1.3.1 两条直线的平行-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

1.3　两条直线的平行与垂直 第1课时　两条直线的平行 第1章　直线与方程 [学习目标]　1.记住两直线平行的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行.3.能利用两直线平行的条件解决有关问题. [素养目标]　水平一:两直线平行的条件及应用.(数学建模) 水平二:在利用两直线平行的条件时,对字母取值的讨论.(数据分析、逻辑推理) 学习引语　 　　过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,你能感受到过山车中的平行吗?两条直线的平行用什么来刻画呢? 探究活动1　两条直线平行的判定 内容索引 探究活动2　求与已知直线平行的直线方程 课时作业 巩固提升 探究活动3　直线平行的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　两条直线平行的判定 问题　平面中的两条平行直线被x轴所截,形成的同位角相等,而倾斜角是一对同位角,因此可以得出什么结论? 提示　两直线平行,倾斜角相等. 对于斜率分别为k1,k2的两条不重合直线l1,l2,有l1∥l2⇔　　　　　　.  知识生成 k1=k2 温馨提醒　(1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合. (2)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 例1 　判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行: (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); 知识应用 [解]　(1)k1==1,k2=,k1≠k2,l1与l2不平行. (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); [解]　(2)k1=1,k2==1,k1=k2,故l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1:x-3y+2=0,l2:4x-12y+1=0. [解]　(3)法一:l1的方程可变形为y=, l2的方程可变形为y=. ∵直线l1的斜率k1=,b1=,直线l2的斜率k2=,b2=, ∴k1=k2且b1≠b2,∴l1∥l2. 法二:∵1×(-12)-(-3)×4=0且1×1-2×4≠0,∴l1∥l2. 判断两条直线平行的方法 1. 2.利用l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0). 反思感悟 1.(多选)下列直线l1与直线l2平行的有(　　) A.l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7) B.l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2) C.l1的倾斜角为30°,l2经过点M(1,),N(-2,-2) D.l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5) 跟踪训练 AD A中,kAB=,kCD=, ∴kAB=kCD,且l1与l2不重合,∴l1∥l2. B中,k2==1≠k1=2, ∴l1,l2不平行. C中,k1=tan 30°=,k2=, ∴k1≠k2,∴l1,l2不平行. D中,l1的斜率不存在, l2的斜率也不存在,且l1与l2不重合,∴l1∥l2. 探究活动2　求与已知直线平行的直线方程 求与直线3x+4y+1=0平行,且过点(1,2)的直线l的方程. 例2 知识应用 [解]　法一:设直线l的斜率为k, ∵直线l与直线3x+4y+1=0平行, ∴k=-. 又∵直线l经过点(1,2), ∴所求直线的方程为y-2=-(x-1), 即3x+4y-11=0. 法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠1). ∵直线l经过点(1,2), ∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11, ∴所求直线的方程为3x+4y-11=0. 　　与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程,也可以先设成一般式,用待定系数法求方程. 反思感悟 2.已知直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2平行,求直线l的方程. 解:过点(0,7)且与直线y=-4x+2平行的直线方程为y-7=-4x, 即直线l的方程为y=-4x+7. 跟踪训练 探究活动3　直线平行的应用 　已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状. 例3 知识应用 [解]　由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图所示, 由斜率公式可得kAB=,kCD=,kAD==-3,kBC=. 所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合, 所以AB∥CD. 由kAD≠kBC, 所以AD与BC不平行. 所以四边形ABCD为梯形. 利用两条直线平行来判定图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 　↓ 猜测→根据描出的点,猜测图形的形状 　↓ 求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 　↓ 结论→由斜率之间的关系判断形状 反思感悟 3.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.两对边都不平行的四边形 D.四个点在一条直线上 跟踪训练 B 由题意,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,所以kAB=kCD,kBC=kAD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD为平行四边形. 1.牢记两条直线平行的判定条件. 2.掌握3种解决问题的方法 (1)判断两条直线平行的步骤. (2)已知平行求直线方程或参数. (3)在两条直线平行关系的判断中体会分类讨论的思想. 3.注意1个易错点 利用斜率判断含字母参数的两条直线平行时,要对字母分类讨论. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知直线l1的倾斜角为30°,又l1∥l2,则直线l2的斜率为(　　) A. C. C 因为l1∥l2,所以. 2.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0平行,则a的值是(　　) A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2 B 由已知,得a(a+1)-2=0,解得a=-2或a=1.当a=1时,两直线重合,∴a=-2. 3.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题正确的是(　 　) A.若l1∥l2,则斜率k1=k2 B.若斜率k1=k2,则l1∥l2 C.若倾斜角α1=α2,则l1∥l2 D.若l1∥l2,则倾斜角α1=α2 BCD 直线l1与l2为两条不重合的直线,因为两条直线的倾斜角为90°时,没有斜率,所以A不正确;因为两直线的斜率相等,即斜率k1=k2,得到倾斜角的正切值相等,即tan α1=tan α2,即可得到α1=α2,所以l1∥l2,所以B正确;若倾斜角α1=α2,则l1∥l2,C正确;若l1∥l2,则倾斜角α1=α2,D正确. 4.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l2的斜率为k=m2-3,若l1∥l2,则m的值为　　　　.  ±2 由题意知m2-3=tan 45°,解得m=±2. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.若过P(3,2m)和Q(m,2)两点的直线与过M(2,-1)和N(-3,4)两点的直线重合或平行,则m的值是(　　) A.1　　　　　　　　　 B.-1 C.2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 由题意,得kMN==-1,kPQ=.由直线PQ与直线MN重合或平行,得=-1,解得m=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.过点E(1,1)和点F(-1,0)的直线与过点M(k≠0)的直线的位置关系是(　　) A.平行 B.重合 C.平行或重合 D.相交或重合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 由题意得kEF=,kMN=,故两条直线平行或重合. 3.若直线l1:ax+3y+3=0和直线l2:x+(a-2)y+1=0平行,则实数a的值为(　　) A.3 B.-1 C. D.3或-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 直线l1:ax+3y+3=0和直线l2:x+(a-2)y+1=0平行, ①当a=2时,直线l1:2x+3y+3=0,直线l2:x+1=0,显然不符合题意; ②当a≠2时,由,解得a=-1. 所以实数a的值为-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 CD 由两直线平行得,当k-3=0,即k=3时,两直线的方程分别为y=-1和y=,显然两直线平行.当k-3≠0,即k≠3时,由,可得k=5.综上,k的值是3或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),若直线AB与CD平行,则实数m的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 由题意得当m≠0时,,即,解得m=1;当m=0时,AB∥CD,满足条件. 6.直线l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(2,2),则直线l1与直线l2的位置关系是　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平行或重合 由l2经过点M(1,),N(2,2),可得直线l2的斜率k2=,因为直线l1的倾斜角为60°,所以直线l1的斜率k1=tan60°=,则k1=k2,则直线l1与直线l2平行或重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.与直线3x+4y+1=0平行且在y轴上的截距为1的直线的方程为 　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3x+4y-4=0 8.已知l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3).判断直线l1与直线l2是否平行或重合. 解:由题意知k1=tan 60°=,k2=. 所以k1=k2,所以l1∥l2或l1与l2重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.若l1与l2平行,求a的值. 解:法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3, l2:y=x-(a+1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l1∥l2⇔ 解得a=-1, 综上可知,当a=-1时,l1∥l2. 法二:由A1B2-A2B1=0, 得a(a-1)-1×2=0, 由A1C2-A2C1≠0, 得a(a2-1)-1×6≠0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以l1∥l2⇔ ⇔可得a=-1, 故当a=-1时,l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.设不同直线l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 当m=2时,易知两直线平行,即充分性成立. 当l1∥l2时,显然m≠0,从而有=m-1, 解得m=2或m=-1,但当m=-1时,两直线重合,不符合要求,故必要性成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.直线mx-y-m+2=0过定点A,若直线l过点A且与2x+y-2=0平行,则直线l的方程为(　　) A.2x+y-4=0 B.2x+y+4=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y-3=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 由mx-y-m+2=0,得y-2=m(x-1),故直线mx-y-m+2=0过定点A(1,2),直线2x+y-2=0的斜率k=-2,故直线l的方程是y-2=-2(x-1),整理得2x+y-4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1∥l2,则 实数b的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - 因为l1∥l2,所以k1=k2,从而Δ=9+8b=0,解得b=-. 13.求与直线3x+4y+9=0平行且和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24的直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:法一:因为直线3x+4y+9=0的斜率为-,所以设所求直线的方程为y=-x+b.令x=0,得y=b;令y=0,得x=.由题意知b>0,>0,所以=24,解得b=6,故所求直线的方程为y=-x+6,即3x+4y-24=0. 法二:设直线的方程为3x+4y+m=0(m≠9).令x=0,y=-;令y=0,x=-.由题意知->0,->0,所以=24,解得m=-24,故所求直线的方程为3x+4y-24=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$