1.3.2 两条直线的垂直-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 1.3　两条直线的平行与垂直 第2课时　两条直线的垂直 [学习目标]　1.记住两直线垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线垂直.3.能利用两直线垂直的条件解决有关问题. [素养目标]　水平一:两直线垂直的条件及应用.(数学建模) 水平二:在利用两直线垂直的条件时,对字母取值的讨论.(数据分析、逻辑推理) 学习引语　 　　除平行外,生活中也存在很多垂直关系,比如十字路口,黑板相邻两边等等,上节课我们学习了两条直线平行的判定方法,研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系,当斜率存在时,斜率也有联系,那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢? 探究活动1　两条直线垂直关系的判定 内容索引 探究活动2　求与已知直线垂直的直线方程 课时作业 巩固提升 探究活动3　平行与垂直关系的综合应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　两条直线垂直关系的判定 问题1　若两条垂直直线的斜率都存在,那么它们的斜率有怎样的关系呢? 提示　如图,   如果直线l1⊥l2(l1,l2都不与x轴垂直),那么直线l1,l2的倾斜角α1,α2中必定一个是锐角,另一个是钝角.不妨设α2是钝角,则α2=α1+,从而k2= tan α2=tan,即k1k2=-1. 问题2　反过来,如果两条直线斜率的乘积为-1,这两条直线互相垂直吗? 提示　两条直线垂直. 1.如图①,若两条直线　　　　,如果它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果它们的斜率之积等于　　　　,那么它们互相垂直,即l1⊥l2⇔　　　　(k1,k2均存在).  2.如图②,若l1与l2中的一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1与l2的位置关系是　　　　.  知识生成 都有斜率　 -1 　k1k2=-1 垂直 例1 　判断下列各题中直线l1与l2是否垂直. (1)直线l1:2x-4y+7=0,直线l2:2x+y-5=0; 知识应用 [解]　(1)法一:由题意知,直线l1的斜率k1=, 直线l2的斜率k2=-2, ∵k1·k2=×(-2)=-1, ∴l1与l2垂直. 法二:∵2×2+(-4)×1=0,∴l1⊥l2. (2)直线l1:y-2=0,直线l2:x-ay+1=0; [解]　(2)当a=0时,直线l2的方程为x=-1,即l2的斜率不存在,又直线l1的斜率为0,故两直线垂直. 当a≠0时,直线l2的斜率为, 又直线l1的斜率为0,故两直线不垂直. 综上,a=0时,两直线垂直;a≠0时,两直线不垂直. (3)直线l1经过点,,l2经过点,. [解]　(3)由已知得,直线l1的斜率k1=, 直线l2的斜率k2=. ∵k1·k2≠-1,∴两条直线不垂直. 1.判断两直线是否垂直的依据是:当这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行(或重合)时,两直线也垂直. 2.直接使用A1A2+B1B2=0判断两条直线垂直. 反思感悟 1.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; 跟踪训练 解:(1)由题意可知,四边形ABCD四边所在直线斜率均存在.设D(a,b),∵四边形ABCD为平行四边形, ∴kAB=kCD,kAD=kBC, ∴ 解得∴D(-1,6). (2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形. 解: (2)∵kAC==1, kBD==-1, ∴kAC·kBD=-1.∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形. 探究活动2　求与已知直线垂直的直线方程 　求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 例2 知识应用 [解]　法一:设直线l的斜率为k, ∵直线l与直线2x+y-10=0垂直, ∴k·(-2)=-1, ∴k=, 又∵直线l经过点A(2,1), ∴直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0. 法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0. ∵直线l经过点A(2,1), ∴2-2×1+m=0, ∴m=0. ∴直线l的方程为x-2y=0. 　　求与已知直线垂直的直线方程时,要看原直线斜率是否存在,若存在,利用斜率乘积等于-1求斜率,若不存在,则所求斜率为0,然后用点斜式求直线方程. 反思感悟 2.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直线的方程为　　　　　　　.  跟踪训练 3x-5y+15=0 设BC边上的高为AD,则BC⊥AD, 所以kAD·kBC=-1, 因为kBC=, 所以-·kAD=-1,解得kAD=, 所以BC边上的高所在直线的方程为y-0=(x+5),即3x-5y+15=0. 探究活动3　平行与垂直关系的综合应用 　(1)已知m,n为正数,且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直,则m+2n的最小值为　　　　.  例3 知识应用 9 (1)∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直, ∴n-(n-2)m=0, ∴2m+n=mn, ∴=1, ∴m+2n=(m+2n)=5+=9, 当且仅当m=n=3时取等号. (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m+1)x+y-2=0和 4m2x+(m+1)y-4=0,则实数m的值为　　　　.  -或-1 (2)由题意,可知两直线平行或垂直, 则或(m+1)·4m2+1·(m+1)=0, 解得m=-或m=-1. 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 1.通过条件结合图形寻找相关的垂直关系. 2.直线l1:A1x+B1y+C1=0, 直线l2:A2x+B2y+C2=0, 若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 反思感悟 3.若直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是(　　) A.-4　　　　　　　　 B.2 C.-2 D.4 跟踪训练 C ∵直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直, ∴a+3+a-1=0, ∴a=-1, ∴直线l1的方程为2x+y+4=0, ∴直线l1在x轴上的截距是-2. 1.牢记两条直线垂直的判定条件. 2.掌握3种解决问题的方法 (1)判断两条直线垂直的步骤. (2)已知垂直求直线方程或参数. (3)在两条直线垂直关系的判断中体会分类讨论的思想. 3.注意1个易错点 利用斜率判断含字母参数的两条直线垂直时,要对字母分类讨论. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.过点A(,),B(0,3)的直线与过点C(,),D(2,0)的直线的位置关系为(　　) A.垂直　　　　　　　　　 B.平行 C.重合 D.以上都不正确 A 因为kAB=, kCD=. 所以kAB·kCD=()×=-1. 故两直线的位置关系为垂直. 2.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　) A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 D 直线y=2x+1的斜率k=2,则与直线y=2x+1垂直的直线的斜率k=-,因为在y轴上的截距为4,所以直线方程为y=-x+4. 3.(多选)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为(　　) A. C.a D.不存在 BD 当a≠0时,由k1·k2=-1知,k2=-, 当a=0时,l2的斜率不存在. 4.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是　　　　　　.  20°,110° 因为l1∥l,所以l1的倾斜角为20°.因为l2⊥l,所以l2的倾斜角为20°+90°=110°. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　) A.- C.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 如图,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,则l2的倾斜角等于30°+90°=120°,   ∴l2的斜率为tan 120°=-tan 60°=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若经过点(3,a),(-2,0)的直线与斜率为-2的直线垂直,则a的值为(　　) A.10 B. C. D.-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 由斜率公式可得过点(3,a),(-2,0)的直线斜率为,由垂直关系可得×(-2)=-1,解得a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知直线l1,l2的斜率是方程x2+mx-2=0的两个根,则(　　) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1与l2相交但不垂直 D.l1与l2的位置关系不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为Δ=m2+8>0,所以方程x2+mx-2=0有两个不相等的实数根,所以l1与l2相交.又k1k2=-2≠-1,所以l1与l2不垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0垂直,垂足为(1,p),则n的值为(　　) A.-12 B.-2 C.0 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 由两直线垂直得2m-20=0,得m=10,将(1,p)代入第一条直线的方程得10+4p-2=0,则p=-2,将(1,-2)代入第二条直线的方程得2+10+n=0,则n=-12. 5.(多选)下列直线l1与l2垂直的是(　 　) A.l1的倾斜角为120°,l2过点P(1,0),Q(4,) B.l1的斜率为-,l2过点P(1,1),Q(0,-2) C.l1的倾斜角为30°,l2过点P(3,),Q(4,2) D.l1过点M(1,-1),N(4,-6),l2过点P(0,1),Q(5,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2. 对于A,因为k1=-,k2=,所以k1·k2=-1,故两条直线垂直. 对于B,因为k1=-,k2=3,所以k1·k2=-1,故两条直线垂直. 对于C,因为k1=,k2=,k1·k2≠-1,所以l1与l2不垂直. 对于D,因为k1=-,k2=,所以k1·k2=-1,故两条直线垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知三条直线3x+2y+6=0,2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0围成一个直角三角形,则m的值可能是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 直线3x+2y+6=0与直线2x-3m2y+18=0垂直时,m=±1,但m=1时,直线2x-3m2y+18=0和直线2mx-3y+12=0平行,故m=-1.当直线3x+2y+6=0与直线2mx-3y+12=0垂直时,得m=1,不符合题意.当直线2x-3m2y+18=0与直线2mx-3y+12=0垂直时,得m=0或m=-.经检验,当m=-1,0,-时,三条直线均不交于同一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知A(m,1),B(-1,m),P(1,2),Q(-5,0),若AB∥PQ,则m=　　　　;若AB⊥PQ,则m=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　 -2 由题意可得kPQ=, kAB=. 若AB∥PQ,则kAB=kPQ,即,解得m=; 若AB⊥PQ,则kPQ·kAB=-1,即·=-1,解得m=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),点D在x轴上,则当点D坐标为　　　　时, AB⊥CD.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (-9,0) 设点D(x,0),因为kAB==4≠0, 所以直线CD的斜率存在. 则由AB⊥CD知,kAB·kCD=-1, 所以4·=-1,解得x=-9. 9.已知直线l1经过点A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2). (1)若l1∥l2,求实数m的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为l1∥l2,所以,即,解得m=1或m=6.经检验符合题意.故实数m的值为1或6. (2)若l1⊥l2,求实数m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)当=0,即m=0时,A(3,0),B(-1,2),直线l1的斜率存在,不符合题意,舍去;当≠0,即m≠0时,因为l1⊥l2,所以·=-1,所以-·=-1,解得m=3或m=-4. 综上,实数m的值为3或-4. 10.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值. (1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0, 即a2-a-b=0.① 又点(-3,-1)在l1上,所以-3a+b+4=0.② 由①②得a=2,b=2. (2)直线l1与直线l2平行,并且直线l2在y轴上的截距为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)因为直线l2在y轴上的截距为3,所以b=-3, 又l1∥l2,k1=-,k2=1-a,所以-=1-a,所以a=,故a=,b=-3. [B组] 11.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为(　　) A.(0,-6) B.(0,7) C.(0,-6)或(0,7) D.(-6,0)或(7,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.因为kAP=,kBP=,kAP·kBP=-1,所以·=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 024,2 025) 与点(m,n) 重合,则m+n=(　　) A.2 024 B.2 025 C.4 046 D.4 049 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设A(2,0),B(-2,4),则A,B所在直线的斜率kAB==-1,由题知过点(2 024,2 025)与点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 024 +2 025=4 049. 13 14 13.已知直线l1:mx+y+4=0和直线l2:(m+2)x-ny+1=0(m>0,n>0)互相垂直,则 的取值范围为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 因为l1⊥l2,所以m(m+2)+1×(-n)=0,得n=m2+2m,因为m>0,所以,则0<,故. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设所求点D的坐标为(x,y),如图. 由题意,得kAB=3,kBC=0, 所以kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直, 故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰. 若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD, 且kAD=,kCD=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由AD⊥AB,得·3=-1.① 因为AB∥CD,所以=3.② 由①②两式联立方程组,可解得 所以D, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时AD与BC不平行,符合题意. 若DC为直角梯形的直角腰,则DC⊥BC,AD∥BC. 因为kBC=0,所以DC的斜率不存在. 所以x=3. 因为AD∥BC,所以y=3. 所以点D的坐标为(3,3). 综上所述,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为或(3,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$