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 直线方程转化为(x-3)k-y+1=0, 令 所以直线过定点(3,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.如图,已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的方程为(　　) A.4x-3y-6=0 B.4x+3y+8=0 C.3x-4y+6=0 D.4x-3y+8=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 由题意易得AB所在的直线方程为:=1, 化简可得x+2y-22=0. 设点P(2,0)关于直线AB:x+2y-22=0的对称点A1(a,b), 则 点P关于直线AB对称的点为A1(10,16),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0). 直线MN即直线A1A2,则直线MN的方程为y=(x+2),即4x-3y+8=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知直线kx-y+2=0和以M(3,-2),N(2,5)为端点的线段相交,则实数k的取值范围为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 因为直线kx-y+2=0恒过定点A(0,2),如图.   又因为kAM=-,kAN=,所以直线的斜率k的范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.点P为两条直线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点,则点P到直线l:kx-y+k+2=0的距离最大为(　　) A. C. D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 由即P(1,1), 直线l:k(x+1)+2-y=0,所以直线过定点A(-1,2), 所以当直线AP与直线l垂直时,此时点P到直线l的距离最大, 且最大值为AP=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知直线l:x+y-1=0,则(　 　) A.直线l过点(,-2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为120° D.直线l在y轴上的截距为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 15 16 17 18 19 直线l:x+y-1=0,即直线l:y=-x+1, 令x=,可得y=-2,即直线l过点(,-2),故A正确; 可知直线l的斜率为-,故B错误; 设直线l的倾斜角为α,可知tan α=-, 所以α=120°,即直线l的倾斜角为120°,故C正确; 直线l在y轴上的截距为1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知直线l1:(a+2)x+3y+3=0与l2:x-y-2=0,则(　　) A.若a=1,则两直线垂直 B.若两直线平行,则a=5 C.直线l1恒过定点(0,-1) D.直线l2在两坐标轴上的截距相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 当a=1时,l1:x+y+1=0, k1=-1,k2=1,则k1k2=-1,所以两直线垂直,A正确; 若两直线平行,则(a+2)×(-1)-3×1=0,解得a=-5, 经检验,当a=-5时,两直线平行,B错误; 由l1:(a+2)x+3y+3=0,即3(y+1)=-(a+2)x, 所以直线l1恒过定点(0,-1),C正确; 由l2:x-y-2=0与两坐标轴的截距分别为-2,2,不相等,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰三角形ABC中,顶点A,B都在直线x-y=1上,下列判断中正确的是(　　) A.AB边上的高所在直线的方程为x+y-5=0 B.斜边AB的中点坐标是(3,3) C.点C到直线AB的距离为 D.△ABC的面积等于4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 由题意得过C(2,3)与直线x-y=1垂直的直线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0,两直线的交点即为AB的中点,设AB的中点为D,则D(3,2),则CD=,点C到直线AB的距离为,即由题意得AD=BD=,AB=2,S△ABC=AB·CD=2,故A,C正确,B,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知直线l1:2x+y-1=0与直线l2:x-my+2=0.若l1⊥l2,则m=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 15 16 17 18 19 因为l1⊥l2,所以2×1+1×(-m)=0,解得m=2. 13.1765年数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的欧拉线方程为　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 x+y-5=0 13 15 16 17 18 19 由题可知,△ABC的重心为G(3,2), 可得直线AB的斜率为=1,则AB边上高所在的直线斜率为-1, 则方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0, 直线AC的斜率为=-2,则AC边上高所在的直线斜率为, 则方程为y-2=(x-4),即x-2y=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 联立方程, 则直线GH斜率为=-1,则可得直线GH方程为y-2=-(x-3), 故△ABC的欧拉线方程为x+y-5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知P,Q分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-4,6),B(5,-1),则AP+PQ+QB的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10+ 15 16 17 18 19 因为l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0, 所以直线l1与l2间的距离为,又PQ⊥l1,故PQ=, 过B(5,-1)作直线l垂直于l1:x-y+1=0,如图, 则可设直线l的方程为x+y+c=0,代入B(5,-1), 得5-1+c=0,则c=-4, 所以直线l的方程x+y-4=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 将B(5,-1)沿着直线l往上平移个单位到B'点,设B'(a,-a+4), 则,解得a=4或a=6(舍去),则B'(4,0), 连接AB'交直线l1于点P,过P作PQ⊥l2于Q,连接BQ, 有BB'∥PQ,BB'=PQ,即四边形BB'PQ为平行四边形, 则PB'=BQ,即有AP+QB=AP+PB'=AB', 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 显然AB'是直线l1上的点与点A,B'距离和的最小值, 因此AP+QB的最小值,即AP+PB'的最小值为AB', 而AB'==10, 所以AP+PQ+QB的最小值为AB'+PQ=10+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点为M. (1)求过点M且与直线l3:x+3y+1=0垂直的直线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)联立方程x-2y+3=0与2x+3y-8=0,解得x=1,y=2,故M(1,2), 而x+3y+1=0的斜率为-,故所求直线斜率为3, 则所求直线方程为y-2=3(x-1),化简得y=3x-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求过点M且与直线l4:3x+4y-5=0平行的直线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解: (2)易知3x+4y-5=0的斜率为-,故所求直线斜率为-, 则所求直线方程为y-2=-(x-1),化简得y=-x+. 16.(15分)已知等腰△ABC的一个顶点C在直线l:2x-y+4=0上,底边AB的两端点坐标分别为A(-1,3),B(2,0). (1)求边AB上的高CH所在直线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)由题意可知,H为AB的中点, ∵A(-1,3),B(2,0), ∴H. 又kAB==-1, ∴kCH=-=1. ∴CH所在直线方程为y-,即x-y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求点C到直线AB的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(2)由所以C(-3,-2). 又直线AB方程为y=-(x-2),即x+y-2=0. ∴点C到直线AB的距离d=. 17.(15分)已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条中线交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 证明:根据已知条件画出平面直角坐标系,如图所示. 设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点, 易得坐标为E,F(1,0),G. 所以得中线AF所在直线的方程为x=1, 中线BG所在直线的方程y+1=(x+2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 中线CE所在直线的方程为y-1=-(x-4), 联立, 检验可知P满足中线CE所在直线的方程, 故△ABC的三条中线交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知直线l:kx-y+1-2k=0(k∈R). (1)求证:直线l经过一个定点; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:直线l:kx-y+1-2k=0(k∈R),化为y=k(x-2)+1,当x=2时,对任意实数k,恒有y=1, 所以直线l过定点(2,1). (2)若直线l交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:依题意,显然k≠0,直线l:kx-y+1-2k=0(k∈R)交x轴于点A,交y轴于点B(0,1-2k), 而点A,B分别在x,y轴的正半轴上,即2->0,1-2k>0,于是k<0, 则△AOB的面积为S=(1-2k)=2+=4, 当且仅当4(-k)=,即k=-时取等号, 所以当k=-时,Smin=4,直线l的方程为x+2y-4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明:ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x-x1|+|y-y1|+|x2-x|+|y2-y| ≥|x-x1+x2-x|+|y-y1+y2-y| =|x2-x1|+|y2-y1|=ρ(A,B). 所以ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足:①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B);②ρ(A,C)=ρ(C,B)?若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:先考虑相异两点A,B的特殊情况,当A,B两点横坐标或者纵坐标相同时,AB即是平行于y轴或者x轴的直线段,符合条件的C点即为AB的中点(这属于折线的特殊情况——直线).当A,B两点的横、纵坐标各异,即x1≠x2,y1≠y2时,不妨设x1<x2,下面讨论y1<y2,y1>y2两种情况. 假设y1<y2,则由条件①可得|x-x1|+|y-y1|+|x2-x|+|y2-y|=|x2-x1|+|y2-y1|, 故(x-x1)(x2-x)≥0,(y-y1)(y2-y)≥0,即x1≤x≤x2,y1≤y≤y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又由条件②ρ(A,C)=ρ(C,B),即|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|, 去掉绝对值符号可得x-x1+y-y1=x2-x+y2-y, 即x+y=,也即y=-x+,所以所求点C的全体为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 同理，假设y1>y2，当x1≤x≤x2，y2≤y≤y1时， 可得x－y＝ － ，所以所求点C的全体为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$