第16讲 利用导数研究函数的极值与最值（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第16讲 利用导数研究函数的极值与最值 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年北京卷，第20题，15分 利用导数求函数的极值点个数 2021年北京卷，第19题，15分 利用导数求函数的单调区间及最值 2020年北京卷，第19题，15分 利用导数求函数的最值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏上，主要在解答题中考查． 【备考策略】 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件； 2.会用导数求函数的极大值和极小值； 3.掌握利用导数研究函数最值的方法． 【命题预测】导数与函数的极值和最值是北京高考数学中的重点内容，一般会与不等式、函数与方程、函数的图象等知识点相结合，综合性较强，难度较大． 知识讲解 知识点1 函数的极值 1、函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2、函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 知识点2 函数的最值 1、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。 考点一、根据图象判断函数的极值 【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【典例2】（23-24高三下·浙江嘉兴·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 1．（22-23高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23高二下·北京怀柔·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ） A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 考点二、求已知函数的极值或极值点 【典例1】（23-24高三下·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·期中）设函数的极值点为，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数.则函数的极值点是（    ） A． B． C．当时，没有极值点；当时，极小值点为，没有极大值点 D．当时，没有极值点；当时，极大值点为，没有极小值点 考点三、根据函数极值求参数 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京·三模）已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= ，b= ． 2．（22-23高三上·北京石景山·阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四、求已知函数的最值 【典例1】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【典例2】（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（    ） A．的最小值为，的最大值为2 B．的最大值为，的最小值为 C．的最大值为，的最大值为2 D．的最小值为，的最小值为 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知，. (1)请直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程； (2)设函数，求函数在上的最值. 2．（2022·北京房山·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值. 考点五、根据函数最值求参数 【典例1】（23-24高三下·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【典例2】（21-22高三上·北京·阶段练习）已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 . 1．（23-24高三下·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 2．（2022·北京东城·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值； (2)若在上有最大值，求的取值范围. 1．（22-23高三上·北京·期中）若的两个极值点为，，则 . 2．（22-23高三上·北京·阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是 . ①，；                ②是的极大值点； ③是的极小值点；                ④是的极小值点 3．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值和最大值； (2)若，求证：在处取得极小值． 4．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 5．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数，且曲线在处与轴相切． (1)求的值； (2)令，证明函数在上单调递增； (3)求的极值点个数． 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在的最小值； (2)求的单调减区间． (3)若有最小值，请直接写出的取值范围． 7．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 1．（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函数． ①当时，的极值点个数为 ； ②若恰有两个极值点，则的取值范围是 ． 2．（23-24高三下·北京大兴·三模）已知函数，则下列命题不正确的是（   ） A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数a，使为增函数 D．存在实数a，使为减函数 3．（22-23高三上·北京东城·开学考试）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)求证：当时，函数有三个不同的极值点. 4．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)试讨论函数的单调性． 5．（23-24高三下·北京西城·二模）已知函数，其中． (1)若在处取得极小值，求的值； (2)当时，求在区间上的最大值； (3)证明：有且只有一个极值点． 6．（2024·北京东城·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的极值点个数. 7．（2024·北京·模拟预测）设函数. (1)若在处有极小值2，求，的值； (2)若，且在上是增函数，求实数的取值范围； (3)若，时，函数在上的最小值为0，求实数的取值范围. 1．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 . 4．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 5．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 6．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 7．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 8．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 利用导数研究函数的极值与最值 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年北京卷，第20题，15分 利用导数求函数的极值点个数 2021年北京卷，第19题，15分 利用导数求函数的单调区间及最值 2020年北京卷，第19题，15分 利用导数求函数的最值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏上，主要在解答题中考查． 【备考策略】 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件； 2.会用导数求函数的极大值和极小值； 3.掌握利用导数研究函数最值的方法． 【命题预测】导数与函数的极值和最值是北京高考数学中的重点内容，一般会与不等式、函数与方程、函数的图象等知识点相结合，综合性较强，难度较大． 知识讲解 知识点1 函数的极值 1、函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2、函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 知识点2 函数的最值 1、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。 考点一、根据图象判断函数的极值 【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解析】由图象可知：当时，单调递减， 当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值.故选：C 【典例2】（23-24高三下·浙江嘉兴·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】根据导函数的图象可知， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故ABC错误，D正确.故选：D. 1．（22-23高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】在内的图像如下， 当时，单调递增，时，单调递减， 故为函数极大值点，为极大值， 当时，单调递增，故为函数极小值点，为极小值， 当时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值， 故函数在内的极小值有1个.故选：A 2．（122-23高二下·北京怀柔·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ） A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【解析】由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A. 考点二、求已知函数的极值或极值点 【典例1】（23-24高三下·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 【答案】 【解析】， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有极大值. 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·期中）设函数的极值点为，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以存在唯一实数，使得， 当时，，当时，， 所以函数函数又唯一极值点，且， 故可以是.故选：B. 1．（23-24高三下·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【解析】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数.则函数的极值点是（    ） A． B． C．当时，没有极值点；当时，极小值点为，没有极大值点 D．当时，没有极值点；当时，极大值点为，没有极小值点 【答案】C 【解析】因为的定义域为， ， 当时，，在上单调递增，没有极值点； 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 取得极小值，没有极大值. 综上：当时，没有极值点；当时，极小值点为，没有极大值点.故选：C 考点三、根据函数极值求参数 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 由，得， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 所以方程有两个不等的正根， 所以，所以， 所以，即．故BCD正确，A错误．故选：A． 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数有且只有1个极值点， 当时，没有极值点； 当时，，取，得到， 当时，函数为二次函数，则，故， 综上所述：.故选：C. 1．（23-24高三下·北京·三模）已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= ，b= ． 【答案】 4（不唯一） 5（不唯一） 【解析】当时，无极小值，故， ， 由可得或， 当时，由时，有极小值可知，即， 当时，由时，有极小值可知，即. 所以的一组取值可取， 故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）. 2．（22-23高三上·北京石景山·阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：求导有， 因为函数有唯一的极值点， 所以，有唯一正实数根， 因为， 所以在上无解， 所以，在上无解， 记，则有， 所以，当时，，在上递减， 当时，，在上递增． 此时时，有最小值， 所以， ，即， 所以，即的取值范围是故选：A 考点四、求已知函数的最值 【典例1】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】，定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，单调递减， 所以在区间上的最大值为.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（    ） A．的最小值为，的最大值为2 B．的最大值为，的最小值为 C．的最大值为，的最大值为2 D．的最小值为，的最小值为 【答案】B 【解析】由题意知，当时，，求导得， 当，， 当，， 当，， 所以在区间，单调递减，在单调递增， 由题意知当时，为增函数， 因为函数有最大值， 则可得当时，， 此时，令，解得，或， 令，解得或， 当时，此时的最大值为， 当时，此时的最大值为， 当时，此时的最大值为， 当时，此时的最大值为， 当时，此时无最大值， 综上：的最大值为，的最小值为.故B正确.故选：B. 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知，. (1)请直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程； (2)设函数，求函数在上的最值. 【答案】(1)；；(2)最小值为，最大值为 【解析】（1）因为在单调递增，在单调递减， 所以曲线与曲线至多有一个公共点，公共点为， 因为，所以，所以在公共点处的切线方程为. （2）由题意可得，则， 令，因为在上单调递减且， 所以当时，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 所以函数在上的最小值为，最大值为. 2．（2022·北京房山·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时， 所以. 所以曲线在处的切线方程为：. （2）. ①当时，. 所以时，. 所以在上是增函数.所以. ②当时，令，解得（舍） 1°当，即时，时，. 所以在上是增函数.所以. 2°当，即时， x - 0 + 减函数 极小值 增函数 所以. 3°当，即时，时，. 所以在上是减函数.所以. 综上，当时，； 当时，. 当时，. 考点五、根据函数最值求参数 【典例1】（23-24高三下·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大， 没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 【典例2】（21-22高三上·北京·阶段练习）已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，. 当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数， 则函数在区间上没有最小值； 当时，令，可得， 当时，，当时，， 此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 1．（23-24高三下·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 2．（2022·北京东城·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值； (2)若在上有最大值，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）函数的定义域为， ， 由已知可得，解得. （2）因为，令. ①当时，对任意的，恒成立，则， 此时函数在上单调递减，没有最大值； ②当时，在上单调递减，则，则， 此时函数在上单调递减，没有最大值； ③当时，方程的两根分别为，， 由可知，列表如下： 增 极大值 减 所以函数在处取得最大值， 综上所述，实数的取值范围是. 1．（22-23高三上·北京·期中）若的两个极值点为，，则 . 【答案】0 【解析】由可得， 令解得或，令解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点为和，则. 2．（22-23高三上·北京·阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是 . ①，；                ②是的极大值点； ③是的极小值点；                ④是的极小值点 【答案】②④ 【解析】对于①：是的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误； 对于②：因为与的图象关于轴对称， 且是的极大值点， 所以应是的极大值点，即②正确； 对于③：因为与的图象关于轴对称， 且是的极大值点， 所以应是的极小值点， 且无法判定是的极小值点，即③错误； 对于④：因为与的图象关于对称， 且是的极大值点， 所以应是的极小值点，即④正确； 故答案为：②④. 3．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值和最大值； (2)若，求证：在处取得极小值． 【答案】(1)最小值为，最大值为；(2)证明见解析. 【解析】（1）由题设，则， 在上，即递增， 所以最小值为，最大值为. （2）由题意，则， 令，则，且. 所以，即在处有递增趋势， 综上，若且无限趋向于0， 在上，递减， 在上，递增， 所以在处取得极小值． 4．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)；(2)递增区间为和，递减区间为，极大值为，极小值为. 【解析】（1）因为，且，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为，令，解得或， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，有极大值为， 当时，有极小值为. 综上所述，递增区间为和，递减区间为， 极大值为，极小值为. 5．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数，且曲线在处与轴相切． (1)求的值； (2)令，证明函数在上单调递增； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)1个 【解析】（1）， 由题意可知是在处的切线方程， 所以且，故 （2）由（1）知，所以， 所以， 令， 当单调递增，当单调递减， 因此在单调递增，故， 所以函数在上单调递增 （3）由（2）知: 当单调递增，当单调递减， 所以当时，取最小值，且， 故存在，使得 因此当和当 因此在上单调递增，在上单调递增，在时单调递减， 由于，， 因此存在使得， 故当时， ，此时单调递减，当时，，单调递增， 故在时取极小值， 故有1个极值点. 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在的最小值； (2)求的单调减区间． (3)若有最小值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【解析】（1）由题设， 当，令，故， 则，即时. （2）由， 又定义域为，令， 当时，在上，上， 此时的递减区间为，递增区间为； 当时，在上， 此时的递减区间为，无递增区间； 当时，在上，上， 此时的递减区间为，递增区间为； （3）当时，在上，且， 由（2），在上递减，上递增，故为极小值， 此时，有最小值； 当时，在上递减且，上递增且， 此时，没有最小值； 当时，在上递减且，且， 由（2），在上递减，上递增，故为极大值， 此时，没有最小值； 综上，时有最小值. 7．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为1 【解析】（1）对函数求导得，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 化简并整理得该切线方程为. （2）由（1）可知， 当时，随的变化情况如下表： 极大值 由上表可知函数在上单调递增， 在上单调递减，且在时取得极大值， 所以在区间上的最大值， 而在区间上的最小值为中的较小者， 又，所以， 所以在区间上的最小值为. 1．（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函数． ①当时，的极值点个数为 ； ②若恰有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】①当时，； ，为连续函数； 在上单调递增，在上单调递减， 和是的极值点，即的极值点个数为； ②，为连续函数， 为单调函数，在上无极值点； 又在上至多有一个极值点， 和必为的两个极值点，，解得：， 又在上单调递减，在上单调递增，； 综上所述：实数的取值范围为. 2．（23-24高三下·北京大兴·三模）已知函数，则下列命题不正确的是（   ） A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数a，使为增函数 D．存在实数a，使为减函数 【答案】C 【解析】对于A，当时，， ， 令，则， 由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一极小值，故A正确；     对于B，，因为，， 所以存在定直线始终与曲线相切，故B正确； 对于C，由B可知，不论为何值，恒成立，故不能为增函数， 故C错误； 对于D，当时，， 令，，令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以， 所以是单调递减函数，故D正确.故选：C. 3．（22-23高三上·北京东城·开学考试）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)求证：当时，函数有三个不同的极值点. 【答案】(1)增区间为；减区间为；(2)证明详见解析 【解析】（1）当时，， ， 所以在区间单调递增， 在区间单调递减. 所以的增区间为；减区间为. （2）依题意， ， 对于函数， ， 所以有两个零点，设为，则， 不妨设， 所以在区间单调递减； 在区间单调递增， 所以有三个不同的极值点. 4．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)答案见解析 【解析】（1）若，，定义域为， 则， 令，可得， 由，可得，所以在上单调递增， 由，可得，所以在上单调递减， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，可得或， 因为，所以舍去， 所以当时，， 则在上单调递减， 当时，， 则在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 5．（23-24高三下·北京西城·二模）已知函数，其中． (1)若在处取得极小值，求的值； (2)当时，求在区间上的最大值； (3)证明：有且只有一个极值点． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由， 因为在处取得极小值,所以， 即，解得， 检验：当时，，由二次函数的性质可得： 在上单调递减，在上单调递增，满足题意， 所以． （2）当时，，．                                 令，则， 因为，所以， 即在区间上单调递增， 所以，即， 所以在区间上单调递增，即的最大值为． （3）由， 当时，，由二次函数的单调性可得： 在上单调递减，在上单调递增， 所以恰有一个极值点； 当时，设， 则． 因为，且， 所以，即在上单调递增． 因为，， 所以存在，使， 根据在上单调递增， 可知当时，，所以在上单调递减， 可知当时，，所以在上单调递增， 即恰有一个极值点． 综上所述，当时，有且只有一个极值点． 6．（2024·北京东城·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的极值点个数. 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1）因为 则， 可得， 可知切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）令，则，令， 因为的定义域为，且， 可知为偶函数， 因为， 若，则， 取，构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 故在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 对于，结合偶函数对称性可知： 在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知： 在内单调递减，在内单调递增， 所以在区间上的有2个极值点，极值点个数为2. 7．（2024·北京·模拟预测）设函数. (1)若在处有极小值2，求，的值； (2)若，且在上是增函数，求实数的取值范围； (3)若，时，函数在上的最小值为0，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）函数，定义域为，， 在处有极小值2，则有，解得. 此时， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值. 所以. （2）若，，， 在上是增函数，则在上恒成立， 函数，图象抛物线开口向上，对称轴，， 当，则在上恒成立，此时在上不恒成立， 不满足在上成立， 当时，则在上恒成立，若在上成立， 则在上恒成立， 由，则有，解得， 所以实数的取值范围的. （3）时，函数，有， ，由，则， 函数，函数图象抛物线开口向下，， 若，则在上恒成立，在上单调递增，最小值为， 若，则存在，使得， 时，；时，， 则在上单调递增 ，在上单调递减， 综上可知，函数在上的最小值为0，只需， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 1．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，， 而，所以，即， 所以， 因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意， 即有．故选：B. 3．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【解析】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 4．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、， 单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 5．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 6．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 7．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析；(3). 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 8．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$