1.5.1 平面上两点间的距离-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 [学习目标]　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题. [素养目标]　水平一:求两点间的距离公式及应用.(数学运算) 水平二:利用坐标法解决平面几何问题.(数学建模) 学习引语　 　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小? 探究活动1　平面上两点间的距离 内容索引 探究活动2　两点间距离公式的应用 课时作业 巩固提升 探究活动3　坐标法的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　平面上两点间的距离 问题1　在数轴上已知两点A,B,如何求A,B两点间的距离? 提示　AB=|xA-xB|. 问题2　已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),怎样求这两点间的距离? 提示　(1)当P1P2与x轴平行时,P1P2=|x2-x1|; (2)当P1P2与y轴平行时,P1P2=|y2-y1|; (3)当P1P2与坐标轴不平行时, 如图,在Rt△P1QP2中,P1, 所以P1P2=. 即两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离 P1P2=. 两点间的距离公式 平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式P1P2=　　　　　　　　　　　. 特别地,当x1=x2=0,即两点在y轴上时, P1P2=　　　　;当y1=y2=0,即两点在x轴上时,P1P2=　　　　.  知识生成 　 |y1-y2| |x1-x2| 例1 　(1)M(3,-7),N(5,-3)两点间的距离为(　　) A.2　　　　　　　　　 B. C.2 D.15 知识应用 C (1)由题意得MN=. (2)已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则△ABC的中线AD的长是(　　) A. B.3 C. A (2)由题意可知,线段BC的中点为D, 故AD=. 计算两点间距离的方法 1.对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则P1P2=. 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解. 反思感悟 1.若点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为 　　　　　　　　　.  跟踪训练 (2,10)或(-10,10) 由点M到x轴的距离等于10可知,其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM,±10). 由两点间距离公式,得MN==10, 解得xM=2或xM=-10, 所以点M的坐标为(2,10)或(-10,10). 探究活动2　两点间距离公式的应用 　(1)已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标为　　　　　　　　　　.  例2 知识应用 (11,0)或(-5,0) (1)设点P的坐标为(x,0), 由PA=10得=10, 解得x=11或x=-5. ∴点P的坐标为(11,0)或(-5,0). (2)已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),则△ABC的形状为　　　　　　　　　　.  等腰直角三角形 (2)法一:由题意得AB=,AC=, BC=, ∴AB=AC,且AB2+AC2=BC2. ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二:由题意得kAC=,kAB=, ∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB. 又AC=, AB=, ∴AC=AB. ∴△ABC是等腰直角三角形.   1.已知距离求参数,一般通过两点间的距离公式建立方程求解,但是求出的值需要检验. 2.判断三角形的形状,先根据两点间的距离公式分别求出三边的长,再结合三角形的性质判断. 反思感悟 2.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且AB=AC,则实数a的值为(　　) A.-2　　　　　　　　　 B.-1 C.1 D.2 跟踪训练 A 由两点间的距离公式,及AB=AC可得,,解得a=-2. 探究活动3　坐标法的应用 　已知在正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF相交于点G,用坐标法求证:AG=AD. 例3 知识应用 [证明]　建立如图所示的平面直角坐标系, 设正方形的边长为2, 则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2). 易得直线DE的方程为y=2x-2, 直线CF的方程为y=-x+1, 联立 解得x=,y=, 即点G, 所以AG==2=AD. 用坐标法证明平面几何问题时的注意事项 1.用坐标法证明平面几何问题时,首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系,然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标. 2.根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标. 3.在证明过程中要不失一般性. 反思感悟 3.已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD. 跟踪训练 证明:如图所示,建立平面直角坐标系, 设A(0,0),B(a,0),C(b,c), 则点D的坐标是(a-b,c). ∴AC=, BD=. 故AC=BD. 1.牢记1个公式 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1P2=. 2.掌握1种方法 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量 → 第二步:进行有关代数运算 → 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知点P(2,3),点Q(1,4),则PQ=(　　) A.4　　　　　　　　　B.2 C. C 由题意得PQ=. 2.已知点A(2,m)与点B(m,1)间的距离是,则实数m=(　　) A.-1 B.4 C.-1或4 D.-4或1 C ∵AB=,∴m2-3m-4=0,解得m=-1或m=4. 3.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 D 由题意得AB=, BC=, AC=, 则AB≠BC≠AC,AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形. 4.求直线l:y=x被两条平行直线x+y-2=0和x+y-4=0截得的线段的长为　　.  由解得交点坐标为(1,1),由解得交点坐标为(2,2),∴所求线段的长为. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.若A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则等于(　　) A. C.3 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D AC=4,CB=2,故=2. 2.点M1(2,-5)与M2(5,y)之间的距离是5,则y=(　　) A.-9 B.-1 C.-9或-1 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 由题意得=5,即(y+5)2=16,解得y=-1或y=-9. 3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是(　　) A.2 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 由中点坐标公式可得,BC边的中点D. 由两点间的距离公式得AD=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则AB的值为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B, 由两点间的距离公式,得AB=. 5.(多选)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是(　　) A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-1,2) D.(0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 设所求点的坐标为(x0,y0),有 x0+y0-1=0,且, 两式联立解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)可看作(　 　) A.点(x,0)与点(1,2)之间的距离 B.点(x,0)与点(-1,-2)之间的距离 C.点(x,0)与点(-1,2)之间的距离 D.点(x,-1)与点(-1,1)之间的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 由题意得, ∴可看作点(x,0)与点(-1,-2),点(x,0)与点(-1,2),点(x,-1)与点(-1,1)之间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.两条垂直直线l1:2x+y+1=0与l2:ax+4y-6=0的交点到原点的距离为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为直线l1:2x+y+1=0与l2:ax+4y-6=0垂直,所以-2·=-1,解得a=-2,所以直线l2:-2x+4y-6=0,即x-2y+3=0,由所以两直线交于点(-1,1),则交点到原点的距离为. 8.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点距离的最小值是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由两点间的距离公式得P到原点的距离为, ∴最小值为 . 9.如图,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.用坐标法证明:AE=CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴,过B点且垂直于AC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c, 则A(-a,0),C(c,0),E,D, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴AE=, CD=, ∴AE=CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使AB=5,求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 y+1=k(x-1), 解方程组 即B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由AB==5, 解得k=-, 所以直线l的方程为y+1=-(x-1), 即3x+4y+1=0. 当过A点的直线的斜率不存在时,方程为x=1. 此时,与l1的交点为(1,4),也满足题意. 综上所述,直线l的方程为3x+4y+1=0或x=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.在平面直角坐标系中,已知点A(2cos 80°,2sin 80°),B(2cos 20°,2sin 20°),那么AB=(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A AB= = ==2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”为||PQ||=|x1-x2|+|y1-y2|.已知不同三点A,B,C满足||AC||+||BC||=||AB||,则下列结论正确的是(　　 ) A.A,B,C三点可能共线 B.A,B,C三点可能构成锐角三角形 C.A,B,C三点可能构成直角三角形 D.A,B,C三点可能构成钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设点C(0,0),A(1,0),B(t,s),则||AC||=1,||BC||=|t|+|s|,||AB||=|t-1|+|s|,由||AC||+||BC||=||AB||得1+|t|=|t-1|, 当s=0,t<0时,A,B,C三点共线,且有1+|t|=|t-1|成立,A正确; 当s≠0时,A,B,C三点不共线, 若t=0,则∠ACB=90°,且1+|t|=|t-1|成立,△ABC为直角三角形,C正确; 若t<0,显然∠ACB是钝角,且1+|t|=|t-1|成立,△ABC为钝角三角形,D正确; 若t>0,则1+|t|=|t-1|不成立,所以A,B,C三点不可能构成锐角三角形,B不正确. 13 14 13.函数y=的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 4 13 y= =, 上式表示x轴上一点(x,0)到点A(-2,2),B(2,2)距离的和, 如图所示,设A'(-2,-2)为点A关于x轴的对称点,则当点 (x,0)为直线A'B与x轴的交点时,点(x,0)到A,B两点距离的和最小,最小值为A',B两点间的距离. 因为A'B=,所以函数的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,用坐标法证明: (AB2+BC2+AC2)=AD2+BE2+CF2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:以B为原点,BC所在直线为x轴,过B且 垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标 系,如图所示. 设C(a,0),A(b,c),则D,F,E, ∴(AB2+BC2+AC2)=(b2+c2+a2+a2-2ab+b2+c2)= (a2+b2+c2-ab),AD2+BE2+CF2=(a2+b2+c2-ab), ∴(AB2+BC2+AC2)=AD2+BE2+CF2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$