1.2.2 直线的两点式方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

1.2　直线的方程 1.2.2　直线的两点式方程 第1章　直线与方程 [学习目标]　1.记住直线的两点式方程与截距式方程,并会用它们求直线的方程.2.会用两点式方程与截距式方程解答有关问题. [素养目标]　水平一:直线的两点式方程及应用.(数学运算) 水平二:截距式方程及应用.(数学建模) 学习引语　 　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧的P处,如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A,B两处,并使某区商业中心O到A,B两处的距离之和最短. 　　在上述问题中,实际上解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点A,B能否确定? 探究活动1　直线的两点式方程 内容索引 探究活动2　直线的截距式方程 课时作业 巩固提升 探究活动3　直线方程的综合应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线的两点式方程  问题　我们知道已知两点可以确定一条直线,若给定直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),你能否得出直线的方程呢? 提示　. 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程,叫作直线的两点式方程. 知识生成 温馨提醒　(1)当经过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比,也就是同一条直线的斜率相等. 例1 　(1)若直线l经过点A(2,-1),B(2,7),则直线l的方程为　　　　.  知识应用 x=2 (1)由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l没有两点式方程,所求的直线方程为x=2. (2)若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.  -2 (2)由直线方程的两点式得, 即. ∴直线AB的方程为y+1=-x+2. ∵点P(3,m)在直线AB上, 则m+1=-3+2,得m=-2. 由两点式求直线方程的步骤 1.设出直线所经过点的坐标. 2.根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标. 3.由直线的两点式方程写出直线的方程. 提醒　当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程. 反思感悟 1.求经过两点A(2,m)和B(n,3)的直线方程. 解:当m=3时,直线垂直于y轴,方程为y=3, 当n=2时,直线垂直于x轴,方程为x=2. 当m≠3且n≠2时,由两点式得 直线方程为. 跟踪训练 探究活动2　直线的截距式方程 问题　若给定直线上两点A(a,0),B(0,b)(a≠0,b≠0),你能否得出直线的方程呢? 提示　=1. 方程=1,其中　　　　称为直线在y轴上的截距,　　　　称为直线在x轴上的截距.这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定,所以这个方程也叫作直线的　　　　　　　　.  知识生成 b a　 截距式方程 　求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 例2 知识应用 [解]　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,可设直线l的方程为=1. 又l过点A(3,4),所以=1, 解得a=-1. 所以直线l的方程为=1, 即x-y+1=0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx, 因为l过点A(3,4), 所以4=k·3,解得k=, 所以直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 用截距式方程时的注意点 1.若问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可. 2.选用截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. 3.要注意截距式方程的逆向应用. 反思感悟 2.(多选)若直线l过点P(2,-1)且在两坐标轴上的截距之和为0,则直线l的方程为(　　) A.x-y-3=0　　　　　　 B.2x+y-3=0 C.x+2y=0 D.x+y-1=0 跟踪训练 AC 当直线l过原点时,其方程为y=-x,即x+2y=0,符合题意;当直线l不过原点时,因为直线在两坐标轴上的截距和为0,所以可设直线l的方程为=1,将点P的坐标代入直线方程,可得=1,解得a=3,所以直线l的方程为x-y-3=0. 综上,直线l的方程为x+2y=0或x-y-3=0. 探究活动3　直线方程的综合应用 　过点P(1,4)作直线l,直线l与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点. (1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程; 例3 知识应用 [解]　设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0, 则由直线的截距式方程得直线l的方程为 =1. 将P(1,4)代入直线l的方程,得=1.(*) (1)依题意得,ab=9, 即ab=18, 由(*)式得,b+4a=ab=18,从而b=18-4a, ∴a(18-4a)=18,整理得,2a2-9a+9=0, 解得a1=3,a2=,则b1=6,b2=12.因此直线l的方程为=1,整理得,2x+y-6=0或8x+y-12=0. (2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程. [解] (2)S= ×(8+8)=8, 当且仅当,即a=2,b=8时取等号,因此S的最小值为8,且此时直线l的方程为=1,即4x+y-8=0. 直线方程的选择技巧 1.已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率. 2.若已知直线的斜率,一般选用直线的斜截式,再由其他条件确定直线的一个点或者截距. 3.若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程. 4.不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 反思感悟 3.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件: (1)△AOB的周长为12; 跟踪训练 解:(1)存在.设直线方程为=1(a>0,b>0), 由题意可知,a+b+=12.① 又因为直线过点P,所以=1,② 由①②可得5a2-32a+48=0,解得 所以所求直线的方程为=1, 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. (2)△AOB的面积为6. 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 解: (2)存在.设直线方程为=1(a>0,b>0), 由题意可知 所以所求直线的方程为=1, 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 1.牢记2个直线方程 (1)两点式方程. (2)截距式方程. 2.掌握2种规律方法 (1)求直线的两点式方程的策略. (2)直线的截距式方程应用的注意点. 课堂小结 3.注意1个易错点 易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况. 〈课堂达标·素养提升〉 1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为(　　) A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0 C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0 B 过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为,即5x-3y-25=0. 2.直线-=-1在x轴、y轴上的截距分别为(　　) A.2,3 B.-2,3 C.-2,-3 D.2,-3 D 因为-=-1, 当x=0时,y=-3,即在y轴上的截距为-3; 当y=0时,x=2,即在x轴上的截距为2. 3.过(-1,-1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为　　　　,在y轴上的截距为　　　　.  -　 1 由已知得直线的方程为,化简得2x-y+1=0,令x=0,得y=1,令y=0,得x=-,解得直线在x轴、y轴上的截距分别为-,1. 4.已知直线l过点(2,3),且在x轴上的截距是y轴上截距的两倍,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.  3x-2y=0或x+2y-8=0 若l在坐标轴上的截距均为0,即l过原点,满足题意,此时l方程为y=x,即3x-2y=0.当l在坐标轴上的截距不为0时,设其在y轴上截距为b,则方程为=1,把(2,3)代入,解得b=4,∴l方程为x+2y-8=0.综上,直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-8=0. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(　　) A.- C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 直线方程为,化为截距式为=1,则在x轴上的截距为-. 2.若直线=1过第一、二、三象限,则(　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 因为直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,且经过第一、二、三象限,故a<0,b>0. 3.直线l1:y=kx+b(kb≠0)与直线l2:=1在同一坐标系内的图象可能是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 因为kb≠0,由四个选项中的l1可知k>0,可排除A,C;当b<0时,可排除B;当b>0时,D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.经过点P(-1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 直线l经过原点时,可得直线方程为y=-2x. 直线l不经过原点时,设直线方程为=1, 把点P(-1,2)代入可得=1, 当a=b时,=1, 解得a=1,b=1,可得方程为x+y=1. 当a=-b时,=1, 解得a=-3,b=3,可得方程为y-x=3. 综上可得,满足条件的直线的条数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)下列说法错误的是(　　) A.=k不能表示过点(x1,y1),且斜率为k的直线 B.在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线的方程为=1 C.直线y=kx+b在y轴上的截距为|b| D.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC =k表示过点(x1,y1)且斜率为k的直线去掉点(x1,y1),A中说法正确;只有ab≠0时,直线的方程才可写成=1,B中说法错误;直线y=kx+b在y轴上的截距为b,C中说法错误;D中直线在坐标轴上的截距分别为2,-2,所以围成三角形的面积是2,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)下列命题中错误的是(　 　) A.经过定点P0(x0,y0)直线都可以用方程y-y0=k(x-x0) B.不经过原点的直线都可以用方程=1表示 C.过任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) D.经过A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 当经过定点P0(x0,y0)直线垂直于x轴时不成立,故A错误;直线垂直于x轴时不可以用方程=1表示,故B错误;当直线P1P2斜率存在时,方程为y-y1=(x-x1)成立.当直线P1P2斜率不存在时x1=x2,方程为x=x2成立,故C正确;直线垂直于x轴时不可以用方程y=kx+b表示,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知直线l过点P(1,2),与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与两坐标轴围成的三角形ABO的面积为,则此时直线l的方程为　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x-y+1=0或4x-y-2=0 设直线l的方程为=1,则A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b).因为直线l过点P(1,2),△ABO的面积为,所以=1,或=1,即x-y+1=0或4x-y-2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知三角形的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:由两点式可得直线AB:,即3x+8y+15=0. 同理可得直线BC:5x+3y-6=0,直线AC:2x-5y+10=0. 9.求过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设直线的截距式方程为=1, 则=1, 解得a=2或a=1, 则直线的截距式方程是=1, 即+y=1. [B组] 10.(多选)光线自点(2,4)射入,经y轴反射后经过点(5,0),则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有(　　) A.(-9,8) B.(3,1) C.(7,-1) D.(12,-4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 点(2,4)关于y轴的对称点为(-2,4),则反射光线所在的直线经过点(-2,4)和点(5,0),则反射光线所在直线的方程为,即4x+7y-20=0.将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A,D选项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)下列说法正确的是(　　) A.直线l过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 012,b)在l上,那么b的值为2 025 B.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为 C.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 D.过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当OA+OB取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD A中直线l的方程为,即2x-y+1=0.因为点(1 012,b)在直线l上,所以2×1 012-b+1=0,得b=2 025.故A正确;B中需要条件y2≠y1,x2≠x1,故B错误;C中还有一条截距都为0的直线y=x,故C错误;D中,设直线l的方程为=1(a>0,b>0). 由P点在直线l上,得=1, ∴OA+OB=a+b=(a+b)=9. 当且仅当,即a=6,b=3时取“=”. ∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.若直线l在两坐标轴上的截距的倒数之和为常数,则直线l必过点　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (k,k) 设直线l在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a,b≠0,则直线l的方程为=1, 因为,所以=1,所以直线l必过定点(k,k). 13.已知直线l经过点P,且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,点A的横坐标与点B的纵坐标均为整数,O是坐标原点,若　　　　,求直线l的方程.  试从①△AOB的周长为12,②△AOB的面积是6,这两个条件中任选一个补充在前面的横线中,并解答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设直线l的方程为=1(a∈N*,b∈N*), 选择①:由题意可知a+b+=12,① 又∵直线l过点P,∴=1,② 由①②且a∈N*,b∈N*,解得 ∴直线l的方程为3x+4y-12=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选择②:∵直线l过P,∴=1,∵△AOB的面积是6, ∴ab=6,∴ab=12,联立∴直线l的方程为3x+4y-12=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$