1.2.1 直线的点斜式方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

1.2　直线的方程 1.2.1　直线的点斜式方程 第1章　直线与方程   [学习目标]　1.掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件.2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.3.会求直线的点斜式方程与斜截式方程. [素养目标]　水平一:直线方程的两种形式及应用.(数学建模) 水平二:直线方程的两种形式的推导及应用.(逻辑推理) 学习引语　 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.   已知某一斜拉索过桥塔上一点B,那么该斜拉索位置确定吗? 探究活动1　直线的点斜式方程 内容索引 探究活动2　直线的斜截式方程 课时作业 巩固提升 探究活动3　直线方程的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线的点斜式方程 探究活动1　直线的点斜式方程 问题1　直线l经过点A(-1,3),斜率为-2,如果点P(x,y)在直线l上运动,那么x,y满足什么关系? 提示　当点在直线上运动时(除点A外),点P与定点A的连线的斜率恒等于-2. 问题2　给定一个点P1(x1,y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x,y)满足的关系表达出来? 提示　k=. 1.过点P1(x1,y1)且斜率为k的直线方程　　　　　　　　叫作直线的点斜式方程.  2.过点P1(x1,y1)且与x轴垂直的直线方程为　　　　.  知识生成 y-y1=k(x-x1) x=x1 例1 　 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点P(-3,-1),斜率是; 知识应用 [解]　(1)由题意得,直线的点斜式方程为y+1=(x+3). (2)经过点R(0,5),且与y轴垂直; [解]　(2)∵与y轴垂直的直线的斜率为0,且直线过点(0,5),∴直线的方程为y-5=0. (3)经过点S(,1),倾斜角是120°. [解]　(3)∵直线的倾斜角是120°,∴其斜率为tan 120°=-.又直线经过点S(,1),∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-).   　　用点斜式求直线的方程时,首先要确定直线的斜率和该直线上的一个点P(x0,y0)的坐标.注意在斜率存在的条件下,才能用点斜式表示直线的方程,若斜率不存在,则直线的方程为x=x0. 反思感悟 1.与直线3x-2y=0的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为(　　) A.y-3=-(x+4)　　　　 B.y+3=(x-4) C.y-3=(x+4) D.y+3=-(x-4) 跟踪训练 C 由直线3x-2y=0得y-0=(x-0),则斜率k=,从而所求直线的斜率也为. 又所求直线过点(-4,3),所以依据点斜式方程可得y-3=[x-(-4)]=(x+4). 2.已知直线的方程是y+1=-2x+6,则(　　) A.直线经过点(-1,-6),斜率为2 B.直线经过点(-6,-1),斜率为-2 C.直线经过点(3,-1),斜率为-2 D.直线经过点(3,-1),斜率为2 C 方程可化为y-(-1)=-2(x-3),所以直线过点(3,-1),斜率为-2. 探究活动2　直线的斜截式方程 问题　直线l上给定一个点P(0,b)和斜率k,求直线l的方程. 提示　y=kx+b. 1.直线l与y轴的交点(0,b)的　　　　叫作直线l在y轴上的截距.   2.把方程　　　　叫作直线的斜截式方程.  知识生成 纵坐标b y=kx+b 　 根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; 例2 知识应用 [解]　(1)由直线的斜截式方程可知,所求直线方程为y=2x+5. (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; [解] (2)因为倾斜角α=150°,所以斜率k=tan 150°=-,由斜截式可得直线方程为y=-x-2. (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解] (3)因为直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60°=.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3,故所求直线的斜截式方程为y=x-3. 求直线的斜截式方程 1.先求参数k和b,再写出斜截式方程. 2.斜率可以是已知的,也可以利用倾斜角来求出,还可以利用平行、垂直关系求出斜率. 3.b是直线在y轴上的截距,即直线与y轴交点的纵坐标,不是交点到原点的距离. 反思感悟 3.写出下列直线的斜截式方程: (1)直线斜率是3,在y轴上的截距是-3; 跟踪训练 解:(1)由直线方程的斜截式可知, 所求方程为y=3x-3. (2)直线倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; 解: (2)∵k=tan 60°=, ∴所求直线的斜截式方程为y=x+5. (3)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2. 解: (3)∵直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2, ∴直线过点(4,0)和(0,-2). ∴k=,∴所求直线的斜截式方程为y=x-2. 探究活动3　直线方程的应用 　(1)(多选)在同一直角坐标系中,下列选项能正确表示直线y=ax与y=x+a的是(　　) 例3 知识应用 BC (1)①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距a>0,B成立; ②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,A,B,C,D都不成立; ③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0,C成立. (2)直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是　　　　　　　　.  (-∞,-1]∪[1,+∞) (2)令x=0,得y=k. 令y=0,得x=-2k. 所以|k|·|-2k|≥1, 即k2≥1. 所以k≤-1或k≥1. 1.注意对参数的分类讨论,在同一坐标系中作两条直线,确定一条,判断另一条. 2.在求面积时,要将截距转化为距离. 反思感悟 跟踪训练 4.求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程. 解:设直线方程为y=x+b. 令x=0,得y=b,令y=0,得x=-b. 所以|b|+=12, 即|b|+|b|=12,解得b=±3. 故所求直线的方程为y=x-3. 1.牢记2个直线方程 (1)点斜式方程. (2)斜截式方程. 课堂小结 2.掌握3种规律方法 (1)求点斜式方程的方法步骤. (2)斜截式方程的求解策略. (3)含参数方程问题的求解. 3.注意1个易错点 本节的易错点是利用斜截式方程求参数时易漏掉斜率不存在的情况. 〈课堂达标·素养提升〉 1.倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是(　　) A.y=x+1　　　　　　　　 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 D 斜率k=tan 135°=-1,所以方程为y=-x-1. 2.已知直线l的倾斜角为45°,且过点(1,2),则下列各点中在直线l上的是(　　) A.(0,1)　　B.(-2,3)　　C.(3,3)　　D.(3,2) A 直线l的斜率k=tan 45°=1,方程为y-2=x-1,即y=x+1,将选项中各点代入可知,A正确. 3.方程y=k(x-2)表示(　　) A.过点(-2,0)的所有直线 B.过点(2,0)的所有直线 C.过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.过点(2,0)且除去x轴的所有直线 C y=k(x-2)表示恒过点(2,0)且斜率存在的直线. 4.若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则该直线的方程为　　　　　　.  y=12x-18 因为直线经过两点A(-m,6),B(1,3m),且直线的斜率是12,所以12=,解得m=-2,所以点A的坐标为(2,6),所以直线的方程为y-6=12(x-2),化简可得y=12x-18. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行,则该直线的方程为(　　) A.x=3　　　　　　　　　 B.x=-2 C.y=3 D.y=-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D ∵直线与x轴平行, ∴其斜率为0, ∴直线的方程为y=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知直线l经过点A(3,1),且斜率为-1,则直线l的方程是(　　) A.y=-x+4 B.y=x-2 C.y=-x-4 D.y=x+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 直线l的方程为y-1=-(x-3),即y=-x+4. 3.直线y=kx+b经过第二、三、四象限,则有(　　) A.k>0,b<0 B.k>0,b>0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 结合图形知k<0,b<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.直线y-a=-3在y轴上的截距为(　　) A.2a B.a C.-a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 令x=0,则y-a=-3,解得y=2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)在平面直角坐标系中,下列四个结论中正确的是(　　) A.每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B.倾斜角是钝角的直线的斜率为负数 C.方程k=与方程y+1=k(x-2)可表示同一直线 D.直线l过点P(x0,y0),倾斜角为90°,则其方程为x=x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BD 对于A,斜率不存在的直线无点斜式方程和斜截式方程,故错误;对于B,钝角的正切值为负数,所以倾斜角是钝角的直线的斜率为负数,故正确;对于C,方程k=表示直线y+1=k(x-2)去掉点(2,-1),与方程y+1=k(x-2)不表示同一直线,故错误;对于D,直线l过点P(x0,y0),倾斜角为90°,则其方程为x=x0,故正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列说法中,正确的有(　　) A.过点P(1,2)且在x,y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0 B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2 C.直线x-y+1=0的倾斜角为60° D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BD ∵过点P(1,2)且在x,y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故A错误;易知直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;由于直线x-,故它的倾斜角为30°,故C错误;∵过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y=x-6 因为直线与y轴相交成30°角, 所以直线的倾斜角为60°或120°, 所以直线的斜率为, 又因为在y轴上的截距为-6, 所以直线的斜截式方程为y=x-6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点坐标是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2,3) 将直线方程化为点斜式得y-3=k(x-2),所以该直线过定点(2,3). 9.求倾斜角是直线y=-,且分别满足下列条件的直线的方程. (1)经过点(,-1); 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:因为直线y=-, 所以其倾斜角α=120°, 由题意,得所求直线的倾斜角α1=α=30°, 故所求直线的斜率k1=tan 30°=. (1)因为所求直线经过点(,-1),斜率是, 所以所求直线的方程是y+1=(x-). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在y轴上的截距是-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)因为所求直线的斜率是,在y轴上的截距是-5,所以所求直线的方程是y=x-5. 10.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°.求: (1)直线AB的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1. (2)直线AC和BC的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1. 又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x. 同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1. 又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6. [B组] 11.关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法正确的是(　　) A.点(0,k)不在l上 B.直线过定点(-1,0) C.y随x增大而增大 D.y随x增大而减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 当x=0时,可得y=k,即点(0,k)在直线l上,故A不正确;当x=-1时,y=-k+k=0,即直线过定点(-1,0),故B正确;由于k的符号不确定,故C,D都不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限 B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2) C.过点(2,-1)且斜率为-(x-2) D.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线的方程为y=-2x±3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由直线y=kx+b过第一、二、四象限,得斜率k<0,截距b>0,故A正确;直线y=ax-3a+2的方程可化为a(x-3)+(-y+2)=0,令故直线过定点(3,2),故B正确;由点斜式方程可知C正确;由斜截式直线方程可知D错误 13 14 13.将直线y=x+-1绕其上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 y-(x-1) 13 由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°, ∴所求直线的斜率为. 又∵直线过点(1,), ∴由直线的点斜式方程可得y-(x-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知直线l过点P(-1,2). (1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求直线l的方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)直线l过点P(-1,2),若直线l在两坐标轴上的截距和为零, 设直线l的方程为y-2=k(x+1), 则它在两坐标轴上的截距分别为-1-和k+2, 由题意,得-1-+k+2=0,∴k=-2或k=1, ∴直线l的方程为y=-2x或y=x+3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴交点分别为A,B,求△AOB面积最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)设直线l的斜率k>0,则直线l:kx-y+2+k=0与两坐标轴交点分别为A,B(0,k+2), 则△AOB面积为S=·|k+2|=+2=4, 当且仅当k=2时,等号成立,故△AOB面积最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$