1.2.3 直线的一般式方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第1章　直线与方程 1.2　直线的方程 1.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1.掌握直线方程的一般式,明确各系数的意义.2.掌握一般式与其他形式的互化.3.了解二元一次方程与直线的对应关系. [素养目标]　水平一:求直线的一般式方程,直线的一般式方程与其他形式的互化.(数据分析) 水平二:二元一次方程与直线关系的理解,直线的一般式方程的应用.(数学运算) 学习引语 　 　　初中我们学习过二元一次方程,它的具体形式是Ax+By+C=0,前面我们又学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程.它们是否可以化成为二元一次方程的形式呢?同时在一定条件下,这种形式是否可以转化为斜截式和截距式? 探究活动1　直线的一般式方程 内容索引 探究活动2　直线一般式方程的应用 课时作业 巩固提升 探究活动3　直线方程的实际应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线的一般式方程 问题　直线y=2x+1可以化成二元一次方程吗?方程2x-y+3=0表示一条直线吗? 提示　y=2x+1可以化成2x-y+1=0的形式,是二元一次方程,2x-y+3=0可以化为y=2x+3,可以表示直线. 1.直线与二元一次方程的关系 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x,y的二元一次方程　　　　　　　　　　　　　　　　来表示.  (2)在平面直角坐标系中,任何一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示　　　　　　　.  2.直线的一般式方程 方程　　　　　　　　　　　　　　　　叫作直线的一般式方程.  知识生成 Ax+By+C=0(A,B不全为0)　 一条直线 Ax+By+C=0(A,B不全为0) 温馨提醒　直线的一般式方程的结构特征 1.方程是关于x,y的二元一次方程. 2.方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列. 3.x的系数一般不为分数和负数. 4.虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 例1 　根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是,且经过点A(5,3); 知识应用 [解]　(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5), 即+3=0. (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; [解]　(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0. (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; [解]　(3)由两点式得,即2x+y-3=0. (4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1. [解]　(4)由截距式得直线方程为=1,即x+3y+3=0. 求直线的一般式方程的方法 反思感悟 提醒　对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y的系数及常数项不出现分数,并按含x项、含y项、常数项顺序排列.求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一般式. 1.求下列直线的方程,并把它化为一般式. (1)过点A(-2,3),斜率为-; 跟踪训练 解:(1)由点斜式可得直线方程为 y-3=-(x+2). 化为一般式为3x+5y-9=0. (2)在x轴、y轴上的截距分别为-3和4. 解: (2)由截距式可得直线方程为=1. 化为一般式为4x-3y+12=0. 探究活动2　直线一般式方程的应用 　已知方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线. (1)求实数m的取值范围; 例2 知识应用 [解]　(1)由解得m=2,若方程表示直线,则m2-3m+2与m-2不能同时为0,故m≠2,即m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞). (2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值. [解]　(2)由(1)得m≠2,将直线方程化成斜截式方程为y=,由题意得=1,所以m=0. 解决含参数的直线方程问题的思路 1.若含参数的方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0,进而求得参数的取值范围. 2.令x=0可得直线在y轴上的截距;令y=0可得直线在x轴上的截距. 3.若直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式. 反思感悟 2.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).若l在两坐标轴上的截距相等,则l的方程为　　　　　　　　　　　.  跟踪训练 3x+y=0或x+y+2=0 当直线l过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等, 则(a+1)×0+0+2-a=0,∴a=2,即l的方程为3x+y=0; 当直线l不过原点,即a≠2时,其方程可化为=1,由l在两坐标轴上的截距相等得=a-2,即a+1=1,∴a=0,即直线l的方程为x+y+2=0. 综上,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. 探究活动3　直线方程的实际应用 一根铁棒在20 ℃时,长10.402 5米,在40 ℃时,长10.405 0米,已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示,试求出这个方程,并且根据这个方程求这根铁棒在25 ℃时的长度. 例3 知识应用 [解]　由题意这条直线经过两点(20,10.402 5)和(40,10.405 0),根据直线的两点式方程, 得, 即l=0.002 5·+10.400 0, 当t=25 ℃时,l=0.002 5×+10.400 0 =0.003 125+10.400 0=10.403 125, 即当t=25 ℃时,铁棒长为10.403 125米. 　　在解决实际问题时,选择直线方程的形式不同,导致运算的繁简程度也不一样,故应因题而异,寻找解题的最佳方法. 反思感悟 3.某通信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与应付电话费s(元)的函数关系如图所示,则当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差　　　　元.  跟踪训练 10 设A种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为s=k2t, 由图知当t=100时,100k1+20=100k2, ∴k2-k1=, 故当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10,即打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差10元. 1.重点掌握2种方法 (1)求直线一般式方程的策略. (2)一般式方程和其他几种形式方程之间的转化及应用. 2.注意1个易错点 方程Ax+By+C=0表示一条直线时,A,B必不能同时为0. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.直线3x-y-1=0的斜率k及在y轴上的截距b分别是(　　) A.k=3,b=-1　　　　　 B.k=-3,b=1 C.k=,b=1 D.k=3,b=1 A 由直线3x-y-1=0得y=3x-1,所以直线的斜率k=3,在y轴上的截距b=-1. 2.如果ax+by+c=0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足条件(　　) A.bc=0 B.a≠0 C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0 D y轴方程表示为x=0,所以a,b,c满足条件为b=c=0,a≠0. 3.若a,b,c都大于0,则直线ax+by+c=0的图象大致为(　　) D 直线ax+by+c=0化为y=-,因为a,b,c都大于0,所以-<0,-<0,所以直线ax+by+c=0的图象大致为D. 4.斜率为2,且经过点P(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　　　.  2x-y+1=0 由点斜式的y-3=2(x-1),整理得2x-y+1=0. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.直线=1化成一般式方程为(　　) A.y=-(x-3) C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 2.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线方程为(　　) A.15x-3y-7=0 B.15x+3y-7=0 C.3x-15y-7=0 D.3x+15y-7=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 由题意得=0, 即15x-3y-7=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 将l1与l2的方程化为l1:y=ax+b,l2:y=bx+a. 由l1的图象可知,a<0,b<0,由l2的图象可知,b<0,a>0,两者矛盾,故A错误; 由l1的图象可知,a<0,b>0,由l2的图象知,b>0,a>0,两者矛盾,故B错误; 由l1的图象可知,a>0,b>0,由l2的图象可知,a>0,b>0,故C正确; 由l1的图象可知,a>0,b<0,由l2的图象可知,a>0,b>0,两者矛盾,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知三点坐标A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为线段BC,CA,AB的中点,则直线EF的方程为(　　) A.x+5y+8=0 B.x-y+2=0 C.x+y=0 D.x+y+4=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 由题意,得E(-3,-1),F(2,-2),∴直线EF的方程为y+1=(x+3),即x+5y+8=0. 5.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　) A.-,-1 B.,-1 C.-,1 D.,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 原方程化为=1, ∴=-1,∴b=-1, ∴ax+by-1=0的斜率k=-=a. ∵=0的倾斜角为60°, ∴k=tan 120°=-,∴a=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知直线l的方程是Ax+By+C=0,则下列说法中正确的是(　 　) A.若A·B·C≠0,则直线l不过原点 B.若A·B>0,则直线l必过第四象限 C.若直线l不过第四象限,则一定有A·B<0 D.若A·B<0且A·C>0,则直线l不过第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 若A·B·C≠0,则A,B,C都不等于0,当x=y=0时,A·0+B·0+C≠0,所以直线l不过原点,故A中说法正确;若A·B>0,则直线斜率-<0,则直线一定过第二、四象限,故B中说法正确;直线只过第一、二象限时,A=0,则A·B=0,故C中说法错误;若A·B<0且A·C>0,则->0,-<0,所以直线的斜率大于0,在x轴上的截距小于0,所以直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故D中说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为　　　　　　　　;一般式方程为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y= x-y-4=0 因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=tan 60°=,所以斜截式方程为y=x-4,化为一般式,得x-y-4=0. 8.已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距互为相反数,则实数a的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -1或2 当-2+a=0,即a=2时,直线ax+y-2+a=0为2x+y=0,其在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;当-2+a≠0,即a≠2时,直线ax+y-2+a=0可化为=1, 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数,所以a≠0,且+2-a=0, 所以a=-1. 综上所述,a=2或a=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知直线l:x-2y+2m-2=0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数m的值. 解:直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1), 则所围成的三角形的面积为×|-2m+2|×|m-1|, 由题意可知×|-2m+2|×|m-1|=4, 化简得(m-1)2=4,解得m=3或m=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),且l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 解:直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,故要使l不经过第二象限,只需解得a≤-1. ∴a的取值范围为(-∞,-1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.无论m取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为(　　) A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(2,1) D.(2,-1) 因为mx+y-1+2m=0可整理为y-1=-m(x+2),所以直线l恒过定点(-2,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 12.在下列各种情况下,直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的系数A,B,C之间各有什么关系: (1)直线与x轴平行或重合时:　　　　　　;  (2)直线与y轴平行或重合时:　　　　　　;  (3)直线过原点时:　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A=0且B≠0 B=0且A≠0 C=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵A,B不同时为零,故当A=0且B≠0时,直线与x轴平行或重合;当B=0且A≠0时,直线与y轴平行或重合;当C=0时,直线过原点. 13 14 13.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2x+3y+4=0 13 ∵两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3), ∴2a1+3b1+4=0,2a2+3b2+4=0, 因此过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程为2x+3y+4=0. 14.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△AEF内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m, AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪的面积最大? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:如图,以AB边所在直线为x轴,以AD边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),∴线段EF的方程是=1(0≤x≤30). 在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,作PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则 S=PQ·PR=(100-m)(80-n). 又∵=1(0≤m≤30),∴n=20, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴S=(100-m)(m-5)2+(0≤m≤30).于是当m=5时,S有最大值,这时. 故当矩形草坪的两边在BC,CD上,一个顶点在线 段EF上,并且这个顶点分EF成5∶1且距F较近时, 草坪的面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$