1.4 两条直线的交点-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 1.4　两条直线的交点 [学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. [素养目标]　水平一:求两直线的交点坐标.(数学运算) 水平二:理解方程组解的个数与两条直线之间的位置关系的联系.(数学建模) 学习引语　 　　点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,那么我们会有Ax0+By0+C=0,若P(x0,y0)同时在两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0上时,我们会有Aix0+Biy0+Ci=0(i=1,2),那么点P就是这两条直线的交点.下面我们就来研究两直线的交点问题. 探究活动1　两条直线的交点 内容索引 探究活动2　直线交点的应用 课时作业 巩固提升 探究活动3　过两直线交点的直线系方程的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　两条直线的交点 问题　点A(-2,2)是否在直线l1:3x+4y-2=0和直线l2:2x+y+2=0上,点A和直线l1,l2有什么关系? 提示　在,点A是直线l1与l2的交点. 判断两直线的位置关系的方法 知识生成 方程组的解的情况 一组解 无数 组解 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一 无数 零 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 例1 　分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 知识应用 [解]　法一:(1)方程组 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1). (2)方程组有无数个解, 这表明直线l1和l2重合. (3)方程组无解, 这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. 法二:(1)∵=2,,, ∴l1与l2相交, 由 故l1与l2的交点为(3,-1). (2)由,知l1与l2重合. (3)l2方程为2x+y-3=0, 由知直线l1与l2平行. 求两直线的交点坐标的解题思路 　　求两相交直线的交点坐标,其关键是解二元一次方程组,常用的方法有加减消元法和代入消元法. 反思感悟 1.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标. (1)l1:3x-y+1=0,l2:2x-9y-16=0; 跟踪训练 解:(1)解方程组 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(-1,-2). (2)l1:x-4y+1=0,l2:3x-12y+3=0. 解: (2)法一:联立得方程组①×3得3x-12y+3=0. ①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,即l1和l2重合. 法二:因为, 所以l1和l2重合. 探究活动2　直线交点的应用 　(1)若三条直线4x+3y-2=0,2x-y-6=0,ax+2y+8=0相交于一点,则a= 　　　　.  例2 知识应用 -2 (1)联立即两直线的交点的坐标为(2,-2). 又点(2,-2)也在直线ax+2y+8=0上,所以将其代入得2a-4+8=0,解得a=-2. (2)直线kx-6y=0与直线2x-6y+3=0有且只有一个交点,则k的取值范围是　　　　.  {k|k≠2} (2)当直线kx-6y=0与2x-6y+3=0平行时,k=2, 所以当两直线有且只有一个交点时,k≠2. 　　利用交点求参数的值或取值范围的关键是求出交点的坐标,然后根据交点的坐标建立方程(组)求解. 反思感悟 2.若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=-2x+4的交点在第一象限内,求实数k的取值范围. 跟踪训练 解:法一:由直线l1,l2有交点,得k≠-2.由 即交点坐标为.又交点在第一象限内,所以 <k<2. 法二:由题意知,直线l1:y-2=k(x+1)的斜率为k,过定点(-1,2),设为点P,直线l2与x轴、y轴分别交于点(2,0),(0,4),分别设为点A,点B.若直线l1与l2的交点在第一象限内,则l1必过线段AB上的点(不包括点A,B).因为kPA=-,kPB=2,所以-<k<2. 探究活动3　过两直线交点的直线系方程的应用 　求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. 例3 知识应用 [解]　法一:解方程组 ∴P(0,2). ∵,且l⊥l3,∴kl=-. 由斜截式可知l的方程为y=-x+2, 即4x+3y-6=0. 法二:设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. 又∵l⊥l3, ∴3×(1+λ)+(-4)·(λ-2)=0, 解得λ=11. ∴直线l的方程为4x+3y-6=0. 1.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C). 2.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+λ=0. 3.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). 反思感悟 3.求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 跟踪训练 解:法一:解方程组 得 所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x+y-1=0平行, 所以所求直线的斜率为-3. 故所求直线方程为y+, 即15x+5y+16=0. 法二:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0, 即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*) 由于所求直线与直线3x+y-1=0平行, 所以有 得λ=. 代入(*)式,得=0, 即15x+5y+16=0. 1.牢记1个关系 方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系. 2.掌握2种方法 (1)两条直线相交的判定方法. (2)经过两直线交点的直线系方程的设法. 3.常见误区 对两直线相交条件认识模糊. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点坐标是(　　) A.(-2,-1)　　　　　　　 B.(-1,-2) C.(1,2) D.(2,1) B 联立所以两直线的交点坐标是(-1,-2). 2.下列直线中,与直线x+y-1=0相交的是(　　) A.2x+2y=6 B.x+y=0 C.y=-x-3 D.y=x-1 D 直线x+y-1=0的斜率为-1,只有D选项中的直线的斜率不是-1,所以两直线相交. 3.已知直线l1:x-y+4=0与直线l2:2x+y-1=0相交于点P,则过点P且过原点的直线方程为　　　　.  y=-3x 解方程组所以P(-1,3),所以过点P和原点的直线方程为y=-3x. 4.直线ax+2y+8=0,x+3y-4=0和5x+2y+6=0相交于一点,则a的值为　　.  6 解方程组 ∴直线x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点坐标为(-2,2),代入直线方程ax+2y+8=0, 得-2a+4+8=0,∴a=6. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为(　　) A.(3,2)　　　　　　 B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 解方程组 2.已知直线l1:ax+y+1=0与l2:2x-by-1=0相交于点M(1,1),则a+b=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A ∵点M(1,1)在直线l1和l2上, ∴∴a+b=-1. 3.不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点(　　) A.(-3,-1) B.(-2,-1) C.(-3,1) D.(-2,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,令 ∴直线l恒过定点(-3,1). 4.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于(　　) A. C.1+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A lAC:=1,即3x+2y-6=0.由 因为S△ABC=,所以,得a=(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列选项中,正确的有(　　) A.直线l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3) B.直线l1:x-2y+4=0和l2:2x-4y+8=0的交点坐标为(2,1) C.直线l1:2x+y+2=0和l2:y=-2x+3的交点坐标为(-2,2) D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 方程组因此直线l1和l2相交,交点坐标为(1,3),A正确; 方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合,B错误; 方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2,C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方程组 所以三条直线两两相交且交于同一点(1,1),D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)设直线l1:y=px+q,l2:y=kx+b,则下列说法错误的是(　　) A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系Oxy内任意一条直线 B.若l1与l2重合,则必有p=k且q=b C.l1∥l2的充要条件是p=k D.若l1与l2相交,则必有p≠k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 对于A,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=m(m为直线与x轴的交点的横坐标),此时直线l1或l2的方程无法表示,故A中说法错误;易知B中说法正确;对于C,当p=k且q≠b时,l1∥l2,故C中说法错误;对于D,若l1与l2相交,则两直线斜率不等,故D中说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.若关于x的二元一次方程组有无穷多组解,则m=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -2 二元一次方程组有无穷多组解,即两个方程对应的直线重合,由4×1=m·m,解得m=2或m=-2.经检验,m的值为-2. 8.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则m=　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -2 由两直线垂直得2a-10=0,解得a=5. 又点(1,m)在直线上, 所以a+2m-1=0, 所以m=-2. 9.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标. (1)l1:4x-y+6=0,l2:x-2y+5=0; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)解方程组 得 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(-1,2). (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y+8=0; 解: (2)解方程组①×2得6x-2y+8=0. 方程组有无穷多组解,即①和②表示同一条直线,即l1和l2重合. (3)l1:2ax-4y+1=0,l2:ax-2y+3=0. 解: (3)因为,所以l1和l2平行. 10.已知直线l1:2x-y+6=0和l2:x-y+1=0的交点为P. (1)若直线l经过点P且与直线l3:4x-3y-5=0平行,求直线l的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)联立即P(-5,-4). 设直线l的方程为4x-3y+c=0,将P点的坐标代入,得c=8,所以直线l的方程为4x-3y+8=0. (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线m的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)法一:易知直线m在两坐标轴上的截距均不为0,设直线方程为=1, 由题意得=1, 即2x-5y-10=0或8x-5y+20=0. 法二:设直线m的斜率为k(k≠0),则m的方程为y+4=k(x+5). 当x=0时,y=5k-4; 当y=0时,x=-5. 所以=5,解得k=,所以直线m的方程为y+4=(x+5)或y+4=(x+5),即2x-5y-10=0或8x-5y+20=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 由2a+b=1,得b=1-2a,代入直线方程ax+3y+b=0中,得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0,令. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(　　) A.无论k,P1,P2如何,方程组总有解 B.无论k,P1,P2如何,方程组总有唯一解 C.存在k,P1,P2,方程组无解 D.存在k,P1,P2,方程组有无穷多解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点, 所以k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1. ①×b2-②×b1得(a1b2-a2b1)x=b2-b1,即(a1-a2)x=b2-b1,所以无论k,P1,P2如何,方程组总有唯一解. 13 14 13.台球运动中反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)处无旋转射入,经过直线y=1(桌边)上的点P反弹后, 经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 点A(-2,3)关于y=1对称的点为A'(-2,-1),∴直线A'B的方程为,即8x-7y+9=0,由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.如图,已知在△ABC中, A(-8,2), AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设B(x0,y0), 则AB的中点E的坐标为, 由条件可得 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得即B(6,4). 同理可求得C点的坐标为(5,0). 故所求直线BC的方程为, 即4x-y-20=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$