1.5.2 点到直线的距离-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 1.5　平面上的距离 1.5.2　点到直线的距离 [学习目标]　1.掌握点到直线的距离公式,会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式,并会求两平行线之间的距离. [素养目标]　水平一:点到直线的距离公式及应用;两平行线间的距离公式及应用.(数学运算) 水平二:点到直线的距离公式的推导.(数学建模、逻辑推理) 学习引语　 　　在铁路的附近,有一大型仓库,现要修建一条公路与之连接起来,易知,从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l,仓库看作点P.若已知直线l的方程和点P的坐标(x0,y0),如何求P到直线l的距离呢? 探究活动1　点到直线的距离公式 内容索引 探究活动2　两条平行直线间的距离 课时作业 巩固提升 探究活动3　距离公式的综合应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　点到直线的距离公式 问题　如图,在平面直角坐标系中,已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),怎样求出点P到直线l的距离呢? 提示　根据定义,点P到直线l的距离是点P 到直线l的垂线段的长, 如图,过点P作l的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可 知l'的斜率为, ∴l'的方程为y-y0=(x-x0), 与l的方程联立方程组,解得交点Q, ∴PQ=. 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d= . 知识生成 温馨提醒　1.利用公式时直线的方程必须是一般式. 2.分子含有绝对值. 3.若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. 例1 　求点P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0; 知识应用 [解]　(1)由点到直线的距离公式知 d=. (2)x+y=2; [解]　(2)因为直线方程可化为x+y-2=0, 所以d=. (3)y-1=0. [解]　(3)法一:由点到直线的距离公式得 d==1. 法二:∵直线y-1=0与x轴平行, ∴由图象知d=|2-1|=1. 点到直线的距离的求解方法 1.求点到直线的距离,首先要把直线方程化成一般式,然后利用点到直线的距离公式求解. 2.已知点到直线的距离求参数值或范围时,只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程或不等式(组)求解即可. 反思感悟 1.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是(　　) A.[-10,10]　　　　　　　 B.[-10,5] C.[-5,5] D.[0,10] 跟踪训练 D 由题意得,点P到直线的距离为 . 又≤3, 即|15-3a|≤15, 解得0≤a≤10, 所以a的取值范围是[0,10]. 探究活动2　两条平行直线间的距离 问题　怎样求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离(A,B不时为0,C1≠C2)? 提示　在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离,就是这两条平行直线间的距离即d=, 因为点P(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上, 所以Ax0+By0+C1=0, 即Ax0+By0=-C1, 因此d=. 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2) 之间的距离d= ____________________. 知识生成 温馨提醒　1.两条平行直线间的距离:指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2.两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. 3.运用两平行直线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同. 　(1)直线2x+3y+1=0与4x+my+7=0平行,则它们之间的距离为(　　) A.4　　　　　　　　　　 B. C. 例2 知识应用 C (1)由题意,得2m-3×4=0,∴m=6. 故两直线2x+3y+1=0与4x+6y+7=0的距离d=. (2)已知动点P在直线l1:3x-4y+1=0上运动,动点Q在直线l2:6x+my+4=0上运动,且l1∥l2,则PQ的最小值为(　　) A. C. C (2)因为l1∥l2,所以,解得m=-8,化简得l2:3x-4y+2=0. 设l1,l2间的距离为d,则d=, 由平行线的性质知PQ的最小值为. 求两条平行直线间的距离的方法 1.直接利用两条平行直线间的距离公式. 2.若转化为一条直线上的一点到另一条直线的距离,则取点一般要特殊化,如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点等. 反思感悟 2.两条平行线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0的距离为(　　) A.3 B.2 C.1 D. 跟踪训练 C d==1. 3.(多选)若直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,则实数c的值为(　　) A.9 B.-9 C.11 D.-11 BC ∵直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,∴,解得c=11或c=-9. 探究活动3　距离公式的综合应用 　已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程. 例3 知识应用 [解]　设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5). 由得正方形的中心坐标为P(-1,0), 由点P到两直线l,l1的距离相等,得,解得c=7或c=-5(舍去).∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线与l垂直, ∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等, ∴,解得a=9或a=-3, ∴另两条边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0. 最值问题 1.利用对称转化为两点之间的距离问题. 2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. 3.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值. 反思感悟 4.设x,y为实数,则的最小值为(　　) A.3　　　　　　　　　B.5 C. 跟踪训练 C 由平面内两点间的距离公式,知原式表示动点P(x,y)到定点A(0,2)和B(3,1)的距离之和.由“两点之间线段最短”,得点P(x,y)在线段AB上时,取得最小值,最小值为AB=. 1.牢记2个公式 (1)点到直线的距离公式. (2)两平行直线间的距离公式. 2.重点掌握2种规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法. (2)求两条平行直线间的距离的方法. 3.注意1个易错点 求两条平行线间距离时易用错公式. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.点P(1,2)到直线y=2x+1的距离为(　　) A. C. A d=. 2.两平行直线x+y+2=0与x+y-3=0间的距离等于(　　) A. C.5 A d=. 3.已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等,则a=(　　) A.2 B. C.2或-8 D.2或 D 由题意得,即|13-4a|=5,解得a=2或a=. 4.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程是 　　　　　　　　.  2x-y+1=0 设l的方程为2x-y+m=0,由题意知,解得m=1. 故所求直线方程为2x-y+1=0. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.平行直线l1:3x-y=0与l2:3x-y+=0之间的距离等于(　　) A.1　　　　　　　　 B.0 C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A d==1. 2.已知坐标原点到直线x+y+a=0的距离小于,则实数a的取值范围为(　　) A.(-2,2) B.[-2,2] C.[-,] D.(-,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 由点到直线的距离公式可知,解得-2<a<2,即a的取值范围为(-2,2). 3.已知O为原点,点P在直线x+y-1=0上运动,那么OP的最小值为(　　) A. B.1 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A OP的最小值为原点O到直线x+y-1=0的距离d=. 4.若动直线l经过点P(1,3),当点Q(3,-3)到直线l的距离最远时,直线l的方程为(　　) A.3x+y-6=0 B.3x+y+6=0 C.x-3y+8=0 D.x+3y-10=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C ∵直线l经过点P(1,3),∴当点Q(3,-3)到直线l的距离最远时有PQ⊥l,又直线PQ的斜率等于=-3,∴直线l的斜率等于,则直线l的方程为y-3=(x-1),即x-3y+8=0. 5.(多选)与直线3x-4y+1=0平行且与此条直线间的距离为3的直线的方程可能是(　　) A.3x-4y-14=0 B.3x-4y-2=0 C.3x-4y+4=0 D.3x-4y+16=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 设直线的方程为3x-4y+c=0,从而=3,解得c=-14或c=16. 6.(多选)设直线l:ax+(2a+3)y-3=0与n:(a-2)x+ay-1=0,则(　 　) A.当a=-2时,l∥n B.当a=时,l⊥n C.当l∥n时,l,n之间的距离为 D.坐标原点到直线n的距离的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 当a=-2时,l:2x+y+3=0,n:2x+y+=0,易知l∥n,故A正确;当a=时,l:x+11y-9=0,n:5x-y+3=0,因为5×1+11×(-1)=-6≠0,故l⊥n不成立,故B错误;l∥n时,a2=(2a+3)(a-2),则a2-a-6=(a-3)(a+2)=0,可得a=3或a=-2,当a=3时,l:x+3y-1=0与n:x+3y-1=0重合,舍去,所以a=-2,由A知它们间的距离d=,故C正确;坐标原点到直线n的距离h=,故a=1时h取最大值,hmax=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,则直线l的方程为 　　　　　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x+2=0或5x+12y-26=0 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0, 由d==2, 得k=-,即直线l的方程为5x+12y-26=0. 综上,直线l的方程为x+2=0或5x+12y-26=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.过点M(-2,1)且与点A(-1,0),B(3,0)的距离相等的直线的方程是 　　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y=1或x+3y-1=0 由题意得满足条件的直线的斜率存在,所以可设所求直线的方程为y=k(x+2)+1,即kx-y+2k+1=0,因为该直线与点A(-1,0),B(3,0)的距离相等,所以,所以|k+1|=|5k+1|,解得k=0或k=-,所以所求直线的方程为y=1或x+3y-1=0. 9.已知△ABC的三个顶点分别为A(m,n),B(2,1),C(-2,3). (1)求BC边所在直线的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意得BC边所在直线的方程为,即x+2y-4=0. (2)BC边上的中线AD所在直线的方程为2x-3y+6=0,且S△ABC=7,求点A的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)BC边上的中线AD所在直线的方程为2x-3y+6=0,所以2m-3n+6=0, 点A到直线BC的距离为,BC=,因为S△ABC=7,所以·=7,即|m+2n-4|=7, 因此 所以点A的坐标为(3,4)或(-3,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(-3,-1)两点,如果两条平行直线间的距离为d,求: (1)d的取值范围; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)如图,当两条平行直线与AB垂直时,两平行直线间的距离最大,为 d=AB=; 当两条平行线各自绕点B,A逆时针旋转时, 距离逐渐变小,越来越接近于0, 所以0<d≤3, 即所求的d的取值范围是(0,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)当d取最大值时,两条直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)当d取最大值3时,两条平行线都垂直于AB, 它们的斜率k=-=-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6) 和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. [B组] 11.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B ∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等, ∴,∴m=2, ∴直线l1:2x+2y-4-2=0,即x+y-3=0, ∴直线l1与直线l2平行, ∴直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使得PM=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 点M(5,0)到直线y=x+1的距离d1=>4,故A不符合题意;点M(5,0)到直线y=2的距离d2=2<4,故B符合题意;点M(5,0)到直线y==4,故C符合题意;点M(5,0)到直线y=2x+1的距离d4=>4,故D不符合题意. 13 14 13.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个 脸部按照前额发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颌 的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的,五眼:指 脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至 右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2 cm,五眼中一眼的宽度为1 cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和 第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为　　　　cm.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界所在直线为x轴,建立平面直角坐标系, 则A,B, 所以直线AB:,即x-y+=0, 故原点O(0,0)到直线AB的距离为(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是. (1)求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)l2的方程即为2x-y-=0, ∴l1和l2的距离d=, ∴. ∵a>0,∴a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上, 且, 即c=. ∴2x0-y0+=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得 ·, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵点P在第一象限,∴3x0+2=0不符合题意. 联立方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得x0=-3,y0=,应舍去. 联立 解得x0=,y0=. ∴P即为同时满足三个条件的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$