第18讲 解直角三角形（第2课时，构造直角三角形）（二类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第18讲 解直角三角形（第2课时，构造直角三角形）（八大题型） 学习目标 1、掌握构造直角三角形的核心思想； 2、学会一些常用的作辅助线的方法； 3、能结合其他几何知识解直角三角形。 一、解非直角三角形： 核心思想一、无直角作辅助线构造直角 向钝角的对边作垂线 向直角的对边作垂线 向锐角的对边作垂线 核心思想二、有直角作辅助线构造三角形 注：常适用于含90°的图形，如含直角的三角图形，特殊平行四边形等 核心思想三、构造三角形的同时构造直角 二、解非直角三角形一些常用作辅助线的方法 【即学即练1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【即学即练2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 题型1：单个非直角三角形 【典例1】．．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【典例2】．．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【典例3】．．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【典例4】．．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【典例5】．．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 题型2：一图多三角形 【典例6】．．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【典例7】．．如图，在中，，且，AC上有一点D，满足，则的值是 ． 【典例8】．．如图，在四边形 中，平分，，， 于点．若 ，则点 到 的距离为 ． 【典例9】．．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【典例10】．．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 题型3：四边形（含特殊平行四边形） 【典例11】．．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【典例12】．．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例13】．．如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【典例14】．．如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例15】．．如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为 ． 题型4：网格问题 【典例16】．．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【典例17】．．如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ．    【典例18】．．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 题型5：平面直角坐标系问题 【典例19】．．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【典例20】．．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 题型6：解直角三角形与函数结合 【典例21】．．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，，顶点C的坐标为，的图象与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（　　）    A． B． C． D． 【典例22】．．如图，在平面直角坐标系中，，点B在x轴正半轴上，，若点A在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 题型7：解答题综合 【典例23】．．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【典例24】．．已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： (1)的长； (2)的余切值． 【典例25】．．如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 【典例26】．．如图，四边形中，． (1)如果，求的值； (2)如果，求四边形的面积． 【典例27】．．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 题型8：动态几何问题 【典例28】．．如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 ．    【典例29】．．折叠矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点P，沿折叠，使点A落在折痕上的点G处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为 ． 【典例30】．．如图，中，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交线段于点，当是直角三角形时， ． 一、单选题 1．如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 2．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，若点的坐标为，则等于（    ）      A． B． C． D． 5．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 6．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，和都是锐角，若，，则（    ）    A． B． C． D． 8．如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是的中点.若，则点C的坐标是（    ）    A．（3，） B． C．，3） D． 10．如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 11．如图，已知△ABC中，，，则AC= cm． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝ ． 14．如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么 ． 15．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ． 16．如图，在中，，为上一点，，，．则＝ ． 17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 18．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ． 三、解答题 19．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 20．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求： (1)线段的长； (2)的余弦值． 22．如图，在中，是边上的高．已知，，． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，连接，求的值． 23．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 24．在中，，，点为线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． 25．如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． (1)当点与点重合时，如果，求的长； (2)当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 解直角三角形（第2课时，构造直角三角形）（八大题型） 学习目标 1、掌握构造直角三角形的核心思想； 2、学会一些常用的作辅助线的方法； 3、能结合其他几何知识解直角三角形。 一、解非直角三角形： 核心思想一、无直角作辅助线构造直角 向钝角的对边作垂线 向直角的对边作垂线 向锐角的对边作垂线 核心思想二、有直角作辅助线构造三角形 注：常适用于含90°的图形，如含直角的三角图形，特殊平行四边形等 核心思想三、构造三角形的同时构造直角 二、解非直角三角形一些常用作辅助线的方法 【即学即练1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【解析】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【即学即练2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 题型1：单个非直角三角形 【典例1】．．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【解析】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【典例2】．．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【解析】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 【典例3】．．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 【典例4】．．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【解析】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 【典例5】．．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【解析】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 题型2：一图多三角形 【典例6】．．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【典例7】．．如图，在中，，且，AC上有一点D，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质． 作于H，利用两对角相等的三角形相似，由相似得比例列出比例式，由的值，设出与，由代入比例式表示出与，进而求出的值．再由平行性质得出，即可得出答案． 【解析】解：作于H，如图： 在中，， 设，， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【典例8】．．如图，在四边形 中，平分，，， 于点．若 ，则点 到 的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质；过点作交的延长线于点，则的长为点到 的距离，进而解，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作交的延长线于点，则的长为点到 的距离 ∵平分， 于点． ∴， ∵，，， ∴， 即点 到 的距离为， 故答案为：． 【典例9】．．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 【解析】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. 【典例10】．．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题． 【解析】解：如图所示，过点作，交于点， = ， ， ， ， 由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知： ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系． 题型3：四边形（含特殊平行四边形） 【典例11】．．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【解析】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【典例12】．．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 【典例13】．．如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案． 【解析】延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 【典例14】．．如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，由四边形是矩形，得，，，则，又平分可证，设，则，由勾股定理得，则，，再证明，，最后由相似三角形的性质即可求解． 【解析】如图，如图所示，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【典例15】．．如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，先求出，，，过点D作于点G，证明，则，，得到，即可求出． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点； ∴， ∵于点F， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点G， ∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： 题型4：网格问题 【典例16】．．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【解析】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【典例17】．．如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ．    【答案】/0.6 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先利用勾股定理求出，再证明，然后利用利用解题即可． 【解析】解：如图，在中，， ∴，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例18】．．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【解析】解：如图，设小正方形边长为1，连接，交于点O，则， 则， ∵， ∴ 故答案为： 题型5：平面直角坐标系问题 【典例19】．．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【解析】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 【典例20】．．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【解析】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 题型6：解直角三角形与函数结合 【典例21】．．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，，顶点C的坐标为，的图象与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 过点C作轴于点E，由，顶点C的坐标为，可求得的长，进而根据菱形的性质，可求得的长，且，继而求得的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线交D点，即可求得答案． 【解析】 解：过点C作轴于点E，    ∵顶点C的坐标为， ∴，， ∴， ∵菱形中，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴点D的坐标为：， ∵反比例函数的图象与菱形对角线交于点D， ∴． 故选：C． 【点睛】 此题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出是解本题关键． 【典例22】．．如图，在平面直角坐标系中，，点B在x轴正半轴上，，若点A在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，的几何意义，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握值几何意义是关键． 先求出，，根据的几何意义，再结合，即可解题； 【解析】解：过点A作轴交于点H， ∵， ∴， ∴，， ， ， ． 故答案为：12． 题型7：解答题综合 【典例23】．．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【解析】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 【典例24】．．已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： (1)的长； (2)的余切值． 【答案】(1)7； (2)． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，勾股定理的应用； （1）先求解，再求解，即可； （2）作，垂足为．求解，，可得，在中，利用余切的定义求解即可． 【解析】（1）解：在中，，，， ， 在中，，， ∴，则， ， ． （2）解：作，垂足为． 是边上的中线，， ， ， ， ， 即在中，． 【典例25】．．如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查解直角三角形 （1）可过点作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题． （2）过点作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【解析】（1）解：过点作的平行线，分别与，交于点，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． ， ， ， 又， ，， ． （2）解：在中， ． 过点作的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为， 在中， ． ， ． 在中， ． 【典例26】．．如图，四边形中，． (1)如果，求的值； (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点A作于点E，可得四边形是矩形，从而得到，继而得到，再由锐角三角函数，即可求解； （2）过点A作于点E，可得四边形是矩形，从而得到，设，则， 在中，利用勾股定理求出x的值，再根据四边形的面积，即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典例27】．．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用计算出即可． （2）过点作于点，根据，，算出的长度，根据中点的性质得到的长度，就可以算出和的长度，得到的长度，勾股定理算出，即可得到结论． 【解析】（1）， ， ，， ， ∴， ， 点为的中点， ． 在中，， ， ． （2）过点作于点，      ，， ，， 点为的中点， ， 在，， ，， ． 由勾股定理得：， ， 【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键． 题型8：动态几何问题 【典例28】．．如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠的问题、勾股定理、解直角三角形，设与交于点，由折叠可知 ，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在 中，根据勾股定理列出方程，求出则，，在中，，因此，在中，，以此计算即可求解． 【解析】解：如图，设与交于点．    ∵四边形为矩形， ， ∴，，， ∵将四边形沿翻折至四边形， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中，，， ∴，， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 故答案为：． 【典例29】．．折叠矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点P，沿折叠，使点A落在折痕上的点G处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得，得到，然后推出，进而得到，，然后进行计算即可求解． 【解析】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形、直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 【典例30】．．如图，中，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交线段于点，当是直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】根据题意，运用勾股定理得的值，运用中位线的判定和性质可得的值，结合直角三角形的特点，分类讨论，当时，运用特殊四边形的判定和性质即可求解；当时，运用解直角三角形的方法即可求解． 【解析】解：在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 如图所示，当时，作于点，于点， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴四边形时正方形，即， 在中，，， ∴点是的中点，且点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时，作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，特殊四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形的综合，掌握折叠的性质，解直角三角形的方法，分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【解析】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形，过点C作，交的延长线于点D，在中，可求得和，利用勾股定理求得，根据正弦定义即可求得答案． 【解析】解：过点C作，交的延长线于点D， ∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 3．如图，在中，，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意为求点A到直线的距离，即求中边上的高，构造直角三角形，利用已知信息结合三角函数的定义解之即可．本题考查了解直角三角形−构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【解析】解：依题意，过点A作，交延长线于点D， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 故选：A． 4．如图，若点的坐标为，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标为，得，，由的正弦值是的对边与斜边的比值即可解答． 【解析】解：如图：      点的坐标为， ，， 由勾股定理，得， ． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键． 5．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【解析】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 6．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F，通过证明，得出四边形是矩形，进而得出，，，即可解答． 【解析】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 7．如图，在中，和都是锐角，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作，垂足为D，根据正弦的定义得到，，从而得到，即可判断． 【解析】解：如图，过A作，垂足为D， ∵，， ∴，， ∴， 故选C．    【点睛】本题考查了解直角三角形，熟记三角函数的定义是解题的关键． 8．如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可， 【解析】解：∵直线与坐标轴交于点、， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 解得， ∴， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是的中点.若，则点C的坐标是（    ）    A．（3，） B． C．，3） D． 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为F，由四边形是矩形易证得是等边三角形,进而，解直角三角形得，，所以，由矩形是中心对称图形知点A，点C关于原点对称，得点． 【解析】∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴， 过点A作轴，垂足为F，    则 ∴点 ∵点A，点C关于原点对称， ∴点， 故选：B 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质、解直角三角形，点坐标的含义；结合已知条件构建直角三角形求解相关线段是解题的关键． 10．如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，解，进而解，求得，根据三角形的面积公式即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点，   ，，， ，， ， ， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 二、填空题 11．如图，已知△ABC中，，，则AC= cm． 【答案】 【分析】如图，过点C作CD⊥AB，解直角三角形即可求出AC． 【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB 在Rt△BDC中： 在Rt△ADC中： 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，合理的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝ ． 【答案】 【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解． 【解析】如图，延长AD、BC相交于点E， ∵∠B=90°， ∴， ∴BE=， ∴CE=BE-BC=2，AE=， ∴， 又∵∠CDE=∠CDA=90°， ∴在Rt△CDE中，， ∴CD=． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 14．如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则． 【解析】解：∵是边的中点，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ． 【答案】 【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可． 【解析】如图，过点作于点E． 由题意可知四边形为菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 16．如图，在中，，为上一点，，，．则＝ ． 【答案】 【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解． 【解析】解：∵，， ∴可设，则， 由勾股定理得：， ∵， ∴，解得：k=1或1（舍去）， ∴BC=4，AC=3， ∵， ∴AC=CD， ∴， 如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵， ∴可设，则， 由勾股定理得：， ∵BD=1， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 【答案】16 【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题． 【解析】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N， ∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点， ∴AB=BD=BC=10， ∵= ， ∴AM=，∴BM==3， ∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2， ∵AB//CD， ∴S△ABD=， ∴BN=6， ∵BN⊥DC，∴DN==8， ∴CD=2DN=16， 故答案为16. 18．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】求出，勾股定理求出，根据题意，易得：，，进而求出的长，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出，得到，设，则：，分别用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，进而得解． 【解析】解：在中，， ∴；， ∵将沿翻折，使得点落在点处，当且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， ∴，，， 连接，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键． 三、解答题 19．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)7 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． （2）解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 20．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形； （1）过点作于点，根据余弦的定义，求得，勾股定理求得，解得出，即可求解； （2）先求得，进而根据，求得，进而求得，根据正切的定义，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ 21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求： (1)线段的长； (2)的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案； 对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得， ，则，根据勾股定理可得， 在中，由计算即可得出答案． 【解析】（1）∵，， ∴． ∵，， 根据勾股定理，得， ∴，， ∴， ∴； （2）过点E作，垂足为，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 22．如图，在中，是边上的高．已知，，． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键； （1）由可设，则，则，，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，过作于，由（1）得：，，，利用等面积法求解，可得，可得，再结合余切的定义可得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是边上的高， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； （2）如图，过作于， ∵由（1）得：，，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 23．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【解析】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 24．在中，，，点为线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，由，，可得，，即得； （2）取的中点，连接，证明为等边三角形，得，，可得，有，故，在上截取，连接，可证，得，，有，，可得，知，，从而，． 【解析】（1）解：在中，， ，， ，， ， ； （2）证明：取的中点，连接，如图： 在中，点为斜边的中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在上截取，连接， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，解直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，涉及全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． (1)当点与点重合时，如果，求的长； (2)当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】设，根据矩形的性质即解直角三角形推出，，根据勾股定理得到，据此求解即可； （2）①交于点，连接，根据相似三角形的判定与性质推出，，，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，据此求解即可； ②设，则，设，且，，则，根据锐角三角函数得到，根据勾股定理求出，，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的性质得，进而求出，据此即可得解． 【解析】（1）如图，当点与点重合时，设， 四边形是矩形， ，，，，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ； （2）①如图，交于点，连接， 由（1）得，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ； ②如图，连接， ， 设，则，设，且，，则， ， ， ，，， ， ， ， 即， ， 由①得，， ， ， 两边平方并整理得， ， ，， ，， ， ， ， 即的余切值． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 65 页 学科网（北京）股份有限公司 $$