第一章：空间向量与立体几何（单元测试，基础卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章：空间向量与立体几何章末综合检测（基础卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·广东广州·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高二上·江苏无锡·月考）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川绵阳·月考）正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江西·月考）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 8．（23-24高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 10．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 11．（贵州省镇远县文德民族中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（    ） A． B．存在实数，使 C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·青海海西·期中）已知，则 ． 13．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 14．（23-24高二上·湖北·月考）已知正方体的所有棱长均为1，为线段上的动点，则到平面的最大距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 16．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 17．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 18．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点P的坐标． 19．（23-24高二下·江苏扬州·月考）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成角最小? (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：空间向量与立体几何章末综合检测（基础卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·广东广州·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量减法原则，，而，故.故选：C. 2．（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 所以存在实数m，使得，即， 所以，解得.故选：B 3．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】若，则与共线向量，故A错误； 若，则与共线向量，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D正确，故选：D 4．（23-24高二上·江苏无锡·月考）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误.故选： A 5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则不共线，故B错误； 对于C，若，则不共线，故C错误； 对于D，若，则不共线，故D错误.故选：A. 6．（23-24高二上·四川绵阳·月考）正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】棱长为2的正四面体中，向量两两的夹角都为， 由点D是的中点，得，而， 所以 .故选：D 7．（23-24高二上·江西·月考）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【解析】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设， 则，解得．故选：C. 8．（23-24高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为 ，故， 则， 因为，故当时，取得最小值，最小值为.故选：B 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】AD 【解析】对于A，点关于轴的对称点，纵坐标和竖坐标变号，横坐标不变， 即为，故A正确； 对于B，点关于平面的对称点，只有竖坐标变号，其余不变，即为，所以B错误； 对于C，点关于轴的对称点，横坐标和纵坐标变号，竖坐标不变， 即为，即可知C错误； 对于D，点关于原点的对称点，横坐标、纵坐标和竖坐标都要变号， 即为，即D正确；故选：AD 10．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】AD 【解析】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线， 且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，则， 则， 则，则， 又因为平面，所以平面.故选：AD. 11．（贵州省镇远县文德民族中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（    ） A． B．存在实数，使 C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】A：，所以本选项结论正确； B：，假设存在存在实数，使， ，显然方程组无实数解， 因此假设不成立，所以不存在实数，使，因此本选项说法不正确； C：不互相垂直， 所以不是平面的法向量，因此本选项说法正确； D：， 所以， 四边形的面积为：， 因此本选项说法正确，故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·青海海西·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】 ． 13．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】 【解析】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为 . 14．（23-24高二上·湖北·月考）已知正方体的所有棱长均为1，为线段上的动点，则到平面的最大距离为 ． 【答案】/ 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 故点到平面的距离为， 故当时，取得最大值，最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 16．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得， 所以 ； （2） 所以， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 17．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）平面平面，且两平面交于， 又，平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面，平面. （2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则，解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 18．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由点，点，得， 由向量为直线l的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点P的坐标是. 19．（23-24高二下·江苏扬州·月考）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成角最小? (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，点为上靠近的四等分点 【解析】（1）因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2）由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. （3）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$